例谈立体几何中的转化

例谈立体几何中的转化立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。1、 位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例1已知三棱锥S-ABC中，匕ABC=90°，侧棱SA±底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EFXSCo分析：.「A、E、F三点不共线，AFXSC，・.・要证EFXSC，只要证SC±平面AEF，只要证SCXAE（如图1）oXVBCXAB，BC±SA，ABC±平面SAB，」.SB是SC在平面SAB上的射影。..・只要证AEXSB（已知），AEFXSCo例2设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角A-EF-C1（如图一2）。求证：平面AB1E〃平面QDF。分析一（纵向转化）：•「AE〃DF，AE二平面qDF，・•・AE〃平面C1DF.同理，B1E〃平面QDF，又AEnB1E=E，A平面AB1E〃平面CQF。分析二（横向转化）：图-2•「AE〃EF，B1E±EF，且AEnB1E=E，AEF±平面QDF图-2同理，EFL平面QDF。平面AB1E〃平面QDF。2、 降维转化由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。例3如图-3，在直三棱柱ABC—A]B]C]中，AB=BC=\；2，BB1=2，/ABC=90，E、F分别为AA]、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为. ；'，2分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。例4如图-4直四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2，底面ABCD是直角梯形，ZA是直角，ABIICD，1111 1AB=4,AD=2,DC=1，求异面直线BC1与D^成角的大小•（结果用反三角函数值表示）解：由题意AB//CD，・•・/qBA是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在RtAADC中，可得AC=v'5，又在RtAACC1中，可得Aq=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H,得ZCHB=90。,CH=2,HB=3,/.CB=<13又在RtACBC］中，可得BC1=、1，在AABC中,cosZABC=ABB+BC—AC；=3d!,.・.ZABC=arccos3^17.i i2AB-BC17 i 17..•异而直线BQ与DC所成角的大小为。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。3、割补转化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。例5如图5，三棱锥P-ABC中，已知PA±BC，PA=BC=n,求证：三棱锥P-ABC的体积V=1n2h.此题证法很多，下面用割补法证明如下:分析一：如图5，连结AD、PD，VBC±DE，BC±AB，求证：三棱锥P-ABC的体积V=1n2h.此题证法很多，下面用割补法证明如下:分析一：如图5，连结AD、PD，VBC±DE，BC±AB，ABC±平面APD，又DEXAP，13bcs,•VP-ABC=VB-APD*VC—APD= 刀APD分析二：如图6，以三棱锥P—ABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄PB1C1—ABC，连结EC、EB，则易证APL平面EBC...v三棱拄=AP.S1=2刀EBCn2h。，CiBi1•.•Vp—ABC=34、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的'等积三棱拄B1FA1 DB1FA1 D1CD转化”（或称等积变换）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。例6如图7，已知ABCD—AjBjCjD］是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA］与Cq的中点，求四棱锥A］—EBFD］的体积。略解：易证四边形EBFD］是菱形，连结A］C］、EQ、AC］、AD「则VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF-A1ED1=2VC1-A1ED1

图—8=2Ve-A1C1D1=VA-A1C1D1=6V正方体1=6a3。图—85、抽象向具体转化例7A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是90°、90°、60°。求球O夹在二面角B-AO—C间部分的体积。分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题:条件即ZAOB=ZAOC=90°,ZBOC=60°,然后给出图形（如图8）,则可想象此题意即为用刀沿60°二面角，以直径为棱2兀r3将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：9 ）。问题于是变得直观具体多了。例8三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，求此直线与另外一条直线所成的角。分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是60°、60°、a，求a的大小。根据长方体的性质，有cosa+cos60°+cos60°=1，可求得a=45°。立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。立方体在高考题中立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何体首先：其本身中的点、线、面的位置关系包涵了空间图形中的所有的位置关系.其次：它与代数（如：不等式、函数与数列、排列组合等）、三角、解析几何有着密切联系.因而是高考命题的热点.下面从数学思想方法方面探究其重要性.体现数形结合思想1.2004年天津卷（6）如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F1111分别是CC1、AD的中点.那么异面直线OE和凹所成的角。的余弦值等于.v10 45 4 2（A）5 （B）5 （c）5 （d）3分析：可建立空间直角坐标系（如图）,转化为空间向量的数量关系运用数量积来求解，可得OE=（—1,1,1）,F?=（—1,0,2）有OE•Fq=(—1,1,1).(—1,0,2)=3又OE•FD^3f5cos°

<15即cos9=七.故选(B)注：立方体具有的直观性特点从垂直联想到运用向量法求解(将形和数很好地结合起来)是个好方法.2003年全国卷(12)一个四面体的所有棱长都为v'2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )(A)3兀 (B)4兀(C)3岳 (D)6兀分析：本题中没有立方体，可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图，将正四面体ABCD补成立方体，则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径日=亍，得S『3兀.故选(A).2球注：“补形割体”构造模型，进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决是处理空间图形中惯用的手段.体现转化与化归思想2003年全国(理)(16).下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l±面MNP的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号)MM③ ④ ⑤分析：易知①是合要求的，由于五个图形中的l在同一位置，只要观察图②③④⑤中的平面MNP哪一个和①中的平面MNP平行(转化为面面平行)即可.故为：①④⑤注：本题中选①中平面MNP作为“参照系”，可清淅解题思路，明确解题目标.4.2004年北京卷(4)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D］中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线分析：易知P到直线C1D1的距离为：\PCJ.由C1是定点,BC是定直线.条件即动点P到定点C1的距离等于到定直线BC线的定义，化归为抛物线问题.故选(D)注：立几中的解几问题是近年来才露脸的题型,要求熟练掌握立体几

和解析几何所有知识内容，更要有跳跃的思维，较强的转换能力.体现分类讨论思想5.2000年全国卷(16)如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCRB］的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 。(要求：把可能的图的序号都填上)分析：因正方体是由三对平行面所组成，所以只要将四边形BFD1E在三个方向上作投影即可，因而可分为三类情况讨论.⑴在面ABCD上作投影可得②(平行四边形).⑵在面ADD1A1上作投影可得③(线段).⑶在面ABB1A1上作投影可得②(平行四边形).故可填为：②③注：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型,象本题一样的定性分析题一定要抓住图形的特性(平行、垂直等)进行分析.6.2004年湖南卷(10)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为(A)56 (B)52 (C)48 (D)40分析：可将合条件的直角三角形分为两类：第一类：三个顶点在正方体的同一个面上时有：6C3=24个.第二类：三个顶点在正方体的相对的两个面上时，直角三角形所在的平面一定是正方体的对角面，因而有：6x4=24个.故共有：24+24=48个.从而选(C)注：以几何体为载体考查排列与组合的有关问题是高考的传统题型，要做到不重复不遗漏地分类并且注意几何体的结构特点去求解.体现函数与方程思想7.2002全国卷(18)如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0<a〈厄).求MN的长；当a为何值时，MN的长最小；分析：将图形补成为正方体(如图)运用函数思想求解.(1)作MKXAB于K，连KN.由面ABCD±WABEF得MK±KN,从而|MN|=；MK2+KN2 ①

得KN〃AF.BKCMBN得KN〃AF.TOC\o"1-5"\h\z又由= =KAMANF2 2从而|K^|=|BK|=%-|BN|七a......②MK=*AMI=*(克-a)......③1.=、1 : =―-将②③代入①有lMNl=;(%2-a)2+—a2=(a2-^2。+1为所求.⑵运用函数配方法，由（I）知|MN|="2-42a+1.（0<a<、F2）.2 1配方有MN\=、；(a-—-)2+2 2即当a=时，MN|取最小值=.注：对空间图形中含有一些“动态”因素（象距离、角度等）的问题，可考虑能否把这一动源作为自变量，构造目标函数，用函数的思想来处理.8.2004年湖北（18）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的Y使得D1E±平面AB1F.Y分析：以A为坐标标原点，建立如图所未的空间直角坐标系.运用方程思想（借助向量的数量积）求解.设DF=X，则A（0，0，0），B1（1，0，1）,△1c）D1（0，1，1），E1,,0，F（x，1，0）k2）:,De=",-1,-1］，af=（x,1,0）.1k2 ）(1 ) 11,--2,-1.(x,1,0)=0。x—2=0(1 ) 11,--2,-1.(x,1,0)=0。x—2=01既X=^.故当点F是CD的中点时，D1E±平面AB1F.在近几年的高考试题中,立方体不仅包涵了所有的数学思想方法，密切了与中学数学中其它内容的联系,更体现着从静到动，从单一到多方面，从立方体本身应用问题到利用立方体去解决问题的发展变化.仔细研究这些变化对学好空间几何无疑是有裨益的.几点思考：加强对立方体的研究，对空间图形的研究以培养学生的空间想象能力，数形转换能力与逻辑思维能力.⑴对立方体本身的研究：如：立方体的内切球,外接球，球与立方体的棱相切等；立方体与正四面体的联系;以正方体各面的中点为顶点可构成正八面体等.⑵对空间图形问题中解题方法的研究：以立方体为载