指对数比较大小

全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）指对数比较大小对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为 0,1和（1）如果底数和真数均在0,1中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在0,1中，一个在1「：中，那么对数的值为负数3 0.5 例如：log0.5v0,log 0.3>0,log3a03 0.5 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：33,44,52，丄 丄 丄1 1 13334衣,44=43衣,52=5612，从而只需比较底数的大小即可全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）22 2 2 利用特殊值作“中间量”在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”也有一些题目需要选择特殊的常数对所log31现2loglog，进而可log322 2 2 4、常用的指对数变换公式:ana a log Mlog N=log MNloa a a logNn=nlogNa0,a=1,N a a （4）换底公式：logblogcba a进而有两个推论：loga二、典型例题：

b（clogba

log

aNn-logaNm m例1:设a=1og：b,二 Jog,'3l，g则2,b,c的大小关系是思路：可先进行0,1分堆，可判断出a 1,0：：：b：：：1,0：：：c"，从而a肯定最大，只需比较b,c即可，观察到b,c有相同的结构：真数均带根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：b=log

、3

3,c二2 23 3 3 log、2=*log2log21log3c3 3 3 cba全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）1例2:设a=log2,b=ln2,c=5^，则a,b,c的大小关系是 13a,b,c0,1内，a,b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a:bcc是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计a,b,c值得大小：=32a=log2>log3V5=1a>}cbac3答案：bac

，可考3a晋吨,c罟abbca

a,b,c的大小关系为（acb C.bac D.111思路：观察到a,b,c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中,111再进行真数的比较。a=2 3

=ln22,b==ln33,c==ln55,发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异；让三个真数的指数一致：1111112221530,3^31030,556元，通过比较底数的大小可得：bac答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幕时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计111111a,b:236,35=32aba,c或b,c即可3 5 例4:设a=log6,b=logl0,^log 14，贝卩（3 5 A.cba B.bca C.acb

）D.abc思路：观察可发现：a=log332log32,b=log552=1log52,c=log772=1log723 5 log2log2-log2，所以可得：3 5 答案：D2 3 2例5:设a二35,b二25,c二-",则a,b,c的大小关系为（ ）帖丿（5丿 （5丿abbca

acb C.bac D.b,c的底数相同，a,c的指数相同，进而考虑先进行这两b,c0,1，则指数越大，指数幕越小，所以可b：：：ca,caacb答案：B36a=30.5,b=Iog2,c二込弓，则它们之间的大小关系是3（）cb:abc:a

cab C.abc D.0,1分组,a=30.510：：b,c1b,c者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以 cos§作为入手点。利用特2角的余弦值估计其大小。?>

cos==〕，而Iog

2〉Iog

V3=〕，2 3 c 3 2 3 3 2cbcb2答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c作为研究对象。37:（优质试题甘肃河西三校第一次联考）a=Iog7,b=21.1,c则（）3b:a::c::a::b

acb C.cb：a D.0,1cd：a,ba,b的大小，可以考：3 虑以2作为中间量，b=21.1 2,a=Iog7：：： Iog9=2，所以a2b3 cab答案：Db11例8:设abC)ab= yb11

ab,z二昭a，

x,y,z的大小关系是（ ）A.yxzD.xyz

盲弋丿 bB.zyx C.yzx思路：由ab0,a^1可得：0<b-：a，先用0,1将x,y,z分堆，x，y,z0xy,zy,z的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。y=log「1abab=logab--1abab ab全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）而z=log0：：b

a二-logb1b

a,因为以loga■byzx答案：C

logb

b=1,z=-log

a兮-仁yb9:下列四个数:a=]1n2jbrinln2,c=ln2,d=ln2的大小顺序为binln2<0a,c,d1In2•0,1，所以a:d，而c=ln^^ln2：：：d，所以下一步比较a,c:a-c=（ln2$-bn2=ln2‘ln2-^Lln2（ln2-12 I2丿

，所以a>c，综上所述，大小顺序为b.ca:d答案：bca:::d2b10a,b,c均为正数,2a=log1a,2（）a:b::cba::c

c:b/