高考数学(理科)总复习 112 离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件

考点一

离散型随机变量的分布列考点清单考向基础1.离散型随机变量的分布列一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一

个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布

列,简称为X的分布列.Xx1x2…x1…xnPp1p2…p1…pn考点一

离散型随机变量的分布列考点清单考向基础Xx1x12.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1…+pj(i<j且i,j∈N*).【温馨提示】分布列的性质(2)的作用:可以用来检查所写出的分布列

是否有误,还可以求分布列中的某些参数.3.常见的离散型随机变量的概率分布模型(1)两点分布若随机变量X的分布列为X01P1-pp2.离散型随机变量的分布列的性质X01P1-pp2则称X服从两点分布.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}

发生的概率为P(X=k)=

(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列X01…mP

…

为超几何分布列.则称X服从两点分布.X01…mP  … 为超几何分布3例1

(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,

在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主

付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸

出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主

从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是

()A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5考向一

求离散型随机变量的分布列考向突破例1

(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主4X-11P

解析游客摸出的2个小球同色的概率为

=

,所以摊主从每次游戏中获得的利润的分布列为因此EX=-1×

+1×

=0.2.答案

AX-11P  解析游客摸出的2个小球同色的概率为 = ,所5例2某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名

同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七

个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动

(每名同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.考向二

超几何分布列的求解例2某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同6解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P

(A)=

=

.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为

.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=

(k=0,1,2,3).∴P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

.P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.随机变量X的分布列为X0123P

解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A7考向基础1.均值与方差的定义若离散型随机变量X的分布列为考点二

离散型随机变量的均值与方差XX1x2…xi…xnPP1p2…pi…pn(1)均值称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映

了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称DX=

(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其算术平方根

为随机变量X的标准差.考向基础考点二

离散型随机变量的均值与方差XX1x2…82.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=①

aE(X)+b

.(2)D(aX+b)=②

a2D(X)

.(a,b为实数)3.两点分布的均值、方差若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).2.均值与方差的性质9例离散型随机变量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,则Dξ的值为

.ξ012P0.2ab考向

求离散型随机变量的均值与方差考向突破解析∵Eξ=1,∴结合离散型随机变量ξ的分布列,得

解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.答案0.4例离散型随机变量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,则Dξ的值为10方法1

离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行

方法技巧方法1

离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法方法技11说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概

率,在求解时,要注意计数原理、排列组合及常见概率模型.2.期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的12例1

(2018河南安阳一模,19)某公司为了准确把握市场,做好产品计划,

特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x

分布在[50,100)内,且销售量x的分布频率f(x)=

(1)求a的值并估计销售量的平均数;(2)若销售量大于或等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分

层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3

天来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).例1

(2018河南安阳一模,19)某公司为了准确把握13解题导引

解题导引

14解析(1)由题意知

解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9,结合f(x)=

得

+

+

+

+

=1,则a=0.15.可知销售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别

是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,∴销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.(2)销售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2∶3∶3,所以解析(1)由题意知 解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,15在各组抽取的天数分别为2,3,3.X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,P(X=2)=1-

-

=

.X的分布列为X123P

数学期望EX=1×

+2×

+3×

=

.在各组抽取的天数分别为2,3,3.X123P   数学期16方法2

利用期望与方差进行决策的方法(1)当我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的期望,

当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两

个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好.(2)当我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.(3)当对平均水平或者稳定性没有明确要求时,一般先计算期望,若相等,

则由方差来确定哪一个更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近,且期望较大者的

方差较小,显然该变量更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大,应

根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较

稳定.方法2

利用期望与方差进行决策的方法17例2

(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三

年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零

件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个5

00元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整

理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

例2

(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买218以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件

数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购

买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中

选其一,应选用哪个?解题导引

(1)

(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损19解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换

的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.

(4分)所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(6分)解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需20(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.

(8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.

(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应

选n=19.

(12分)(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=021endend谢谢谢谢考点一

离散型随机变量的分布列考点清单考向基础1.离散型随机变量的分布列一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一

个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布

列,简称为X的分布列.Xx1x2…x1…xnPp1p2…p1…pn考点一

离散型随机变量的分布列考点清单考向基础Xx1x242.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1…+pj(i<j且i,j∈N*).【温馨提示】分布列的性质(2)的作用:可以用来检查所写出的分布列

是否有误,还可以求分布列中的某些参数.3.常见的离散型随机变量的概率分布模型(1)两点分布若随机变量X的分布列为X01P1-pp2.离散型随机变量的分布列的性质X01P1-pp25则称X服从两点分布.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}

发生的概率为P(X=k)=

(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列X01…mP

…

为超几何分布列.则称X服从两点分布.X01…mP  … 为超几何分布26例1

(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,

在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主

付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸

出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主

从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是

()A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5考向一

求离散型随机变量的分布列考向突破例1

(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主27X-11P

解析游客摸出的2个小球同色的概率为

=

,所以摊主从每次游戏中获得的利润的分布列为因此EX=-1×

+1×

=0.2.答案

AX-11P  解析游客摸出的2个小球同色的概率为 = ,所28例2某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名

同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七

个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动

(每名同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.考向二

超几何分布列的求解例2某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同29解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P

(A)=

=

.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为

.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=

(k=0,1,2,3).∴P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

.P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.随机变量X的分布列为X0123P

解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A30考向基础1.均值与方差的定义若离散型随机变量X的分布列为考点二

离散型随机变量的均值与方差XX1x2…xi…xnPP1p2…pi…pn(1)均值称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映

了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称DX=

(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其算术平方根

为随机变量X的标准差.考向基础考点二

离散型随机变量的均值与方差XX1x2…312.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=①

aE(X)+b

.(2)D(aX+b)=②

a2D(X)

.(a,b为实数)3.两点分布的均值、方差若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).2.均值与方差的性质32例离散型随机变量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,则Dξ的值为

.ξ012P0.2ab考向

求离散型随机变量的均值与方差考向突破解析∵Eξ=1,∴结合离散型随机变量ξ的分布列,得

解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.答案0.4例离散型随机变量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,则Dξ的值为33方法1

离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行

方法技巧方法1

离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法方法技34说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概

率,在求解时,要注意计数原理、排列组合及常见概率模型.2.期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的35例1

(2018河南安阳一模,19)某公司为了准确把握市场,做好产品计划,

特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x

分布在[50,100)内,且销售量x的分布频率f(x)=

(1)求a的值并估计销售量的平均数;(2)若销售量大于或等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分

层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3

天来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).例1

(2018河南安阳一模,19)某公司为了准确把握36解题导引

解题导引

37解析(1)由题意知

解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,9,结合f(x)=

得

+

+

+

+

=1,则a=0.15.可知销售量分布在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别

是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,∴销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.(2)销售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2∶3∶3,所以解析(1)由题意知 解得5≤n≤9,n可取5,6,7,8,38在各组抽取的天数分别为2,3,3.X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,P(X=2)=1-

-

=

.X的分布列为X123P

数学期望EX=1×

+2×

+3×

=

.在各组抽取的天数分别为2,3,3.X123P   数学期39方法2

利用期望与方差进行决策的方法(1)当我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的期望,

当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两

个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好.(2)当我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.(3)当对平均水平或者稳定性没有明确要求时,一般先计算期望,若相等,

则由方差来确定哪一个更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近,且期望较大者的

方差较小,显然该变量更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大,应

根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较

稳定.方法2

利用期望与方差进行决策的方法40例2

(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三

年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零

件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个5

00元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整

理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

例2

(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买241以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件

数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购