五年级数学拔高之巧解尾数问题

第19讲巧解尾数问题巧点晴——方法和技巧尾数有如下性质：（1）一位数的尾数是它本身；（2）整数之和的尾数等于这些整数的尾数之和的尾数（3）整数之积的尾数等于这些整数的尾数之积的尾数这三个性质是解决尾数问题的关键。巧指导——例题精讲A级冲刺名校•基础点晴一、运用尾数的性质【例1】把3，33，333，„，33„3这23个数相加，所得和的末四位数字是多少？个分析与解此题千万别把23个数相加起来，再确定其末四位数字，而应该用末位思维法求解。因为和的末四位数字只与各个加数的末四位数字有关，所以，只要考虑3，33，333和20个3333的和的末四位数字，而3＋33＋333+3333X20=67029，它的末四位数字是7029，所以所求23个数之和的末四位数字也是7029。做一做1做一做1把2，22，222…和的末四位数是多少？222„2这1996个数相加，所得'1996个例2】求2002X2004X2006X2008－2001X2003X2005X2007的尾数。分析与角根据尾数的性质得2002X2004X2006X2008的尾数=2X4X6X8的尾数=42001X2003X2005X2007的尾数=1X3X5X7的尾数=5故2002X2004X2006X2008－2001X2003X2005X2007的尾数=14－5的尾数=9。小结通常被减数大于减数，但被减数的尾数小于减数的尾数，则必须“借位”进行相减，这就是解法中“14－5”的由来。做一做2求1991X1927X1938X1949－1912X1913X1916的尾数。二、巧用“周期”解题【例3】(1)4X4X4X”X4之积的个位数是几？10个4‘(2)9X9X9X”X9之积的个位数是同几？'11个9"分析与解(1)根据积的尾数应是各个因数尾数相乘的积的尾数知：4X4的尾数是6；4X4X4的尾数是4；4X4X4X4的尾数是6。从中我们可以发现这样的规律：因数4的个数是1个、2个、3个、4个时，积的尾数分别是4、6、4、6。由此可见，因数是4的积的尾数是随着因数的个数而变化的，每2个循环一次。10三2=5组，显然积的个位是6。(2)9X9的尾数是1；9X9X9的尾数是9；9X9X9X9的尾数是1，因数9的个数是1个、2个、3个、4个时，积的尾数分别是9,1,9,1,有规律地变化着。11一2=5组"1,最后余1个9,显然尾数是9。做一做3求14X14X14X„X14之积的个位数是几？J2002个14'B级培优竞赛•更上层楼【例4】试求31999的尾数。分析与解观察3n的尾数规律，列出3n的尾数表如下:乘方次数n123456/89„3n的尾数39/139/1„由此，不难发现3n的尾数是以“3,97T4个数）为循环节而循环循环的。因为1999一4=499,,,,3,所以31999的尾数是7。小结仿例4,你能指出2n,3n,4n,5n,6n,7n,8n,9」勺尾数变化规律吗？做一做4求762001＋252001的末位数字。【例5】求积A=2X4X6X8X12X14X16X18X22X„X1988X1992X1994的尾数。分析与解由尾数性质知：积B=2X4X6X8X2X4X6X8X2X„X8X2X4的尾数与积A的尾数相同。B中有199个（2X4X6X8）连乘，再乘2X4。因为2X4X6X8的尾数=4,所以，12123........19901991998998积B的尾数=4X4X4X„X4X2X4的尾数。J一丿199个4仿例4我们可求得4』勺尾数是以“4,6”为循环节循环的。因199宁2=99”,，1,故积B的尾数为4X2X4之积的尾数2，即所要求的积A的尾数2,即所要求的积A的尾数为2。答：积A的尾数为2。做一做5n为自然数，n!表示1X2X3X”X(n—1)Xn(例如5!=1X2X3X4X5),求2004!的个位数。【例6】求1X1＋2X2＋3X3＋”＋1997X1997所得结果的个位数字是多少？分析与解因为1X1+2X2+”+9X9的个位数字是5,所以1X1＋2X2＋”＋7X7的个位数字相同，都为0，于是1X1＋2X2+”+1997X1997的个位数字是5。答：此式所得结果的个位数字是5。做一做6求1+2!+3!+”+100!所得结果的个位数字是多少？(1!=1,2!=1X2,n!=1X2X3X„Xn)C级(选学)决胜总决赛•勇夺冠军三、综合运用，发散思考【例7】求(19941994+19951995+19961996)X19971997X19981的个位数字。

分析与解因为本题只要求结果的个位数字，故可以简化为求(4®+5i995+61996)X7i9970998的个位数字。但根据前面的说明,这些乘方的个位数字是循环出现的，故又可以利用这个性质再进一步简化。因为1994被4除余2，1997被4除于1，1998被4除余2，而5与6和任何次乘方的个位数字都是5与6，42的个位数字为6，71的个位数字为7，82的个位数字为4，所以，原数与(6+5+6)X7X4的个位数字相同。(6+5+6)X7X4的个位数字为6，即为所求。答：此式所得结果的个位数字是6。做一做7求算式367367+762762X123123的结果的末位数字是多少？巧练习——温故知新(十九)A级冲刺名校•基础点睛1．2X2X2„X2的积的末位数字是多少？j/803个2.3X3X3X„X3—1的个位数是字是几？V2001个33.2886X2886X„X2886—96X96X„X96差的个位数是几?<*></yv1500个2000个4.把24.把2，22，222，„，222„2这个1996个数相加所得和的末尾四位数是多少？5．自然数按下列方式排列ABCDEFG12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637„试问：数1000在哪个字母下而？B级培优竞赛•更上层楼6．下图是一个三角形数阵，如果分别求每一行中所有数的和可以得到1991个数，那么其中偶数有多少个？112123123412345123.......123.......198919907.8小小于20的不同的正奇数的连乘积，其个位数字可能是哪几个？8•求证：对大于1的自然数m，mi985—mi949是10的倍数。9•已知1X2X3X4X„Xn+3是一个自然数的平方，求的值。10•一列数，前面四个数是1，9,9,8，以后的每个数都是它前面三个数的和的末位数字。问：这列数中能否出现1，9，9，9？C级（选学）决胜总决赛•勇夺冠军11・22003与20032的和除以7的余数是多少?12•右今天