【绿色通道】高考数学总复习 52柯西不等式与排序不等式 新人教A选修4

编辑ppt编辑ppt编辑ppt2．向量形式的柯西不等式：如果α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．编辑ppt4．一般形式的柯西不等式：如果a1，a2，a3，…an，b1，b2，b3，…，bn都是实数，则(a＋a＋a＋…＋a)(b＋b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2，

．5．排序不等式：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么

，当且仅当a1＝a2＝…＝an，b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．当且仅当bi＝ 0(i＝1,2,3，…，n)或存在实数k，使ai＝bi(i＝1,2,3，…，n)时，等号成立a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn编辑ppt6．贝努利不等式：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有

.7．贝努利不等式的一般形式：设x>－1，则(1)当

时，有(1＋x)α≤1＋αx；(2)当

时，有(1＋x)α≥1＋αx；以上两式当且仅当x＝0时，等号成立．(1＋x)n>1＋nx0<α<1α>1或α<0编辑ppt1．已知x、y、z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是 ()编辑ppt答案：B编辑ppt编辑ppt3．已知实数a、b、c、d、e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围是________．解析：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，编辑ppt编辑ppt思路分析：由条件式和待证式的特点，可考虑应用柯西不等式．编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppta2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：1编辑ppt编辑ppt编辑ppt

利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此不能忘记检验等号成立的条件.

编辑ppt变式迁移2若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．解：由柯西不等式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，

编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt变式迁移3利用排序不等式证明：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.证明：不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2，故a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.编辑ppt1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比基本不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．2．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．编辑ppt3．应用排序不等式的技巧在于构造两个便于排序的数组，而数组的构造应从需要入手来设计，根据所要证的式子的结构观察分析，特别是变量呈“对称”和“齐