二次根式及一元二次方程复习及练习

例5计算例5计算.2!V—8X111二次根式小结与复习基础盘点二次根式的定义：一般地，我们把形如v'a(a0)的式子叫做二次根式,“「”称为二次根式.定义诠释：(1)二次根式的定义是以形式界定的，如j4是二次根式;形如风a(a三0)的式子也叫做二次根式;二次根式話万中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a±0.二次根式的基本性质石0(a—0);(2)虻h(a―0)；(3)毎二|a|(a(a_0)(a0)；Jab=(a0，b0)；(5)J牙—(a0,b___0).最简二次根式必须满足的条件为：(1)被开方数中不含___；(2)被开方数中所有因式的幂的指数都.a___0，ba___0，b0);(2)除法法则：手=乘法法则：而••/b=a___0，b___0).复习提示：(1)进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用、a2二|a|；a(-进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；[—aa<0丿进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.同类二次根式：几个二次根式化成后，如果相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成，然后把进行合并.复习提示：(1)二次根式的加减分为两个步骤：第一步是，第二步是，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；不是同类二次根式的不能合并，如：心3+.5工昶；

（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1二次根式有意义的条件例1若式子v'3x4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x>4A.x>43B-x>!3C.x>—4Dy/方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2二次根式的性质例2下列各式中，正确的是（）A.*323B.A.*323B.3C.<323D.您3方法总结：Va2a成立的条件是a>0,而在化简〔a2时，先要判断a的正负情况.3二次根式的非负性例3已知yV2x5-v'52x3,则2xy的值为（）A.—15C.15d.15A.—15C.15d.15方法总结：二次根式「a（a>0）具有双重非负性，即a>0、庙>0.4最简二次根式例4下列二次根式中,最简二次根式是（）1__A.■—B.「0.5C.J5D.、.：505方法总结：在进行二次根式化简时,一些同学不知道化到什么程度为止,切记一定要化到最简二次根式为止.5二次根式的运算

方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6二次根式的化简求值2013例6若m=——，则m5-2m4-2013m3的值是.<2014-1方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。例1、(1)、下列方程中是一元二次方程是()A、BA、B、2x+6=7C、x2+y2=5D、3x23—5x+2=02、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a丰0)一次项是，常数项是。(2).关于x的元二次方程)一次项是，常数项是。(2).关于x的元二次方程)x2+x-2=0是元二次方程，则a满足(A.B.c.a乂士1D.为任意实数二次项：，一次项：，常数项:二次项系数：，一次项系数：。例2、(1)、方程x(x+4)=8x+12的一般形式是；二次项是.、若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，贝y()A.m=±2B.m=2C.m=—2D.mH±2、下列方程中,常数项为零的是()+x=1=12；(x直接开平方法x2=直接开平方法x2=a(a-0)>x=历x=—112适用无一次项的|(x+b)2=a(a>0^——x+b=±需解两个一元一次方程3..一元二次方程的解法1、因式分解法①移项：使方程右边为0因式分解：将方程左边因式分解；适用能因式分解|方法：一提，二套，三十字，四分组③由AB=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程(3x(3x+2)2=241(3x(3x+2)2=241②方程：解两个一元一次方程4、公式法①将方程化为一般式写出a、b、c求出b2若b2-4acV0,则原方程无实数解-b土v.b2-b土v.b2-4acx二一2ax="土泪2-仏求解2a⑥若b2-4ac=0,则原方程有两个相等的实数根，代入公式例4、(1)、若关X的一元二次方程(k-1)x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围()W4,且kH1V4,且kH1C..kV4D.kW4(2).已知一元二次方程已知一元二次方程处2+bx+c=0,若a+b+c=0,贝y该方程一定有一个根为()A.0B.1C.-1D.2.关于x的一元二次方程X2+kx—1=0的根的情况是()A、有两个不相等的同号实数根B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根D、没有实数根.关于x的一元二次方程(a-l)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a值为()A、1A、1B、-1C、1或-11D、-2•若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根，则k的取值范围是()>-4三--且kM04C.4>-4三--且kM04C.4-例5、(1)利用因式分解法解下列方程(x—2)2=(2x-3)23x(x+1)=3x+37〉一且心04(x-5)2-8(x-5)+16=0(2)、利用开平方法解下列方程11(2y—1)2=254(x-3)2=25ax2ax2+bx+⑷丰0)在实数范围内可分解因式写成：ax2+bx+C二a(x一叮1ax2ax2+bx+⑷丰0)在实数范围内可分解因式写成：ax2+bx+C二a(x一叮1(3)、利用配方法解下列方程x2-5j2x+2二03x2-6x-12二0x2一2x一399=0(4)、利用公式法解下列方程—3x2+22x—24=02x(x－3)=x－3．3x2+5(2x+1)=05、根与系数的关系：ax2+bx+c=0(a丰0)bcx+x二一—x-x=—12a12a11+-例5、(1).已知xi，x2是方程x2一2x一1二0的两个根，则xix2等于,(2)、已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根为x1、x2,则x1+x2二xx(3)、已知x，x是方程x2+6x+3=0的两实数根，则〜+—的值为12xx12(4)已知方程x2+2(m-2)x+m2+4二0两根的平方和比两根的积大21，求m的值。6、一元二次方程的应用(要注意实际问题不能取负数)(1)二次三项式的因式分解①若一元二次方程ax2+bx+c二0(a丰0)的两个实数根为xx，x2，则二次三项式1111②当b2-4ac>0,二次三项式在实数范围内分解因式为：ax2+bx+c二a(x-x)(x-x)12当b2-4ac=0，二次三项式在实数范围内分解因式为：ax2+bx+c二a(x-x)21当b2-4ac<0,二次三项式在实数范围内不能分解因式(2)一元二次方程的实际应用二、典型例题精讲与练习1、填空题：写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是已知方程2x2—2mx+6=0的一个根为-2，则m，它的另一个根是已知关于x的方程(1-2k)x2-2x\：k+1-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是2、在实数范围内将下列二次三项式分解因式：(1)2x2+5x一3(2)-3x2-5xy+2y22(2x+y)2+3(2x+y)—53、已知关于x的一元二次方程x2+2x-a+1=0没有实数根，试判断关于x的一元二次方程x2+ax+a=1根的情况，并说明理由。4、已知关于x的一元二次方程2x2-(k-2)x+k-2=0有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根。5、已知m,n为实数，且(m2+n2)(m2+n2+1)=20,3mn二—2求(m+n)2及(m-n)2的值6、求证：不论k为何值，关于x的方程x2-(2比+1)x-k-3=0总有两个不相等的实数根。7、一元二次方程G+1)x2+x+m2一1二0有一个解为0,求2m一1的值。8、一元二次方程的实际应用例6、(1)、某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少若设平均每月增长的百分率是x,则列出的方程是()(A)50(1+x)二72(B)50(1+x)+50(1+xI二72(C)50(1+x)x2二72(D)50(1+xI二72、原价a元的某商品经过两次降价后，现售价b元，如果每次降价的百分比都为x，那么下列各式中正确的是()(A)a(1-2x)=b；(B)aG-x)2=b；(C)b(1+2x)=a；(D£6+x》=a。、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台（4）.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少（5）.关山超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元（1）一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今天每台售价为12150元，每年降价的百分率相同.（1）求每年降价的百分率是多少（2）如果吴云是在去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少元（6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信.已知全公司共发出短信870条，求该公司员工的人数.如图，某单位需要建一个面积为1200平方米飞矩形仓库，计划利用一段50米长的旧墙，新墙只围三边，已知每建造1米新墙需要用500元，建造顶棚等其他费用为1万元，设当被利用的旧墙长度为x米时，仓库的总建设费用为y万元.(1)求y关于x的函数解析式及其定义域.(2)当建设费用为6万元时，求被利用的旧墙的长度是多少米今年来由于受到国际石油市场的影响，汽油的价格不断上涨.请你根据下列两位的对话，帮助小明计算一下2006年5月份汽油每升的价格.2006年5月份的汽油价格四2005年5月份汽油价格的倍，用150元给汽车加的油量比2005年少升.2006年5元份的汽油每升价格是多少元呢二次根式、一元二次方程的解法综合练习一、选择题1、下列各式一定是二次根式的是()A\：—7B\：2xCyx2+y2D362、下列根式中属最简二次根式的是()A..a2+1\'5GD.J273、下列计算正确的是()A.迈+f3=*5B.3运-桓=2C.2迈+迂=3、迈D.习-迈=424、下列计算错误的是()A.J4X白=7込B.空60*5=2点C.\:9a+\25a=8aD.詩=2迈5、下列方程为一元二次方程的是1:1:‘3A.2x-3x2-予二0b2x2—y+5=0CX2+2x=x2—1C.6、式子呂的取值范围是(A.x±l且XH2A.x±l且XH2>1且xHC.xH2D.x三17、方程的x2+6x—5=0左边配成完全平方式后所得的方程为()1A.(x+3)2=14B.(x—3)2=14C.(x+6)2=—D.以上答案都不对28、若(a—1)x2+bx+c—0是关于x的-元二次方程，则()A.aH0B.aH1C.aH－1D.a=19、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是()A.若x2=4，则x=2_B.若3x2=6x,贝丘=2C.x2+x—k=0的一个根是1,则k=2D.若分式x"-2)的值为零，贝Ux=2或x=0x10、关于x的一兀二次方程x2+x-2—0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法判断11、一元二次方程x2—4x+2m—6—0有两个相等的实数根，则m等于()A.2B.3C.4D.512、某厂今年一月份的产量为20吨,第一季度的总产量共85吨,设平均每月增长率是x,根据题意所列的方程为()A、20x2=85B、20(1+x)=85C、20(1+x)2=85D、20+20(1+x)+20(1+x)2=8513、摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是()

A.x(x+l)=182；B.x(x—l)=182；1C.2x(x+l)=182D.x(x—l)=182214、方程x2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为A.12B.12或15C.15D.不能确定15、如图，一只蚂蚁从长、宽都是4,高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A.9B.10C.4叮2D.2J7()角形的周长是A、11B、1317若C2+b2)(2+b2一C、11或13

贝()角形的周长是A、11B、1317若C2+b2)(2+b2一C、11或13

贝ya2+b2=(()D、11和13)A.—2B.4C.4或一2D.—4或2二、填空题TOC\o"1-5"\h\z计算：\/12—\㈣二。方程2x2+1=3x化为一般形式为，一次项系数是。如果最简二次根式丫帀与P五二I是同类根式，那么a二。若x<2，化简J(x—2)2+|3—x的正确结果是_。比较大小：3近2运(填“〉”或“V”=)方程x2=3x的解是;方程(x—2)C+3)=0的解是在实数范围内分解因式x2-5=;已知x=1是方程ax2+x-2=0的一个根，则a=。9、已知方程X2—4x+3=0的两根分别为x、x，则x+x=1212，x.x=12

若X、y为实数，且|x+2+y-2=0，则（~y丿的值为TOC\o"1-5"\h\z11.x2-3X+=(X-)212、已知关于x的一元二次方程（l-2k）x2-,k「x-l=0有实数根，则k的取值范围是_13观察分析下列数据，寻找规律：0,朽，X6,3,2打，“5,3込，……那么第10个数据应是.把一兀二次方程3x2—2x—3=0化成3（x+m）2二n的形式是；若多项式X2—ax+2a—3是一个完全平方式，则a二当x=时，lx2+3x与空x+15既是最简二次根式，被开方数又相同。三、解答题：1、计算:⑴、（-A+&-a+j（-2）2⑵、3廊+6、£一2x£(3)、(2J3—3£2)(3)、(2J3—3£2)2+(2+卫3)(2—V3)4）•v27+<3-1(5)(2x-'48+W27)-v'6⑹炸+锂-拱-3拖2、解方程（每小题52、解方程（每小题5分，共20分）.（1）、（x+2）2=252)、(2x+1)2=3(2x+1)3)、x22x40；(4)、3x2-3)、x22x40；(4)、3x2-1=4x(5)3x12—5x+2=06)(x—3)2+2x(x/