安徽省宿州市泗县第一中学2022年数学高三上期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（）A．100 B．210 C．380 D．4002．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为A． B． C． D．3．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，将△ABM沿着AM翻折成△AB'M，且点B'不在平面AMC内，点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，则直线AP经过△AB'CA．重心 B．垂心 C．内心 D．外心5．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．66．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．637．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A． B． C． D．8．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（）A．， B． C．， D．，9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．函数的大致图象是（）A． B．C． D．11．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（）A． B． C． D．12．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．1 B． C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥中，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为__________.14．已知函数为奇函数，则______.15．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．16．己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值．18．（12分）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.19．（12分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.20．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求a，d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）在中，．（1）求的值；（2）点为边上的动点（不与点重合），设，求的取值范围．22．（10分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】设公差为，，，,.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.2、D【解析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．【详解】解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴

设正方体的棱长为，则，∴．

取，连接，则共面，在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.

故选D．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．3、B【解析】

利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.4、A【解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到SΔPB'M【详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P为CB'中点.故选：A.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5、C【解析】

模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．6、D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7、D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．8、A【解析】

依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.9、B【解析】

设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，，，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.10、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正确答案.【详解】解：当时，，，所以，故可排除B，C；当时，，故可排除D．故选：A．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．11、D【解析】

通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得．故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、A【解析】

采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥，长度如上图所以所以所以故选：A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【详解】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示因为，，所以，，，又二面角的大小为，则，，所以，设外接球半径为R，则，，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.14、【解析】

利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数，则，即，，整理得，解得.当时，真数，不合乎题意；当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.15、0.08【解析】

先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得，．故答案为：0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.16、【解析】

首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案．【详解】解：函数的定义域为，且，函数为奇函数，当时，函数，显然此时函数为增函数，函数为定义在上的增函数，不等式即为，在上恒成立，，解得．故答案为．【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析．【解析】

（Ⅰ）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设点，，点，，易求直线的方程为：，令得，，同理可得，所以，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，化简即可得到．【详解】（Ⅰ）解：由题意可知：，解得，椭圆的方程为：；（Ⅱ）证：设点，，点，，联立方程，消去得：，，①，点，，，直线的方程为：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，为定值．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理化简三角形面积得到定值；考查计算能力与推理能力，属于中档题．18、(1)；(2).【解析】

试题分析：(1)由题意可得函数f(x)的解析式为，则.(2)整理函数h(x)的解析式可得：，结合函数的定义域可得函数的值域为.试题解析：(1)由函数取得最大值1，可得,函数过得，，∵，∴，.(2)，，，值域为.19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ），令，，（1）当，即时，，，在上单调递增；（2）当，即时，设的两根为（），，①若，，时，，所以在和上单调递增，时，，所以在上单调递减，②若，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，要证，即证，即证，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在单调递增，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.20、