集合有关概念

隹A景nV/知识（一）集合的有关概念L定义：一般地，我们把研究对象统称为 元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。.因不方法「集合通常用大括号｛｝或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作 N;正整数集，记作N*或N+;N内排除0的集.整数集，记作Z; 有理数集，记作Q 实数集，记作R;.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋”（太平洋 ，大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。 ^如：方程（x-2）（x-1）2=0的解集表示为 1,-2 ,而不是1,1,-2⑶无序性：即集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换。.元素与集合的夫系;……（元素与集合的关系有“属于 ”及“不属于”两种）⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A,记作a_A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A,记作a_A。例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有 3CA,4A,等等。（二）集合的表示方法L列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。如：｛1,2,3,4,5｝,｛x2,3x+2,5y3-x,x2+y2｝,…；说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；(2)一般不必考虑元素之间的顺序；(3)在表示数列之类的特殊集合时 ，通常仍按惯用的次序；(4)集合中的元素可以为数，点，代数式等；(5)列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。(6)对于含有较多元素的集合， 用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集N用列举法表示为 1,2,3,4,5,……2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：xAp(x)如：｛x|x-3>2｝,｛(x,y)|y=x 2+1｝,｛x|直角三角形｝,…；说明：描述法表示集合应注意集合的 代表元素，姐｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与｛y|y=x2+3x+2｝是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如： ｛整数｝,即代表整数集Z。辨析：这里的｛ ｝已包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝。写法｛实数集｝,｛R｝也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式2、元素具有怎么的属性当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。集合的分类:

观察下列三个集合的元素个数{4.8,7.3,3.1,-9};{x RI0<x<3};{x RIx2+1=0}3、文氏图法集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如下图所示：（A）表示任意一个集合A3,9,27）表示{3,9,27}（三）集二吵吵女关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：.A{1,2,3},B{1,2,3,4,5};C{北京一中高一一班全体女生},D{北京一中高一一班全体学生};E{x|x是两条边相等的三角形},F{xx是等腰三角形}观察可得：L子集：对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集（subset）。记作：AB（或BA）读作：A包含于B,或B包含A当集合A不包含于集合B时，记作A?B（或B?A）用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： （B（A））表示：AB.集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合AWs^-WmA与集合B中的元素是一样的，因此集合 A与集合B相等，即若AB且BA,则AB。如：A={x|x=2m+1,mZ},B={x|x=2n-1,nZ},此时有A=Bo.真子集定义：若集合AB,但存在元素xB,且xA,则称集合A是集合B的真子集。记作：A些B（或星A）读作：A真包含于B（或B真包含A）.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：.几个重要的结论：Ao⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合 A都有

Ao集空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC。说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。⑶结论：一般地，一个集合元素若为 n个，则其子集数为岂个，其真子集数为2n-1个,特别地，空集的子集个数为 1,真子集个数为0。(四)集合间的基本运算1考察下列集合，说出集合C与集合A,B之间的关系：A{1,3,5},B{2,4,6},C1,2,3,4,5,6;A{xx是有理数},B{x|x是无理数},C xx是实数；.并集：一般地，由所有属于集合 A度属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，即A与B的所有部分，记作AUB, 读作：A并B即AUB={x|xCA或xCB}。Venn图表示： ，尸讨论：AUB与集合A、B有什么特殊的关系AUA= 讨论：AUB与集合A、B有什么特殊的关系AUA= LJA U①= ,AAUB=A ,A UB=B2.交集尸则属看集合 A且属于集合集(ikersectiOUet )),UBBUA.B的所后兀素组成的集合，叫作集合 A、B的交这两个条件。记作：AAB读作：A交BVenn图"常见的五种交集的情况：说明:8当谕个集合没有公A(B素时，两，集合没有交集讨论：AnB与A、RBnA的关系Ana= a n=_即：Anb={x|xea,且xeB}（阴影部分即为A与B的交集）id^A^cBXs,xAm^caz>^z>a nbbnaAnB=AA nB=B3.一些特殊结论⑴若AB,贝UAAB=A ⑵若BA,则AB=A⑶若A,B两集合中，B=，，则AA=,A =A。(五)集合的基本运算2思考1.U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学 }，则U、AB有何关系集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。(一).全集、补集概念及性质：L全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。2.补集的定义：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：CUA,读作：A在U中的补集，即CuA xxU,且xAVenn图表示：(阴影部分即为A在全集U中的补集)说明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A与CuA之间有什么关系一借助Venn图分析(六)集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3.结论：已知两个有限集合A,B,有：card(AUB尸card(A)+card(B)-card(AAB).考点一：集合的元素特征例1.(1)集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件？(2)实数-a,a,a,va2,-5/g5为元素组成的集合中，最多有几个元素？分别为什么？考点二：集合的表示方法例2.已知集合A={x|-3<x<3,xCZ},B={(x,y)|y =x2+1,xCA},则集合B用列举法表示是 变式.已知集合A={x|-3<x<3,xCZ},B={(x,y)|y=x2+1,xCA},则集合B用列举法表示是 考点三：元素与集合的关系例3.设集合A={1,a,b},B={a,a\ab}，且A=B求实数a,b.考点四：集合的子集问题例4.写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。TOC\o"1-5"\h\z例5.已知集合M满足{2,3}M{1,2,3,4,5}求满足条件的集合 M变式1:知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}若运A,则实数a的值构成的集合是 （）A.{-1,0,-}B.{-1,0}C.{-1,-}D.J,0}3 3 3变式2:集合A={2,8,a}B={2,a2-3a+4}且盲A,求a的值。考点5:集合的运算例6.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB。例7.设A={x|x>-2},B={x|x<3},求AAB。变式1:已知集合A={y|y=x2-2x-3,xCR},B={y|y=-x2+2x+13,xCR}求AAB、AUB变式2：设集合A={Ia+1I,3,5},B={2a+1,a 2+2a,a2+2a-1},当AnB={2,3}时，求AUB变式3.设全集U xx是小于9的正整数，A 1,2,3,B3,4,5,6，求CuA,CUB.例8.已知全集为R,集合P={x|x=a2+4a+1,a£R},Q={y|y=-b2+2b+3,bCR}求PAQ和PnCrQ。强化练习TOC\o"1-5"\h\z.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A某班所有高个子的学生 B 着名的艺术家C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数.集合{a,b,c}的真子集共有个.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x>0},则M与N的关系是 ^.设集合A= {x1<x<2} ,B= {xx<a} ,若

A B,则a的取值范围是 ^5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的人数是 .用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . .已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+n2-19=0},若BACw①，AHC=O,求m的值课后作业TOC\o"1-5"\h\z.已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且AUB=A,则m的值为 （ ）A.1 B.-1 C.1或一1 D.1或一1或0.设集合M={<-1<x<2},N={<x-kW0},若MAN=M,则k的取值范围（ ）(A)(-1,2) (B)[2,+8) (C)(2,+oo) (D)[-1,2].如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )a、(Mnp)ns b、(Mnp)usC、(MAP)ACuSD、(MAP)UCuS.设A={(2x2-px+q=0}B={x6x2+(p+2)x+5+q=o}若AAB={1},则AB=( )2、，11.、 1(C)23(A) —,-(C)2323 2.2-x.函数y=- 的定义域为（ ）2x2-3x-21 1 1....1XA、(8,2] B、(8,1] C、(-00,1)U(1,2] D、(-8,-1)u(.1,2).设1={2,4,1-a},A={2,a2-a+2},若CIA={-1,贝Ua=。.已知集合A={1,2},B={xx A},则集合B=..已知集合A={(x,y)y=3x-2},B={(x,y)y=x2}那么集合AIb=.50/r