蝴蝶定理和燕尾定理

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点 O，那么SABO:SACO BD:DC．梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理” )：①S1:S3 a2:b2②S1:S3:S2:S4 a2:b2:ab:ab；2③S的对应份数为 a b ．等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S1:S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，上)，

E在

AC则S△ABC:S△ADE (AB AC):(AD AE)如图，S2 2，S3 4，求梯形的面积．【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO的面积等于三2角形BOC面积的 ，求三角形 AOD与三角形BOC的面积之比．(第十届华杯赛 )如下图，四边形 ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO 1，并且三角形ABD的面积3，那么OC的长是多少三角形CBD的面积5梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．如图，在长方形ABCD中，AB6厘米，AD2厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积．(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是．燕尾定理应用【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．【巩固】如图，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E在AC上，点D在BC上，且AE:EC3:5,BD:DC2:3，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．【巩固】如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几【巩固】如图，三角形 ABC的面积是请写出这4部分的面积各是多少

1，BD

2DC，

CE

2AE

，

AD

与

BE

相交于点

F

，【巩固】如图，E在BE交于点F．四边形

AC上，D在BC上，且AE:EC 2:32DFEC的面积等于 22cm，则三角形

,

BD:DC 1:2，AD与ABC的面积 ．三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2，CB3，AMBM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少【巩固】如图，长方形

ABCD的面积是

2平方厘米，

EC

2DE，F

是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米如图所示，在四边形 ABCD中，AB 3BE，平行四边形 BODC的面积为________．

AD

3AF

，四边形

AEOF的面积是

12，那么ABCD是边长为

12厘米的正方形，

E、

F

分别是

AB、BC边的中点， AF与CE

交于

G，则四边形

AGCD的面积是

_________平方厘米．如图所示，在

△ABC中，

BE:EC

3:1，

D是

AE的中点，那么

AF:FC

．【巩固】在

ABC中，

BD:DC

3:2，

AE:EC

3:1，求OB:OE【巩固】在

ABC中，

BD:DC

2:1

，

AE:EC

1:3/r