6.1　平面向量的概念及线性运算

6.1

平面向量的概念及线性运算第六章课标要求1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.备考指导本节内容是平面向量的基础,复习时要注意辨析并理解相关概念,会进行向量的线性运算,能利用共线向量基本定理解决相关问题.涉及题目难度不大,对数学抽象学科素养体现较多.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.向量的有关概念

2.向量的加法(1)向量加法的线性运算(2)向量加法的运算律①交换律:a+b=b+a.②结合律:(a+b)+c=a+(b+c).知识拓展向量求和的多边形法则

(1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则,即(2)首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.3.向量的减法(1)相反向量①定义:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量.②性质:-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+a=0;如果a与b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(2)向量的减法①定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.③几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.温馨提示1.记忆口诀:共起点,连终点,指向被减.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.4.向量的数乘(1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.长度:|λa|=|λ||a|.方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.(2)几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)为原来的|λ|倍.(3)运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,则有①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.5.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.6.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.问题思考

||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|有什么关系?已知向量a,b,那么||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|三者之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.(2)当a,b不共线时,,如图①所示.根据三角形的性质,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)当a,b为非零向量且共线时,若向量a与b同向,则|a+b|=|a|+|b|(如图②所示),|a-b|=||a|-|b||;若向量a,b反向,不妨设|a|>|b|,则|a+b|=|a|-|b|(如图③所示),|a-b|=|a|+|b|.图①

图②图③综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【知识巩固】

×√×××DD4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=

.

第二环节关键能力形成能力形成点1辨析平面向量的有关概念例1

(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命题是

.(填序号)

②解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示.(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,故相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,故向量只有相等与不相等,不可以比较大小.对点训练1(1)给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中假命题的个数为(

)A.1 B.2

C.3 D.4C①假命题.方向相同或相反的非零向量是共线向量,另规定:零向量与任意向量共线.故①中命题为假命题.②真命题.因为向量有方向,所以它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③假命题.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④假命题.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.(2)设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为

.

3向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时,a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.能力形成点2平面向量的线性运算BA解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.BB能力形成点3向量共线定理及其应用拓展延伸2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解

因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),又λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.解题心得1.提醒:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.2.对于

(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.3.a∥b⇔a与b共线⇔b=λa(a≠0,λ∈R),注意待定系数法和方程思想的运用.DD第三环节学科素养提升易错警示——都是零向量“惹的祸”

典例1

下列说法正确的是

.(填序号)

①向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λa;②在△ABC中,③不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;④只有方向相同或相反的向量是平行向量;⑤若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.答案:⑤

解析:因为向量a与b不共线,所以向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,

此时λ无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.故⑤正确;①②③④显然错误.典例2

下列叙述错误的是

.(填序号)

①若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同;②|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同;③④若λa=λb,则a=b.答案:①②③④

解析:对于①,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同;对于②,当a,b中有一个为零向量时,结论不成立;对于③,因为两个向量之和仍是一个向量,所以