高考调研二轮复习数学理

第4讲

不等式、向量、解三角形热点调研【典例1】(不等式的性质与解法)(1)(2014·山东)已知实数x，y

满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(

)A.

1

>

1

x2＋1

y2＋1C．sinx>sinyB．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)D．x3>y3调研一 不等式一对选项进行断，A

中，当x＝1，y＝0y＝－1

时，ln1<ln2，B

不成立．C

中＝siny＝0，C

不成立．D

中，因为函数

y＝x

在故选

D.【答案】

D(2)(2014·

三模)已知函数

f(x)＝x，x≥0，2x

，x<0，则关于x

的不等式

f(x2)>f(3－2x)的解集是

．式f(x2)>f(3－2x)，即不等式f(x2)>f(3－2x)，即为

x2>3－2x，上可得原不等式的解集为(－∞，－3)∪(1,3)．【答案】

(－∞，－3)∪(1,3)(3)已知关于＋∞)，则

a＝

.【解析】

方法一ax－1x＋1

<0⇔(ax－1)(x＋1)<0，又其解集为2(－∞，－1)∪(－1

∞)，可知a<0，故(ax－1)(x＋1)<0，∴(x，＋1

1

1－a)(x＋1)>0，结合原不等式的解集，有a＝－2，∴a＝－2.11ax－1x＝－2是方程x＋1

＝0

的根，∴ax－1方法二 ∵

x＋1

<0

的解集是(－∞，－1)∪(－2，＋∞)，∴1－2a－11－2＋1＝0，得a＝－2.【答案】

－2【对点练

1】

(1)若

x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，

a

b

这五个式子中，恒成立的所⑤y>x.有不等式的序号是

．【解析】

令

x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又∵y＝a

3b

2－3

－2＝－1，x＝

＝－1，a

b∴y＝x，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．【答案】

②④【解析】1【答案】

(0，2)(3)(2013·)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为12xx|x<－1或x>

，则

f(10

)>0

的解集为(){x|x<－1

或x>－lg2}{x|－1<x<－lg2}{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}2【解析】

依题意知

f(x)>0

的解为－1<x<1，x1

1故－1<10<2，解得x<lg2＝－lg2.【答案】

D【典例

2】

(基本不等式)(1)(2014·山东六校联考)已知正实数

x，y，z

满足

x2＋y2＋z2＝4，则

2xy＋yz

的最大值为

．【xy＋21yz＝2

3(3

3当z＝x＝

y36

，

33y时取等号，故2xy＋yz

的最大值【答案】

2

3(2)(2014·潍坊五校期中考试)曲线3

4

1(x>0，y>0)上的点

P＋

＝x

y到直线

l：3x＋4y＝1

的距离的最小值为

．【3x＋4y＝1

的距离d＝3＋4y)(3 4

＝25＋12(

＋)．因为

x>0，＋

)

y

xx

y

x

yx

y

x

y

x＋y≥2

x×y＝2(当且仅当x＝y，即x＝y

时等号成立)．＋12×2＝49，故3x＋4y－1≥48，所以d＝|3x＋4y－1|548≥5

，即点P

到直线l：3x＋4y＝1

的距离最小值为485

.【答案】485三模)设二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c

为常【解析】

由二次函数

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c

为常数)得a≠0，其导函数为f′(x)＝2ax＋b.不等式f(x)≥f′(x)即为ax2＋(b—

2a)x

＋

c

－

b≥0

对

任

意

x

∈

R

恒

成

立

，

则a>0，2b－2a

－4ac－b≤0，则0≤b2≤4ac－4a2，所以c≥a>0，则ca≥1，所以b222≤4ac－4a2a

＋c a

＋c2

2＝4ca

－4ca1＋

2c.令t＝a－1≥0，当t＝0

时，b2a2＋c2＝0；当

t>0

时，b222≤2＝

2a

＋c

1＋t＋1

t

＋2t＋2＝

4t

4t

4

2tt＋

＋22

2＋2≤

4

＝2a2－2，当且仅当c＝2＋1

时取等号，综上可得b2a2＋c2的最大值为

2

2－2.【答案】

2

2－2【对点练2】的最小值是(

)A．3(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2yB．49C.211D.

2【解析】

方法一

(拼凑)：∵x＋2y＋2xy＝8，∴(x＋1)(2y＋1)＝9.又x>0，y>0，∴x＋2y＝(x＋1)＋(2y＋1)－2≥2

x＋12y＋1－2＝6－2＝4.当且仅当x＝2，y＝1

时取“＝”号．方法二

(消元)：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝8－x2x＋2>0，∴－1<x<8.∴x＋2y＝x＋2·8－x2x＋2＝(x＋1)＋

9

x＋1－2x＋1≥2

x＋1·

9

－2＝4.当且仅当x＋1＝9x＋1时“＝”成立，此时x＝2，y＝1.方法三

(轮称法则)：在x＋2y＋2xy＝8

中，x

与2y

互换位置等式不变，x＋2y

也不变．∴可以应用轮称法则．令x＝2y，得2x＋x2＝8.∵x>0，∴x＝2，此时x＋2y＝4.【答案】

Bsin2αsin2α＋4cos2α的最大值为π

(2)(2014·潍坊模拟)若α∈(0，2)，则

．【解以2tanαtan2α＋4＝2tanα＋tanα≤

4

2以原式的最大值为12.【答案】12(3)(2014·合肥质检)关于x

不等式ax2－|x＋1|＋3a≥0

的解集为

R，则实数

a

的取值范围是

．【解析】

因为不等式

ax2－|x＋1|＋3a≥0

的解集为(－∞，＋∞)，即

ax2－|x＋1|＋3a≥0

在R

上恒成立，将参数

a

分离得

4

|x＋1|＋|x＋x2＋3＝x＋12－2x＋1＋4

2x＋1—1|

|x＋1||x＋1|

|x＋1|

1

a≥

＝ ，所以|x2x＋1

4

4

4

＋1|＋|x＋1|－|x＋1|

最小应为|x＋1|＋|x＋1|－2.又|x＋1|＋|x＋1|－2≥2，所以14|x＋1|＋|x＋1|－21

1≤2，所以

a∈[2，＋∞)．21【答案】

[

，＋∞)(4)(2014·点

P(3,0)在圆

C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0

内，动直线

AB

过点

P

且交圆于

A，B

两点，若△ABC的面积的最大值为

16，则实数

m

的取值范围为

．所以(3－m到直线AB

的距离为12

2＝2×2 32－d

×d＝

32－d

d＝4

时取等号，所以

4≤|PC|＝

m－32＋m≤3－2

3，与①取交集可得实数

m

的取值范围是2

7)∪(3－2

7，3－2

3]．【答案】

[3＋2

3，3＋27)∪(3－2

7，3－2

3]1．一般在数的大小比较中有如下几种方法．(1)作差比较法和作商比较法，前者是与零比较大小，后者是与1

比较大小；(2)找中间量，往往找1

或0；(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法，画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等．2．解一元二次不等式的步骤．(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．段解，再取并4．在运用基本不正——各项都是正数；二定—能否取得”，求最值时，为了创造条件式子进行恒等变形．运用基本不等式求最值“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑等号成立的注意：“1”的代换，为使用基本不等式创造条件．①若

a＋b＝m，则a＋bm＝1；②x＋(1－x)＝1；③sin2x＋cos2x＝1.5．要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题．(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min；(3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min；(4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.【典例3】(1)(2014·(平行与垂直))设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数

λ＝

.调研二 向量【解析】

通过向量的线性运算列方程求解．由题意，得(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.【答案】

±3(2)(2014·陕1)，若

a∥b，则

tanθ＝

.【解析】

利用向量平行列出关于

θ

的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的关系式变形求解．因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.21因为

0<θ<π

cosθ>0，得

2sinθ＝cosθ，tanθ＝

.，所以

2【答案】12【对点练

3】

(1)(2014·重庆)已知向量

a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数

k＝(

)9A．－2

B．0C．3D.152【3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C【答案】

C且a∥b，若x，y

均A.53C．8B.83D．24【解析】因为a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，a∥b，所以

2x＋3y＝3

3

2

1

3

2

1

9y

4x，则x＋y＝3(x＋y)(2x＋3y)＝3(12＋x

＋y

)≥8，当且仅当9y2＝4x2，2x＋3y＝3，即y＝13x＝4，23

2时等号成立，所以x＋y的最小值为8，故选C.【答案】

C【典例

4】

(向量运算)(1)(2014·新课标 Ⅰ)设

D，E，F

分别为△ABC

的三边

BCCA，AB

的中点，则→

＋

→

＝(

)EB

FCA.

→

1

→BC

B.2ADC.

→

1

→AD

D.2BC【解析】利用向量的加法法则求解．如图，→→

→

→

→

→

→

→

1

→

→EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝2(AC＋AB)＝2·21

→

→AD＝AD.【答案】

C(2若→

→OC＝λOA＋μOB位置区域正确的是()【x＝3λ＋μ，y＝λ＋3μ，解得μ＝3y－8.≥3y－x83x－y－8≥0，≥1，即x－3y＋8≤0，x≥y，故选D.【答案】

D【对点练4】(1)(2014·福建)设M

为平行四边形ABCD

对角线的交点，O

为平行四边形ABCD

所在平面内任意一点，则→＋OA→

→

→OB＋OC＋OD等于(

)A.

→

→OM

B．2OMC．3

→

D．4

→OM

OM【解析】

因为点

M

为平行四边形

ABCD

对角线的交点，所以点

M

是

AC

和

BD

的中点，由平行四边形法则知→

＋

→

＝OA

OC2

→

→

→

→

→

→

→

→

→OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.【答案】

D(2)(2014·马鞍山联考)在直角梯形

ABCD

中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点

P

在直角梯形ABCD

内运动(含边界)，设→AP→

→＝α·AD＋β·AB，则

α＋β

的最大值是(

)A.4

B.13

4C．1

D.13【答题模板】本题与2013

年卷第9

题类似，把向量运算与线性规划结合，综合考查数形结合思想和转化与化归思想，解题时注意建立适当的坐标系，先把问题转化为线性规划问题，再进行求解．【解析】

建立 的直角坐标系，则

B(3,0)，C(1,1)，(0,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，所以x3β，y＝α，所以

α＋β＝x＋y，则α＋β

的几何意义是直线y＝－3x＋(α＋β)在y

轴上的截距，利用线性规划的知识，显然在点

C

处＋β

取得最大值，这个最大值是1

1

43＋

＝3.【答案】

A(3)(2014·镇四市调研)如图，在△ABC

中，BO

为边AC上的中线，

→

＝2

→

→

→

→

1

→

→BG GO，若CD∥AG，且AD＝5AB＋λAC(λ∈R)，则

λ

的值为

．【解析】

因为

→

∥

→

，所以存在实数

k，使得

→

＝→CD

AG

CD

kAG.又→

→

→

1

→

→CD＝AD－AC＝5AB＋(λ－1)AC，又由

BO

是△ABC

的边AC

上的中线，

→

＝2

→

，得点

G

为△ABC

的重心，所以→

1(

→＋BG

GO AG＝3

AB→

1

→

→

k

→

→AC)，所以5AB＋(λ－1)AC＝3(AB＋AC)．由平面向量基本定理可得1

k5＝3，k3λ－1＝

，6解得λ＝5.【答案】65【典例

5】

(向量的数量积)(1)(2014·洛阳综合训练)已知△ABC

的外接圆半径为1，圆心→

＋

→

＋为

O，且

3OA

4OB

5OC→

＝0，则

→

·→

的值为(

)OC

AB1A．－51B.56C．－56D.5【答题模板】 本题主要考查平面向量的线性运算、数量积公式等基础知识，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，解题时，根据平面向量的知识进行求解．【解→5OC，两端平方，得9＋16＋→

→

1

→

→

→

→

1OC·AB＝－5(3OA＋4OB)·(OB－OA)＝－5(－3＋【答案】

A(2)(2014·济南四校联考)上的动点，点Q

是边AC

上的动点，且→＝λ

→，AQAP

AB→

＝(1－λ)AC→

，λ∈R，则→

·→

的最大值为

．BQ

CP【λ)·

→

→

→AC]·(CA＋λAB)＝A(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－2·(1

→

→

3λ＝2时，BQ·CP取得最大值－8.3【答案】

－8(3)(2014·淮北五校四次联考)在面积为

2

的等腰直角三角形ABC

中，E，F

分别为直角边

AB，AC

的中点，点

P

段

EF上，则→

·→

的最小值为

．PB

PC【解析】

易知

AB＝AC＝2，EF＝22，斜边高的一半为

2

.方法一 设

PE＝x，则

PF＝

2－x，于是→

·

→

＝(

→

＋PB

PC

PE→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→EB)·(PF＋FC)＝PE·PF＋PE·FC＋EB·PF＋EB·FC＝－x(

2－x)－

2

22

x－

2

×(22－x)＋0＝x

－2x－1，当

x

2

→

·→

最小，＝

2

时，PB

PC此时→

→

3PB·PC＝－2.方法二 以点

A

为原点，AB，AC

所在的直线分别为

x，y

轴，建立则→

→PB＝(2－x，－y)，PC＝(－x,2－y)．因为点P(x，y)在直线EFPB·PC上，故

x＋y＝1(0≤x≤1)，即

y＝1－x.于是→ →

＝(2－x)(－x)－1y(2－y)＝2x2－2x－1，所以当

x＝2时，PB·PC→

→最小，此时→·→＝PB

PC3－2.3【答案】

－2【对点练5】(1)(2014·济南训练)，则→

→)AD·BC＝(A．3

B．4C．5 D．不能确定【解→

→

→

→BC＝AC－AB，所以AD·BC＝21＝2(9－1)＝4.【答案】

B)在△ABC

中，角A＝60°，M

是AB

的中点，段AC

上运动，则DB·DM的最小值【解析】

在△ABC

中，设角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，根据余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝b2＋4－2b，即2b

－2b－8＝0，解得

b＝4.设AD＝λAC(0≤λ≤1)，则→

·DM

(ABDB→

→ →

＝

→—

→

→

→

→

→

1

→

→2

→

23

→

→AD)·(AM－AD)＝(AB－λAC)·(2AB－λAC)＝λ|AC|

－2λAB·AC＋1

→

222|AB|

＝16λ

－6λ＋2，当23

23λ＝16时，16λ

－6λ＋2

最小，最小值为16.【答案】2316段AB

上运动，则EM·EC的取值范围是【解析】如图，将正方形放入直角坐标系中，则设E(x,0)，0≤x≤1.2则M(1，1

，C(1,1)，所以→＝(1－x)

EM1

→，2)，EC＝(1－x,1)，2所以

→

→

1

1EM·EC＝(1－x，2)·(1－x,1)＝(1－x)＋2.因为0≤x≤1，所以21

1

3→

→

1

32≤(1－x)＋2≤2，即EM·EC的取值范围是[2，2]．1

3【答案】

[2，2]【典例

6】

(向量的模)(1)(2014·潍坊五校联考)已知向量

a，b

满足|b|＝ab·

＝2，〈a3π－b，a〉＝

，则|a|＝

.【解析】

设|a|＝x，则|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2－2×2＋22＝x2，故|a－b|＝x；(a－b)·a＝a2－a·b＝x2－2.又(a－b)·a＝|a－b|×|a|cos〈a－b，a〉＝x×xcosπ＝1x2，所以x2－2＝

x2，即x213

2

2＝4，解得x＝2

或x＝－2(舍去)．故|a|＝2.【答案】

2(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O

为原点，A(－1,0)，B(0，

3)，C(3,0)，动点

D

满足|

→

|＝1，则|

→

＋

→

＋

→

|的取CD

OA

OB

OD值范围是(

)A．[4,6]C．[2

3，2

7]B．[ 19－1，

19＋1]D．[ 7－1，

7＋1]【解析】

设出点

D

的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．→设D(x，y)，则由|CD|2＝1，C(3,0)，得(x－3)＋2y

＝1.→

→又∵→＋OB＋OD＝(x－1，y＋3)，OA∴|

→

→

→OA＋OB＋OD|＝22x－1

＋y＋

3

.∴|

→

→

→OA＋OB＋OD|的几何意义是点P(1，－23)与圆(x－3)＋|OA

OB

OD|y2＝1

上点之间的距离．由|PC|＝

7，知→＋→＋→的最大值为1＋7，最小值为7－1.故选D.【答案】

D，)【对点练

6】

(1)(2014·大纲(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(A．2

B.

2C．1

D.22【解析】

由题意知a＋b·a＝0，即a2＋b·a＝0，①22a＋b·b＝0，

2a·b＋b

＝0，②将①×2－②，得2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2.故|b|＝

2.【答案】

B(2)(2014·威海两校质检)若向量a＝(2,1)和b＝(x－1，y)垂直，则|a＋b|的最小值为(

)A.

5

B．5C．2

5

D.

15【答题模板】 本题主要考查两向量垂直的坐标表示以及向量的模的求解和最值．首先根据两向量垂直的坐标表示求出

x

与y

的关系式，然后代入向量的模的表达式中，将问题转化为二次函数的最值问题进行求解；也可利用向量的模的表达式的几何意义直接求解最值．【解析】

方法一 由

a⊥b，可得

2(x－1)＋y＝0，整理得2x＋y－2＝0.故y＝－2x＋2.而a＋b＝(x＋1，y＋1)，故|a＋b|＝x＋12＋y＋12

＝

x＋12＋2－2x＋12

＝

5x2－10x＋10

＝5x－12＋5，故当x＝1

时，|a＋b|取得最小值，最小值为5，故选A.方法二 由

a⊥b，可得

2(x－1)＋y＝0，整理得

2x＋y－2＝0.而

a＋b＝(x＋1，y＋1)，故|a＋b|＝

x＋12＋y＋12，其几何意义为点

P(x，y)到

M(－1，－1)的距离，故|a＋b|的最小值为点M(－1，－1)到直线l：2x＋y－2＝0

的距离d＝|2×－1－1－2|22＋12＝5.故选A.【答案】

A【典例

7】

(向量的夹角)(1)(2014·唐山训练)已知向量

a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与

b

的夹角为钝角，则

λ

的取值范围是

．【答题模板】本题主要考查向量的数量积与夹角．把a

与

b

的夹角为钝角转化为a·b<0

且a

与b

不反向，考生需注意不能忽略a

与b

不反向．【解不反向，所以－2λ－1<0

且λ≠2，解21【答案】

(－

，2)∪(2，＋∞)(2)(2014·烟台强化训练)已知→＝(1,0)，→＝(－1，3)，→OA

OC

CB＝(cosα，sinα)，则→

与→

的夹角的取值范围是(

)OA

OBA．

π

5π

π

2π[2，

6

] B．[2，

3

]C．

2π

5π

π

2π[

3

，

6

] D．[6，

3

]【解析】OB

OC

CB设B(x，y)，则→＝

→＋→＝(－1，3)＋(cosα，sinα)＝(x，y)，整理得x＝cosα－1，y＝sinα＋

3，2即得到(x＋1)＋(y－23)＝1，这是一π个以点(－1，3)为圆心，半径为1

的圆，且∠BOC＝6，作出图像

，从图像可以看出，

→

与→

的夹角的取值范围是[πOA

OB

2，5π6

]，故选A.【答案】

A(3)(2014·

名校联考)已知向量a，b

满足a⊥b，|a＋b|＝t|a|，2π若

a＋b

与

a－b

的夹角为 ，则

t

的值为(

)3A．1

B.

3C．2D．3【量垂直得到|a＋b|＝|a得到关于t

的等式，即可求出

t

的值再由所给条件及三角形知识，即可求出t

的值．－b|.∵|a＋2π与a－b

的夹角为3

，入整理可得t2＝4.∵t>0，∴t＝2，方法二

(优解)如图，∵a⊥b，∴四边形

ABCD

为矩形．又a＋b

与

a－b

2π

∴∠ACB＝π

Rt△ACB

中，AC的夹角为

3

，

6，故在＝2AB，即|a＋b|＝2|a|，t＝2，故选C.【答案】

Cm)．若向量a，b

的夹A．2

3C．0B.

3D．－

3【解析】依据向量数量积的定义和坐标运算列出关于m

的方程求解．∵ab· ＝(1，

3)·(3，m)＝3＋

3m，π又

ab·

＝

12＋

32×

32＋m2×cos6，π∴3＋

3m＝

12＋

32×

32＋m2×cos6.∴m＝

3.【答案】

B(2)(2014·九江二次模拟)已知非零向量a，b

满足|a＋b|＝|a－b|＝3|b|，则

cos〈a，b－a〉＝(

)A.2

23B.13C．－2

231D．－3【解析】

方法一

(通解)因为非零向量

a，b

满足|a＋b|＝|a－b|＝3|b|，所以2

2解得ab·

＝0，|a|＝2

2|b|.a·b－a所以

cos〈a，b－a〉＝|a||b－

＝a＋b2＝a－b2，a＋b

＝9b

，－|a|2a|

|a|×3|b|＝－3|b|＝－|a|

2

2|b|3|b|＝2

2—3

，故选C.方法二

(巧解)把非零向量

a，b

的起点移动同一起点

A，依题意，得四边形ABCD

为矩形，＝|b－a||b|

1＝3，且∠＝2

2，所以cos〈a，b－a〉＝cos32

2—3

，故选C.【答案】

CⅠ)已知A，B，C

为圆O

上的三点，若AO【解析】利用向量加法的法则求解．∵

→

1

→

→AO＝2(AB＋AC)，∴点

O

是△ABC

中边BC

的中点．AB

AC∴BC

为直径，根据圆的几何性质有〈→，→〉＝90°.【答案】

90°起点 好加减，不能忘却两法则！已知A，B，C

是平面内三个不相同的点，O

是平面内任意一点，则向量→，→，→的终点A，B，C

共线的充要条件是OA

OB

OC→

＋存在实数

λ，μ，使得

→

＝λOA μOB，且

λ＋μ＝1.OC

→点．解决此类问题何知识及向量数量积的基本概向量的线性运算进行转化，再利用①求解向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有4．利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法．①|a|2＝a2＝a·a；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2

a·b＋b2；③若

a＝(x，y)，则|a|＝

x2＋y2.5．求平面向量夹角的方法．【典例8】(1)(2014·(求角))在△ABC

中，角A，B，C

所对的边分别为a，πb，c.已知A＝6，a＝1，b＝

3，则

B＝

.调研三 解三角形【解析】先由正弦定理求出

sinB，再求角

B.关键在于对解的个数的判断．由正弦定理，得asinA

sinB

6＝

b

.把

A＝π

a＝1，b＝

3代入，解，2得sinB＝

3

因为b>a，所以B>A，结合题意可知B.π

2π＝3或3

.【答案】π

2π3或3(2)(2014· )在△ABC

中，内角

A，B，C

所对的边分别是a4b，c.已知

b－c＝1

2sinB＝3sinC，则

cosA

的值为

．a,【解析】由正弦定理得到边

b，c

的关系，代入余弦定理的变式求解即可．由2sinB＝3sinC

及正弦定理，得

2b＝3c，即b3＝2c.4

2

41

1又b－c＝1a，∴c＝

a，即a＝2c.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2

2

22×2c29

34c

＋c

－4c

－4c23

＝

3c21＝－4.1【答案】

－4(3)(2014·石家庄一模)在△ABC

中，角A，B，C

所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝

3acosC，则sinA＋sinB

的最大值是(A．1C．3)B.

2D.

3【解析】

∵csinA＝

3acosC，∴sinCsinA＝

3sinAcosC.∵＝sinA＋

2π

A)＝

sisin(

3

－

2π3sin(A＋6)≤

3，π

π

5π

3∴6<A＋6<

6

，∴

2

<为3，故选D.【答案】

D【对点练

8】

(1)(2014·

模拟)设△ABC

的内角

A，B，C23所对的边分别为a，b，c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，则B＝

.【解析】

由

cos(A－C)＋cosB＝3

B＝π－(A＋C)，得

cos(A2及3－C)－cos(A

＋C)＝

2

，即cosAcosC

＋sinAsinC

－(cosAcosC

－3

3sinAsinC)＝2，所以

sinAsinC＝4.又由b2＝ac，利用正弦定理进行边角互化，得sin2B＝sinAsinC，故sin2B33＝4.所以sinB＝

2

或sinB3

π

2π2＝－2

(舍去)，所以

B＝3或3

.又由b

＝ac

知b≤a

或b≤c，所以πB＝3.【答案】π3(2)(2014·济南模拟)在△ABC

中，若sinC

3，b2－a2＝

ac，＝

5sinA

2则cosB

的值为(

)A.1

B.13

21

1C.5

D.4【解析】25由题知，c＝3a，b2－a2＝

ac＝c2－2accosB，所c2以cosB＝52ac＝15－2ac

9－

261＝4.【答案】

Db，c.若3a＝2b，则A.19B.13C．1D.72【解析】

先利用正弦定理转化边角关系，再求三角函数式的值．∵＝a

bsinB

bsinA

sinB，∴sinA＝a.b

3

sinB

3∵3a＝2b，∴a＝2.∴sinA＝2.∴2sin2B－sin2Asin2AsinB

3

7＝2(sinA)2－1＝2×(2)2－1＝2.【答案】

D【(1)(2014·南充模拟)对边，若2sinB＝sinA＋sinC，B＝30°且S△ABC＝2【解析】

因为

2sinB＝sinA＋sinC，由正弦定理，得

2b＝a1＋c，两边同时平方，得

a2＋2ac＋c2＝4b2

①.又

S△ABC＝2ac·s

in30°3＝2，所以

ac＝62②.因为B＝30°，由余弦定理，得a

－2ac·cosB＋c2＝b21.③.联立①②③得b2＝4＋2

3＝(

3＋1)2，所以b＝

3＋【答案】

3＋1431(2)(2014·南通联考)在△ABC

中，已知

tanA＝，tanB＝5，且△ABC

最大边的长为

17，则△ABC

最小边的长为

．【解析1，即tanC＝－1，所以C所以A

最小，即A

所对的边a

最小．所以由正弦定理a

csinA

sinC＝

，得a＝csinC·sinA＝

22【答案】

2(3)(2014·新课标 Ⅰ)如图，为测量山高

MN，选择

A

和另一座山的山顶C

为测量观测点．从

A

点测得M

点的仰角∠MAN＝60°，C

点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C

点测得∠MCA＝60°，已知山高

BC＝100

m，则山高

MN＝

m.【解析】

利用三角函数的定义及正弦定理求解．根据图示，AC＝100

2

m.在△MAC

中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得ACsin45°

sin60°＝

AM

.∴AM＝100

3

m.AM在△AMN

中，MN＝sin60°，∴MN＝10023×

3

150

m.＝【答案】

150【对点练

9】

(1)(2014· )在△ABC

中，a＝1，b＝2，cosC1＝4，则

c＝

；sinA＝

.在△ABC

中，1把a＝1，b＝2，cosC＝4代入，4因为

cosC＝1

sinC＝，所以1－cos2C＝415.再由正弦定理，得a

csinA

sinC15＝ ，解得

sinA＝

8

.【答案】

2

15

8(2)(2014· )在△ABC

中，角A，B，C

所对应的边分别为abab，c，已知

bcosC＋ccosB＝2b，则

＝

.【解析】

思路一：利用余弦定理化角为边，再化简求值．思路二：利用正弦定理化边为角，再化角为边求解．方法一 因为

bcosC＋ccosB＝2b，所以b·＋c·a2＋b2－c2

a2＋c2－b22ab

2ac＝2b.a化简可得b＝2.方法二 因为

bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB.故sin(B＋C)＝2sinB.ba故sinA＝2sinB，则a＝2b，即＝2.【答案】

2(3)(2014·

)如图，从气球

A

上测得正前方的河流的

BC

的俯角分别为

67°，30°，此时气球的高是

46m，则河流的宽度

BC约等于

m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)根据已知的图形∠BAC＝37°，由正弦定理，得

A

＝sin30°

sin×0.60＝60

m.【答案】

60(1)(2014·齐sinC＝

3cosC，则△ABCA.

3

B.

52

2C.D.7

115

4【答题模板】 本题主要考查同角三角函数的关系以及利用正弦定理求解，通过判断三角形的形状计算三角形的面积．先由已知等式sinC＝

3cosC求解出角C，再利用正弦定理以及三角形的两边长求出角A，从而得到角B，判断出三角形的形状并计算面积．在由正弦定理求角时要注意根据边长的大小关系判断出角的大小关系．【解析】由sinC＝3cosC，得

tanC＝

3>0.所以

C

π

根＝3.据正弦定理可得BC

＝

AB

，即sinA

sinC

sinA31

＝

3

1＝2，所以sinA＝2.因为2AB>BC，所以

A<C，所以

A

π

B

π

所以△ABC

为直角三＝6，即

＝2，角形，所以S△ABC＝2×1

33×1＝

2

.【答案】

A(2)(2014·新课标 Ⅰ)已知

a，b，c

分别为△ABC

三个内角A，B，C

的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b) sinC，则△ABC

面积的最大值为

．【解析】

利用正弦定理及余弦定理求解．∵a

bcsinA

sinB

sinC＝

＝

＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC

可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴b2＋c2－a22bcbc

1＝2bc＝2＝cosA，∴∠A＝60°.∵在△ABC

中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c

时取得)，∴S

1·bc·sinA

1×4

3

3.△ABC＝2

≤2

×

2

＝【答案】

3【对点练

10】

(1)(2014·江西)在△ABC

中，内角

A，B，C3π所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(

)A．3B.9

323

3C.

2D．3

3【解析】

利用所给条件以及余弦定理整体求解

ab

的值，再利用三角形面积公式求解．∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①π

π2

2

2

2

2∵C＝3，∴c

＝a

＋b

－2abcos3＝a

＋b

－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.1

1

3

3

3∴S△ABC＝2absinC＝2×6×

2

＝

2

.【答案】

C(2)(20三边长构成公差为4

的等差数列，则△＋8)2＝a2＋(a＋4)—4a

－48

＝

0

，解得a

＝－4(舍×6×10×sin120°＝15

3.【答案】

15

3(3)(2013·

二模)在△ABC

中，内角A，B，C

所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC

的面积为3，则

a＋b

sinA＋sinB＝(

)B.2

39A.

21C．2

213D．2

7△ABC2【解析】

∵S

＝1bcsin120°＝3，即1c×

3＝2

23，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，∴a＝

21.∵

a＝

bsinA

sinB＝

a＋b

2RsinA＋sinB7，∴sinA＋sinB

sinA＋sinB＝＝2R2R，∴2R

a

21

2＝sinA＝

3

＝2＝2

7.【答案】

D【典例

11】

(综合问题)(2014·重庆)已知△ABC

的内角A，B，C

满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)

1

S

满足1≤S≤2，记a，b，c

分＋2，面积别为

A