备考2019届中考数学中考真题演练(图形地旋转)(解析)

备考2019届中考数学中考真题演练(图形地旋转)(剖析版)备考2019届中考数学中考真题演练(图形地旋转)(剖析版)备考2019届中考数学中考真题演练(图形地旋转)(剖析版)2021年数学中考真题演练〔图形的旋转〕一．选择题1．〔2021?鞍山〕以以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．2．〔2021?营口〕如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点顺时针旋转到△11的地址，连接1，假设∥1，那么∠1的度数是〔〕AABCBBBB1ACCACA．10°B．20°C．30°D．40°3．〔2021?本溪〕以以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．4．〔2021?济南〕“瓦当〞是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当〞图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．5．〔2021?济南〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的极点都在方格线的格点上，将△ABC绕点

顺时针方向旋转

90°，获取△

′′′，那么点

的坐标为〔

〕P

ABC

PA．〔0，4〕B．〔1，1〕C．〔1，2〕D．〔2，1〕6．〔2021?德阳〕如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．3B．C．3﹣D．3﹣7．〔2021?牡丹江〕以以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有〔〕个．A．0B．1C．2D．38．〔2021?牡丹江〕如图，△ABC三个极点的坐标分别A〔1，﹣1〕，B〔2，﹣2〕，C〔4，是﹣1〕，将△ABC绕着原O旋75°，获取△A1B1C1，那么点B1的坐标为〔〕点转A．〔，〕或〔﹣，﹣〕B．〔，〕或〔﹣，﹣〕C．〔﹣，﹣〕或〔，〕D．〔﹣，﹣〕或〔，〕9．〔2021?黑龙江〕如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．10．〔2021?阜新〕如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得OABCOOABC到正方形111，依此方式，绕点连续旋转2021次获取正方形202120212021，若是点A的坐标为〔1，0〕，那么点B2021的坐标为〔〕A．〔1，1〕B．〔0，〕C．〔〕D．〔﹣1，1〕11．〔2021?贺州〕以以下图形中，属于中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．12．〔2021?大连〕如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，获取△EBD，假设点A恰幸好ED的延长线上，那么∠CAD的度数为〔〕A．

90°﹣α

B．α

C．

180°﹣α

D．2α13．〔

2021?

桂林〕如图，在正方形

中，

＝3，点

在

的边上，且

＝1，△ABCD

AB

MCD

DM

AEM与△

关于

所在的直线对称，

将△

按顺时针方向绕点

旋转

90°获取△

，连ADM

AM

ADM

A

ABF接EF，那么线段

EF

的长为〔

〕A．3B．C．D．14．〔2021?遂宁〕以下说法正确的选项是〔〕A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直均分D．六边形的内角和是

540°15．〔

2021?

海南〕如图，在△

ABC

中，

AB＝

8，AC＝

6，∠

BAC

＝

30°，将△

ABC

绕点

A

逆时针旋转

60°获取△

ABC，连接

BC，那么

BC

的长为〔

〕11

1

1A．6B．8C．10D．1216．〔2021?遂宁〕如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，ABG重合，连接

EC＝

1，将△

ADE

绕点

A沿顺时针方向旋转

EF，

90°后与△过点B作BM∥AG，交AF于点M，那么以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，S＝中正确的选项是〔〕MBFA．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二．填空题17．〔2021?青海〕如图，将Rt△ABC绕直角顶C顺时针旋90°，获取△DEC，连接AD，点转假设∠BAC＝25°，那么∠BAD＝．18．〔2021?镇江〕如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC＝5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．假设sin∠B′AC＝，那么AC＝．19．〔2021?贺州〕如图，将Rt△ABC绕直角顶C顺时针旋90°，获取△A′B′C，连接点转BB'，假设∠A′B′B＝20°，那么∠A的度数是．20．〔

2021?

咸宁〕如图，∠

MON

＝120°，点

A，B

分别在

OM

，ON

上，且

OA

＝

OB

＝

a，将射线OM绕点

O

逆时针旋转获取OM′，旋转角为

α〔

0°＜α＜

120°且α≠60°〕，作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有以下结论：AD＝CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α＝30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值a2；为其中正确的选项是．〔把你认为正确结论的序号都填上〕．21．〔2021?苏州〕如图，在Rt△ABC中，B＝90°，AB＝2，BC＝．将△ABC绕A∠点按逆时针方向旋转90°获取△AB'C′，连接B'C，那么sin∠ACB′＝．22．〔2021?陕西〕如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，EF＝且AB；G、HBC边上的点，且GH＝BC，假设S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，那么是S1与S2之间的等量关系是．23．〔2021?台州〕如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ〔0°＜θ＜90°〕获取另一条数轴y，x轴和y轴组成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，假设点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，那么称有序实数对〔a，b〕为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，θ＝60°，点M的斜坐标为〔3，2〕，点N与点M关于y轴对称，那么点N的斜坐标为．24．〔2021?张家界〕如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，获取△ADE，这时点B，C，D恰幸好同素来线上，那么∠B的度数为．三．解答题25．〔2021?丹东〕如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A〔﹣2，3〕，B〔﹣5，1〕，C〔﹣3，1〕．先将△ABC沿一个确定方向平移，获取△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是〔1，2〕；再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°，获取△A2B2C2，点A1的对应点为A2．〔1〕画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；〔2〕画出△A2B2C2，并直接写出cosB的值．26．〔2021?铁岭〕如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM＝BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．〔1〕如图1，当点D在BC上，点E在AC上时，那么△AEM的形状为；〔2〕将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的地址，请判断△AEM的形状，并说明原由；〔3〕假设CD＝BC，将△CDE由图1地址绕点C顺时针旋转α〔0°≤α＜360°〕，当ME＝CD时，请直接写出α的值．27．〔2021?鄂尔多斯〕〔1〕【操作发现】如图1，将△绕点顺时针旋转60°，获取△，连接，那么∠＝度．ABCAADEBDABD〔2〕【类比研究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．〔3〕【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．〔4〕【拓展应用】如图4是A，B，C三个乡村地址的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．28．〔2021?牡丹江〕在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角均分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF＝135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答以下问题：1〕当∠EMF绕M点〔2〕当∠EMF绕M点

旋转到如图①的地址时，求证：BE+CF＝BM；旋转到如图②，图③的地址时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；〔3〕在〔1〕和〔2〕的条件下，tan∠BEM＝，AN＝+1，那么BM＝，CF＝．29．〔2021?青海〕请认真阅读下面的数学小研究系列，完成所提出的问题：〔1〕研究1：如图1，在等腰直角三角形中，∠＝90°，＝，将边绕点ABC

ACB

BCa

AB

B顺时针旋转

90°获取线段

，连接

．求证：△

的面积为

2．〔提示：过点

作BD

CD

BCD

a

DBC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE〕2〕研究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°获取线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明原由．3〕研究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°获取线段BD，连接CD．试试究用含a的式子表示△BCD的面积，要有研究过程．30．〔2021?绥化〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个极点的坐标分别为A〔﹣4，1〕，B〔﹣1，﹣1〕，C〔﹣3，3〕．〔每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形〕〔1〕将△ABC先向上平2个单位长度，再向右平移4个单位长度获取△A1B1C1〔点A、移B、C的对应点分别为A1、B1、C1〕，画出平移后的△A1B1C1；点〔2〕将△A1B1C1绕着坐标原点O顺时针旋转90°获取△A2B2C2〔点A1、B1、C1的对应点分别为点A2、B2、C2〕，画出旋转后的△A2B2C2；〔3〕求△

A1

B1C1

在旋转过程中，点

C1

旋转到点

C2

所经过的路径的长．

〔结果用含π的式子表示〕31．〔2021?黑龙江〕如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个极点坐标分别为A〔1，4〕，B〔1，1〕，C〔3，1〕．1〕画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．2〕画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后获取的△A2B2C2．〔3〕在〔2〕的条件下，求点A所经过的路径长〔结果保存π〕．32．〔2021?赤峰〕将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直均分AB，与AC订交于G，BC＝2cm．点〔1〕求GC的长；〔2〕如图2，将△DEF绕D顺时针旋转，使直角边DF经过C，另素来角边DEAC点点与订交于点H，分别过H、CAB的垂线，垂足分别M、N，经过观察，猜想MDND的作为与数量关系，并考据你的猜想．〔3〕在〔2〕的条件下，将△DEF沿DB方向平移获取△D′E′F′，当D′E′恰好经过〔1〕中的点G时，请直接写出DD′的长度．33．〔2021?阜新〕如图，△ABC在平面直角坐标系内，极点的坐标分别为A〔﹣4，4〕，B〔﹣2，5〕，C〔﹣2，1〕．〔1〕平移△ABC，使点C移到点C1〔﹣2，﹣4〕，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；〔2〕将△ABC绕点〔0，3〕旋转180°，获取△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；〔3〕求〔2〕中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长〔结果保存π〕．34．〔2021?广西〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个极点坐标分别是A〔1，1〕，B〔4，1〕，C〔3，3〕．〔1〕将△ABC向下平移5个单位后获取△A1B1C1，请画出△A1B1C1；〔2〕将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后获取△A2B2C2，请画出△A2B2C2；〔3〕判断以O，A1，B为极点的三角形的形状．〔不用说明原由〕35．〔2021?临沂〕将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α〔0°＜α＜360°〕，获取矩形AEFG．1〕如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；2〕当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明原由．36．〔2021?自贡〕如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的均分线OM上有一点C，将一个120°角的极点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB订交于点D、E．1〕当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时〔如图1〕，请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明原由；〔2〕当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的地址，〔1〕中的结论可否成立？并说明原由；〔3〕当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线订交时，上述结论可否成立？请在图3中画出图形，假设成立，请给于证明；假设不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．参照答案一．选择题1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；应选：D．2．解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△ABC的地址，11∴∠CAB＝∠CAB＝100°，AB＝AB，∠CAC＝∠BAB，11111∵BB∥AC，11∴∠CAB+ABB＝180°，111∴∠AB1B＝80°，AB＝AB，1∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，∴∠BAB＝20°，1∴∠CAC＝20°，1应选：B．3．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；应选：B．4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；、是轴对称图形，不是中心对称图形；、是轴对称图形，是中心对称图形．应选：D．5．解：由图知，旋转中心P的坐标为〔1，2〕，应选：C．6．解：连接BM，在△ABM和△C′BM中，，∴△ABM≌△C′BM，∠2＝∠3＝＝30°，在△ABM中，AM＝×tan30°＝1，S△ABM＝＝，正方形的面积为：＝3，阴影局部的面积为：3﹣2×＝3﹣，应选：C．7．解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，应选：C．8．解：由点B坐标为〔2，﹣2〕那么OB＝，且OB与x轴、y轴夹角为45°当点B绕原点逆时针转动75°时，OB1与x轴正向夹角为30°那么B1到x轴、y轴距离分别为，，那么点B1坐标为〔，〕；同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，OB1与y轴负半轴夹角为30°，那么B1到x轴、y轴距离分别为，，那么点B1坐标为〔﹣，﹣〕；应选：C．9．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，吻合题意；、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．应选：C．10．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，B〔1，1〕，连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：＝1＝＝，23＝＝OBOBOBOB∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后获取正方形OABC，OBO111BOBAOBBOB相当于将线段绕点逆时针旋转45°，依次获取∠＝∠1＝∠12＝＝45°，∴B1〔0，〕，B2〔﹣1，1〕，B3〔﹣，0〕，，发现是8次一循环，所以2021÷8＝252余2，∴点B2021的坐标为〔﹣1，1〕应选：D．11．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；、不是中心对称图形，故此选项错误；、是中心对称图形，故此选项正确，应选：D．．解：由题意可得，CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，应选：C．13．解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△依照顺时针方向绕点

旋转

90°获取△

，ADM

A

ABFAF＝AM，∠FAB＝∠MAD．∴∠FAB＝∠MAE∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠FAE＝∠MAB．∴△FAE≌△MAB〔SAS〕．EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，BC＝CD＝AB＝3．∵DM＝1，CM＝2．∴在Rt△BCM中，BM＝＝，EF＝，应选：C．解法二：如图，过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，那么∠AHG＝∠MGE90°，由折叠可得，∠AEM＝∠D＝90°，AE＝AD＝3，DM＝EM＝1，∴∠AEH+∠MEG＝∠EMG+∠MEG＝90°，∴∠AEH＝∠EMG，∴△AEH∽△EMG，∴＝＝，设MG＝x，那么EH＝3x，DG＝1+x＝AH，22∴Rt△AEH中，〔1+x〕+〔3x〕＝23，解得x1＝，x2＝﹣1〔舍去〕，∴EH＝＝BN，CG＝CM﹣MG＝＝EN，又∵BF＝DM＝1，FN＝，∴Rt△AEN中，EF＝＝，应选：C．14．解：A、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必定是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；、矩形的对角线相等且互相均分，故此选项错误；、六边形的内角和是720°，故此选项错误．应选：B．15．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°获取△ABC，11AC＝AC1，∠CAC1＝60°，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，AB＝8，AC1＝6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长＝，应选：C．16．解：∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG，EF＝FG，∵DE＝BG，EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，DE＝3，设BF＝x，那么EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，〔x+3〕2＝〔4﹣x〕2+12，解得x＝，∴BF＝，AF＝＝，故②正确，③错误，BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴＝〔〕2，∴＝，故④正确，S△FBM应选：D．二．填空题〔共8小题〕17．解：∵Rt△绕其直角极点按顺时针方向旋转90°后获取Rt△，∴AC＝CD，ABCCDEC∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝25°+45°＝70°，故答案为：70°．18．解：作

CD⊥

BB′于

D，如图，∵△绕点

按顺时针方向旋转

90°，点

对应点

′落在

的延长线上，ABC

C

B

B

BACB＝CB′＝5，∠BCB′＝90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，∴BB′＝BC＝5，∴CD＝BB′＝，在Rt△ACD中，∵sin∠DAC＝＝，∴AC＝×＝．故答案为．19．解：∵Rt△ABC绕直角极点C顺时针旋转90°获取△A′B′C，BC＝B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′＝45°，∴∠B′A′C＝∠A′B′B+∠CBB′＝20°+45°＝65°，由旋转的性质得∠A＝∠B′A′C＝65°．故答案为：65°．20．解：①∵A、C关于直线OM'对称，OM'是AC的垂直均分线，CD＝AD，故①正确；②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直均分线，OC＝OA，OA＝OB＝OC，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，那么A、B、C都在⊙O上，∵∠MON＝120°，∴∠BOE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠E＝60°，A、C、B、E四点共圆，∴∠ACD＝∠E＝°，故②不正确；③当α＝30°时，即∠AOD＝∠COD＝30°，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝AC，由①得：CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD＝∠CDA＝60°，∴△ACD是等边三角形，AC＝AD＝CD，OC＝OA＝AD＝CD，∴四边形OADC为菱形；故③正确；④∵CD＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，∵AC是⊙O的弦，AC为直径时最大，此时AC＝2a，当S△×〔2a〕2＝；ACD故④正确，所以此题结论正确的有：①③④故答案为：①③④．21．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝5，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，∵依照旋转得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝，∴B′M＝2﹣＝，在Rt△′中，由勾股定理得：′＝＝＝5，BMCBC∴S＝＝，△AB′C∴5×AN＝2×2，解得：AN＝4，∴sin∠ACB′＝＝，故答案为：．22．解：∵＝＝，＝＝，∴S＝S△，S＝S△．1AOB2BOC∵点O是?ABCD的对称中心，∴S＝S＝S，△AOB△BOC?ABCD∴＝＝．即S1与S2之间的等量关系是＝．故答案为＝．23．解：如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．NK＝MK，∠DNK＝∠BMK，∠NKD＝∠MKB，∴△NDK≌△MBK，DN＝BM＝OC＝3，DK＝BK，在Rt△KBM中，BM＝3，∠MBK＝60°，∴∠BMK＝30°，DK＝BK＝BM＝，OD＝5，N〔﹣3，5〕，故答案为〔﹣3，5〕24．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，获取△ADE，∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∵点B，C，D恰幸好同素来线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B＝∠BDA，∴∠B＝〔180°﹣∠BAD〕＝15°，故答案为：15°．三．解答题〔共12小题〕25．解：〔1〕如图，△A1B1C1为所作；点A1的坐标为〔4，4〕；〔2〕如图，△A2B2C2为所作；cosB＝＝．26．解：〔1〕如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AP＝PD，PB＝PM，∴四边形ABDM是平行四边形，∴∠AME＝∠ABC＝60°，∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠AEM＝∠DEC＝60°，∴△AEM是等边三角形，故答案为：等边三角形；〔2〕如图2中，结论：△AEM是等边三角形．原由：设AE交BD于O，AC交BD于K，连接DM．∵△ABC，△DEC都是等边三角形，CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE〔SAS〕，BD＝AE，∠CBK＝∠OAK，∵∠BKC＝∠AKO，∴∠AOK＝∠BCK＝60°，∵AP＝PD，BP＝PM，∴四边形ABDM是平行四边形，AM＝BD，AM∥BD，∴∠AOB＝∠OAM＝60°，AM＝AE，∴△AEM是等边三角形．〔3〕设CD＝a，那么AC＝2a，AE＝a，222AC＝AE+EC，∴∠AEC＝90°①如图3中，当点D在AC的中点时，满足条件，此时α＝60°②如图4中，当点E落在BC的中点时，满足条件，此时α＝300°．综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．27．〔1〕【操作发现】解：如图1中，连接BD．∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，获取△ADE，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°故答案为60．〔2〕【类比研究】证明：如图连接CD．

2中，以

PA

为边长作等边△

PAD

，使

P、

D分别在

AC

的两侧，∵∠BAC＝∠PAD＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，AB＝AC，AP＝AD，∴△PAB≌△ACDSAS〕，∴BP＝CD，在△PCD中，∵PD+CD＞PC，又∵PA＝PD，AP+BP＞PC．PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．〔3〕【解决问题】解：如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，获取△AP′′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，2

2

2

2

2

2∴AP+PC＝

AC，即〔

PC〕

+PC＝〔

〕，PC＝2，AP＝，∴S＝AP?PC＝××2＝．APC4〕【拓展应用】解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，获取△EDC，连接PD、BE．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，获取△EDC，∴△APC≌△EDC〔旋转的性质〕，∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB+PC的最小值为；28．解：〔1〕证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的均分线，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四边形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠ENF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，BE＝NF，MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，NC＝NM＝BM，CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；〔2〕针对图2，同〔1〕的方法得，△BME≌△NMF，BE＝NF，MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；针对图3，同〔1〕的方法得，△BME≌△NMF，BE＝NF，MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；〔3〕在Rt△ABM和Rt△ANM中，，Rt△ABM≌Rt△ANM〔HL〕，∴AB＝AN＝+1，在Rt△中，＝＝+1，ABCACABAC＝AB＝2+，∴＝﹣＝2+﹣〔+1〕＝1，CNACAN在Rt△CMN中，CM＝CN＝，∴BM＝BC﹣CM＝+1﹣＝1，在Rt△BME中，tan∠BEM＝＝＝，BE＝，∴①由〔1〕知，如图1，BE+CF＝BM，CF＝BM﹣BE＝1﹣②由〔2〕知，如图2，由tan∠BEM＝，∴此种情况不成立；③由〔2〕知，如图

3，CF﹣BE＝BM，∴CF＝BM+BE＝1+，故答案为1，1+或1﹣．29．解：〔1〕如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，∴∠BED＝∠ACB＝90°，由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕BC＝DE＝a．S△＝BC?DEBCDS△BCD＝；解：〔2〕△BCD的面积为．原由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°获取线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕BC＝DE＝a．S△BCD＝BC?DE∴S△＝；BCD〔3〕如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠FAB+∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转获取的，AB＝BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED〔AAS〕，BF＝DE＝a．S△＝BC?DE＝?a?a＝a2．BCD∴△BCD的面积为．30．解：〔1〕依照题意得：A1〔0，3〕，B1〔3，1〕，C1〔1，5〕，连接A1C1，B1C1，A1B1如以以下图：〔2〕利用网格和旋转的性质画出△A2B2C2如上图所示，〔3〕∵C1〔1，5〕，OC1＝，∴点C1旋转到点C2所经过的路径的长为：＝．31．解：〔1〕如图：△A1B1C1，即为所求；〔2〕如图：△A2B2C2，即为所求；〔3〕r＝＝，A经过的路径长：×2×π×＝π．32．解：〔1〕如图1中，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠B＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝6，AB＝2BC＝4，在Rt△ADG中，AG＝＝4，CG＝AC＝AG＝6﹣4＝2．〔2〕如图2中，结论：DM+DN＝2或DM＝DN．原由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∴∠A＝∠BCN．∴△AHM∽△CBN，∴＝①，同法可证：△DHM∽△CDN，∴＝②由①②可得AM?BN＝DN?DM，∴＝，∴＝，∴＝，AD＝BD，∴AM＝DN，∴DM+DN＝AM+DM＝AD＝2．或∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，CD＝BD＝AD．又∠B＝60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB＝60°．又∠EDF＝90°，∴∠MDA＝30°．∵∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AH＝HD，又HM⊥AD，∴MD＝．在等边三角形BCD中，CN⊥BD，ND＝NB．又AD＝BD，∴MDND．〔3〕如图