万有引力定律及其应用知识点与考点总结

万有引力定律及其应用考点一：万有引力在天体上问题上的应用一.开普勒运动定律1.开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上2.开普勒第二定律；对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的长半轴的三次方跟周期的二次方的比值都相等，表达.万有引力定律自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟着两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。1.内容：2.公式：GmmF二 1―2r2其中3.适用条件两个可以视为质点的物体之间三.万有引力定律在天体运动中应用基本思路：万有引力提供向心力基本规律G=6.67X10-nN・m2/kg2，叫做引力常量。或者是两个均匀球之间。Mm v2①由G=mr2 r可得：\GM②由GMm二mo2rr2可得：:GMo— ''r3可得：I可得：I4n2r3T—' GM小Mm (2兀'由G —m——r2 IT丿④由GMm二mar2 向

GM可得：a—一由此可得，线速度、角速度、向心加速度与r成反比，周期T与r成正比。万能公式：mg-gM得,gR2-GMR2考点二：万有引力在人类航天上的应用v—7.9km/1•第一宇宙速度（环绕速度）： 1 /s，是最小的发射速度，最大的环绕速度。每个星球都有其自己的第一宇宙速度。第一宇宙速度的算法：GMmr2v第一宇宙速度的算法：GMmr2v2—mg—m—r，r为星球的半径，M为星球质量1）2）1）2）注：星球第一宇宙速度相当于求解贴着星球表面飞行的卫星的速度。当7.9kms<v<11.2kms时，卫星绕地球旋转，其轨道是椭圆，地球位于一个焦点上。v=11.2km2•第二宇宙速度（脱离速度）：2 /s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,当11.2kms<v<16.7kms，卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗小行星。v=16.7km3•第三宇宙速度（逃逸速度）：3 /s，是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度。当v>16.7kms时，卫星跑到太阳系以外的宇宙空间中去。问题及方法问题1：对近地卫星与同步卫星的理解方法v=7.9km/1•近地卫星的轨道半径近似等于地球的R,其运行的速度1 /s，是所有卫星的最大绕行速度，运行周期丁=85min，是所有卫星的最小周期；向心加速度a二g二9.8ms2，是所有卫星的最大加速度。地球同步卫星的五定（1） 周期一定 T=24h（2） 角速度一定：其绕地运行的角速度等于地球自转的角速度。（3） 轨道一定所有同步卫星的轨道必在赤道平面内所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道运动，其确定的高度约为3.59x104km（4） 环绕线速度一定：线速度大小都为3.08kmS，环绕方向为地球自转方向（5） 向心加速度大小一定：其向心加速度大小都约为0.23mS2问题2：万有引力定律的解题方法根据适用条件，用填补法例1、如图5-2所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余R部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是—，求球体剩余部分对球体外2离球心0距离为2R、质量为m的质点P的引力.练习1.假设将质量为M的铅球放在地心处,在地球内部的A处挖去质量为M的物体，则铅球受到的万有引力大小？方向？(地球半径为R，OA=R/2)2•假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A.1-dB.1+dC.(R-d)2 D.(—)2R R R R-d问题3:天体的质量、密度的求解方法M=也GT2通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期 TM=也GT22r，得天体质量(1)若已知天体的半径(1)若已知天体的半径R,则天体的密度P=3兀r3GT2R3(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨迹半径r等于天体的半径R,其周期为T,则天体3兀P二 的密度 GT2。例题1.把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道，平均半径为1.5X108km，已知引力常量为：G=6.67X10-11N・m2/kg2，贝V可估算出太阳的质量大约是多少千克？(结果取一位有效数字)2、已知月球的半径为R,表面重力的加速度为g，万有引力恒量为G,忽略月球自转的影响，则月球平均密度的表达式为：已知地球的半径为人，地面的重力加速度为g,万有引力常量为G,如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为 .问题4.重力与万有引力的关系地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另-个分力是物体随地球自转所需的向心力。如图6-1-1所示。物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同:小Mm图6-1-1两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即mg=G-图6-1-1R2

-mRw-mRw2自赤道上：物体所受重力最小，mg二G-R2自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g逐渐增大。(3)一般情况下，由于地球自转的角速度不大，可以不考虑地球的自转影响，近似的认为_Mmmg=G R2例题已知火星的半径为地球半径的一半，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4/9倍，则火星的质量约为地球质量的多少倍？问题5卫星的变轨问题思考方法：卫星做匀速圆周运动，当速度增大时，卫星将做离心运动，当速度减小时，物体做向心运动例题如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：()b、c的线速度大小相等，且大于a的速度b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度c加速可以追上同一轨道上的b,b减速可以等候同一轨道上的ca卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大练习2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,A点从圆形轨道I进入椭圆轨道II,B为轨道II上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有在轨道II上经过A的速度小于经过B的速度在轨道II上经过A的动能小于在轨道I上经过A的动能在轨道II上运动的周期小于在轨道I上运动的周期在轨道II上经过A的加速度小于在轨道I上经过A的加速度答案：ABC问题5：天体问题中的多星问题的思考方法(1)双星问题a两星的角速度相同b运动中各自的位置与它们的轨迹圆心三点共线，且向心力分别由对方的万有引力提供双星：两星相互环绕，万有引力作为每一个卫星环绕对方的向心力。

双星A和B(如图6-2-1双星A和B(如图6-2-1)有:二®T二TB A B”A①线速度公式:小mm v2G—a_B=mA=

r2 arAV2

m—B

brB②角速度公式:—mmG―a_B二mr2®=mr2®r2 AA BB图6-2-1它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相练习：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为其运动周期为八求两星的总质量?(2)三星问题：除三星的角速度相同外，还应注意分析各星做匀速圆周运动的向心力的大小以及轨道半径例题：宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式，一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行，另一种形式三颗星位于等边三角形三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为m试求第一种形势下星体运动的线速度和周期假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形势下星体之间的距离应为多少作业：1•经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为比，周期为人但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离.如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B,则行星B运动轨道半径为（）B.tR=R 00t-T0OA2.3.C作业：1•经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为比，周期为人但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离.如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B,则行星B运动轨道半径为（）B.tR=R 00t-T0OA2.3.CR二R0\(t-T)200I12D.R=R3e-03t-T1002011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b（Kepler—22b）,距离地球约600光年之遥，体积是地球的2.4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G已知。根据以上数据可以估算的物理量有（）行星的质量行星的密度恒星的质量恒星的密度如右图，三个质点a、b、c质量分别为叫、巴、M（M〉〉m1，M〉〉m2）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,它们的周期之比T:T=1：k；从图示位置开始，在b运动一周的过程中,baA.a、B.a、C.a、D.a、b距离最近的次数为k次b距离最近的次数为k+1次b、c共线的次数为2kb、c共线的次数为2k-2A.B.该行星的自转周期与星体的半径C.围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径4.2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径4.D.围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响，则航天器的（ ）A.线速度v=A.线速度v=B.角速度3二gRC.运行周期T=2兀 D.向心加速度a=—g R2关于卫星绕地球做匀速圆周运动的有关说法正确的是（）卫星受到的地球引力对其做正功卫星的轨道半径越大，其线速度越大卫星的轨道半径越大，其周期越小卫星受到的地球引力提供为圆周运动所需之向心力未发射的卫星放在地球赤道上随地球自转时的线速度为》］、加速度为ai；发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为v2、加速度为a2；实施变轨后，使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动，关系是（）运动的线速度为v、加速度为a。贝9v、v、v和a、a、a的大小3 3 1 2 3 1 2 3A.v>v>va>a>aB.v>v>va>a>a2 3 l2 3 l3 2 12 3 lC.v>v=v2 3 1a=a>a2 1 3D.v>v>v2 3 la>a>a3 2 18.2011年9月29日晚21时16分，我国将首个目标飞行器天宫一号发射升空.2011年11月3日凌晨神八天宫对接成功，完美完成一次天空之吻•若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是（）对接前“天宫一号”的运行速率大于“神舟八号”的运行速率对接前“神舟八号”的向心加速度小于“天宫一号”的向心加速度“神舟八号” 先加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接“神舟八号” 先减速后加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接已知某星球的平均密度是地球的n倍,半径是地球的k倍,地球的第一宇宙速度为v,则该星球的第一宇宙速度为（ ）DI'nkvA.v Bnk'：kv CkvnvDI'nkvk嫦娥一号奔月旅程的最关键时刻是实施

首次“刹车”减速.如图所示，在接近月球时，嫦娥一号将要利用自身的火箭发动机点火减速，以被月球引力俘获进入绕月轨道.这次减速只有一次机会，如果不能减速到一定程度,嫦娥一号将一去不回头离开月球和地球，漫游在更加遥远的深空；如果过分减速，嫦娥一号则可能直接撞击月球表面.该报道的图示如下.则下列说法正确的是（）实施首次“刹车”的过程，将使得嫦娥一号损失的动能转化为势能，转化时机械能守恒.嫦娥一号被月球引力俘获后进入绕月轨道，并逐步由椭圆轨道变轨到圆轨道.嫦娥一号如果不能减速到一定程度，月球对它的引力将会做负功.嫦娥一号如果过分减速，月球对它的引力将做正功，撞击月球表面时的速度将很大.设地球同步卫星离地面的距离为R，运行速率为v,加速度为a，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为aQ，第一宇宙速度为v°,地球半径为R0.则以下关系式正确的是（）I I 丄』 2=件 丄=R JR+R0A.a0R0 B.a0 RC.v0 R+R0 D.v0 R0来自中国航天科技集团公司的消息称，中国自主研发的北斗二号卫星系统今年起进入组网高峰期，预计在2015年形成覆盖全球的卫星导航定位系统。此系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成。现在正在服役的北斗一号卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地面36000km的地球同步轨道上.目前我国的各种导航定位设备都要靠美国的GPS系统提供服务，而美国的全球卫星定位系统GPS由24颗卫星组成，这些卫星距地面的高度均为20000km.则下列说法中正确的是（）北斗一号系统中的三颗卫星的动能必须相等所有GPS的卫星比北斗一号的卫星线速度大北斗二号中的每颗卫星一定比北斗一号中的每颗卫星高北斗二号中的中轨道卫星的加速度一定大于高轨道卫星的加速度如图1—3—16所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极（轨道可视为圆轨道）.若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60。正上方时所用时间为t,地球半径为R（地球可看做球体），地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出（）卫星运行的周期 B.卫星距地面的高度

嫦娥一号月球探测器发射时在绕地球运行中，进行了四次变轨，其中有一次变轨是提高近地点的高度，使之从距地200km，上升到距地600km，这样既提高了飞船飞行高度，又减缓飞船经过近地点的速度，于是增长测控时间，关于这次变轨说法正确的是（）变轨后探测器在远地点的加速度变大 B.应在近地点向运动后方喷气C.应在远地点向运动后方喷气 D.变轨后探测器的周期将变小15.飞船在轨道上运行时，由于受大气阻力的影响，飞船飞行轨道高度逐渐降低，为确保正常运行，一般情况下在飞船飞行到第30圈时，控制中心启动飞船轨道维持程序.则可采取的具体措施是（ ）A.启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度增大B•启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度减小启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大为了迎接太空时代的到来,美国国会通过一项计划:在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里。科学家控制卫星上的电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速度g=10m/s2，地球半径R=6400km，地球自转周期为24h。某宇航员在地球表面用体重计称得体重为800N，站在升降机中，某时刻当升降机以加速度a=10m/s2垂直地面上升，这时此人再一次用同一体重计称得视重为850N,忽略地球公转的影响，根据以上数据（ ）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，可知绳的长度至少有多长可以求出升降机此时距地面的高度可以求出升降机此时所受万有引力的大小可以求出宇航员的质量2010年10月1日“嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道I绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100km的圆形工作轨道II,绕月球做匀速圆周运动，如图所示.则下列说法正确的是（ ）A.卫星在轨道I上运动周期比在轨道II上长卫星在轨道I上运动周期比在轨道II上短卫星沿轨道I经P点时的加速度小于沿轨道II经P点时的加速度卫星沿轨道I经P点时的加速度等于沿轨道II经P点时的加速度设一卫星在离地面高h处绕地球做匀速圆周运动，其动能为E，重力势能为E。与TOC\o"1-5"\h\zK1 P1该卫星等质量的另一卫星在离地面高2h处绕地球做匀速圆周运动，其动能为E，重力势K2能为E。则下列关系式中正确的是( )P2A.E〉E B.E〉EK1 K2 P1 P2C.E+E=E+E D.E+E<E+EK1 P1 K2 P2 K1 P1 K2 P219•有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则()经