大二课件-p1.4分块矩阵

一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.3

B

B2

,B

1

b

0

1

11A

10

0

a

00

b

a

1

0

0例0ab0A

01

0a

0

1

1

0

1

1

b

1B20

BB3即1

设矩阵相同的分块法,有其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那么sr

srs1s1

AA1r

B1r

A11

B11A

B

.

B

A

B二、分块矩阵的运算规则sr

sr

B

AA

A

BB1r

B11s1

s1A1r

A11

,

B

2

设A

,为数,那末sr

A1r

s1

A

A11

Asr

s1

A11

.

A

AA

A1r

3设A为ml矩阵,B为l

n矩阵,分块成

st

tr

s1

t

1

B

B1r

AA1t

B11

A11A

,B

A

B

,

其中Ai1

,Ai

2

,,Ait的列数分别等于B1

j

,B2

j

,,Btj的行数,那末sr

CAB

Cs1C1r

C11其中Cijti

1,,

s;

j

1,,

r

.

Aik

Bkjk

1

是方阵.即块都为零矩阵,且非零子块都上有非零子块,其5

为设nA阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线,A2O1As

A

AO

sr

A

A1r

As1

A114

设

A

ATTA1r11s1

sr

TAT

AT

.

,则A其中Ai

i

1,2,s

都是方阵,那末称A为分块对角矩阵.若每个子块Ai

i

1,2,,s都可逆,则A、B均可逆,并有,A2As

6设

A

A1oo;21As

1o

A

A

1o1

A1A1

A2

OB

O

AsO

sA1BA

OA2111101

0

1A

00

0

01

0

0

1

2

1

1把A,B分块成

1例

设0A

0

1

0

0

01

0

0,

1

2

1

1

1

0

1求AB.1

1

1

0

1

0B

1

2

0

1,0

4

1

1

2

0解

I

I

O

,1A10

4

1

1

2

0

1

1

0

1

0

1

2

0

1B

B11

I

B21

B22则

I O

B11

I

AB

.A1

B22

A1B11

B21B22

I

A1

I

B21B11.B11A1

B22

A1B11

B21AB

I又A1B11

B21

2

1

10

1

0

1

1

12

1

1

1

1

0

2

3

4

10

2

4,

1

1

1221A

B

1

1

2

0

3

1

2

4

1

3

3,于是

A1AB

4

31

3

1

0

1

1

2

0

例

设1

0

5

0

0A

0

3

1

,21求

A

.1

00

0

5解

A

0

3212

,A1

OA

OA1

5,

1

1A1

5

;12

A

31

121

,

A2

1

2 3

;;21

2 3

1

1

A1

21

O

A1A

1

AO

;1

5

11

A03

1.0

5

0

1

0

1

2例

设1

50

1A

求A1

.解

显然将A,21

A O

A取A

O111则A21A于是A1

0

0A12A例

试证明：设A是m

n矩阵，则对任一n维列向量x,Ax

0的充分必要条件是A

0.证明：充分性（条件

结论）A

0

Ax

0

显然满足；必要性：（结论

条件）T由n维列向量的任意性，可取x

ei

[0,,1,,0](i

1,2,,

n),i

0,

],,1,[,,,[

ni],00得Ae1将矩阵分块成AA则由

0即矩阵A的第i列为零向量。由i的任意性，可知矩阵A的每一列都是零向量，即A

0三、小结同维矩阵,采用相同的分块法数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块加法数乘乘法在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似若A与B相乘,需A的列的划分与B的行划分相一致.(4)

转置sr

A

A

A

11s1

A1r

AAT

TA1rsr

AT

s1

ATAT

11(5)

分块对角阵的逆阵s

AA

A1AO2Os

AA

A1AO2O2111

11sA

diagA

,

A

,,

A

.A可逆

Ai可逆i

1,2,,s且思考题设

A

B

D

,其中B和C都是可逆方阵,

O

C

证明A可逆,并求A1

.思考题解答1W Y

X Z

,证

设

A

Z

I

0

.D

X

B则

CW

O,CY

I

.BX