浙财-不知名老师概率与数理统计

§1.2

概率

在一次试验中，有些随机事件可能发生，也可能不发生.在大量的试验中，会发现有些事件发生的可能性大，而有些事件发生的可能性小.

希望用一个数字来度量试验中一个随机事件A发生的可能性大小,这个数字记作P(A),

称为事件A的概率.问题:概率作为事件发生的可能性大小的度量具体应该如何确定?确定概率的原则：1.事件发生可能性大的,相应的概率值也应该大;反之,概率大的事件发生的可能性也应该较大.1为了便于将不同事件发生的可能性大小进行比较以及遵循，人们把概率的值限制在0~1之间.其实就是建立任何一个事件到实数轴上[0,1]区间的一个.如何切合实际的获得一个事件的概率呢?合理计算概率的途径大致有几种:根据频率稳定性,在试验次数充分多时,用频率估计概率;(概率的统计定义)利用试验条件的某种对称性、均匀性,直接计算事件的概率;(古典概型)利用各种逻辑关系,如概率的性质、公式，用简单事件的概率推算复杂事件的概率。21非负性

0一、概率的统计定义---利用频率估计概率频率的定义在相同的条件下，进行了n

次试验，在这n次试验中，事件A

发生的次数n(A)称为事件A

发生的频数。比值n(A)/n称为事件A

发生的频率，并记成μn(A)。注：频率μn(A)是一个变量，与试验次数以及每一次试验结果有关。频率的三个性质nnn

A

n(

A)

,

0

n(

A)

n.32正则性

n

1

;n

A1

A2

Ak

n

A1

n

A2

n

Ak

(3)

可加性

设A1

,

A2

,,

Ak是k个互不相容事件,则有设每次试验的样本空间为

{

A1

,

A2

,

,

As

}，则在n次试验中必有n(

A1

)

n(

A2

)

n(

As

)

n.nn

As

)

()

n(

A1

A2

n

n

1n

n(

As

)

n(

A1

)

n(

A2

)

4n

A1

A2

Ak1nn(

A

Ak

)n

n(

A1

)

nn

n(

Ak

)

n(

A1

)

n(

Ak

)

n

A1

n

A2

n

Ak

3）频率的稳定性实验者nn

(正)μn(正)德•204810610.5181蒲丰404020480.5096K•1200060190.5016K•24000120120.500554）概率的统计定义：在相同条件下重复进行的

n

次试验中，事件A发生的频率稳定地在某一常数p

附近摆动，且随着

n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率，记作

P(A).注：

概率是一个随机事件所固有的属性，取决于事件本身的结构，是先于试验而存在的，与试验次数以及每一次试验结果无关。因此概率的统计定义仅仅

了概率的客观存在，并不能用这个定义去计算概率.6是两两互不相容事件,则)

P(

A1

)

P(

A2

)

3)

若A1,A2,P(

A1

A2

二、概率的公理化定义定义

设

E

是随机试验，Ω

是它的样本空间，对于E的每一个事件

A赋予一个实数，记为

P(A),若P(A)满足：0

PP()

1

;(可列可加性)称P(A)为事件

A

的概率.7三、概率的性质性质1

P

0

.因为

证由于上式右端可列个事件两两互不相容，由概率的公理化定义得：

P()

P()

P(

)

P()

P()

再由概率的非负性可得,P

0

.8性质2

设有限个事件A1

,A2

,,An

两两互不相容,则P

A1

A2

An

P

A1

P

A2

P

An

.证 因为A1

A2

An

A1

A2

An

P

A1

A2

An

P

A1

A2

An

P

A1

P

A2

P

A1

P

A2

P

A1

P

A2

P

An

P

P

P

An

0

0

P

An

.9性质3

若

A1

,

A2,,

An

是一个完备事件组

,则P

A1

P

A2

P

An

P

A1

A2

An

P()

1.性质4

对任意事件A,有P(A)

1

P(A).证:因为A,A构成一个完备事件组,所以P(A)

P(A)

1,即P(A)

1

P(A).BA10性质5

若

A

B,有P(B

A)

P(B)

P(

A).证:因为B

A

(B

A),所以P(B)

P(A)

P(B

A).于是P(B

A)

P(B)

P(A).若A

B,有P(B)

P(A).性质6

对任意事件

A、B,有P(B

A)

P(B)

P(

AB).P(B

A)

P(B

AB)

P(B)

P(

AB).性质7

对任意事件

A、B,

有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).------加法公式A

B

A

(B

AB).

P(

A

B)

P(

A)

P(B

AB)

P(

A)

P(B)

P(

AB)AB11P

A

B

C

PA

PB

PC

P

AB

PAC

PBC

PABC

对任意事n

nP(

Ai

)

P(

Ai

)

P(

Ai

Aj

)

i

1

i

1

i

j i

j

kn1P(

A1

A2

An

).

(1)------一般加法公式124例1

设

A、B

为两个随机事件,且已知

PA

1

,2PB

1

,就下列三种情况求概率PBA

.

91

A

与

B

互斥;

2

A

B

;

3

PAB

1

.解(1)P

BA

P

B

P(

AB)

P

1

.(2)P

BA

P

B

P(

AB)

P

BBA42

1

.(3)P

BA

P

B

P(

AB)13.18

74例2

设

A、B、C

是三事件,且

PA

PB

PC

1

,8AB

BC

,P

AC

1

.求A、B、C

至少有一个发生的概率.解P

A

B

C

PA

PB

PC

PAB

PAC

PBC

PABC

4

8814

3

1

0

1

0

5

.例3

已知事件

A

B,

P

A

ln

b

0,

P

B

ln

a,求a的取值范围.解：A

B,

P(A)

P(B),从而0

P(

A

即0

ln

b于是1

b

a

e.15四、概率的古典定义若随机试验具有如下特点:有限性：试验的所有基本事件总数有限;等可能性或等概性：每次试验中各基本事件出现的可能性完全相同。具这两个特点的试验称为古典概型试验。,n

},即若该古典概型试验的样本空间为

{1

,2

,则P({1

})

P({2

})

P({n

}),

又因为基本事件两两互不相容，所以P()

P({1

}

{2

}

{n

})

P({1

})

P({2

})

P({n

})

nP({i

})

1.in从而P({

})

1

,

i

1,

2, ,

n.1617即若该古典概型试验中事件A包含m个基本事件，即1

2iA

{i

,1

2m

{i

})则有P(

A)

P({i

}

{i

}

1

2m

P({i

})

P({i})

P({i

})

m

A

包含的基本事件数n.中的基本事件总数-----古典概型中事件A的概率的计算方法.

例1

将一枚硬币抛掷三次

.i

设事件

A1

为

"恰有一次出现正面

"

,求

P

A1

.ii

设事件

A2

为

"至少有一次出现正面

"

,求

P

A2

.解

此试验的样本空间为:

正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,

.反反正,反反反.118而

A

正反反,反正反,反反正

,

所以

PA

3

.

2所以P

A.782

A

正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,

.反反正.18例2

在一个盒子中有10个相同的球，分别标号为1，2，…,10,从中任取一个,求(1)此球号码能被2整除的概率;(2)求此球号码能被3整除的概率.（3）此球号码能被2或3整除的概率;（4）此球号码既不能被2整除也不能被3整除的概率;（5）此球号码能被2整除而不能被3整除的概率.,10

.解：该试验的样本空间为

1,2,设A：任取一球该球号码能被2整除,有A

2,

4,

6,

8,10

.B：任取一球该球号码能被3整除,有B

3,6,9

.10

2

10(1)

P(

A)

5

=

1

;

(2)

P(B)

3

;(3)

P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB)

1

3

12

10

1109710

;例2

在一个盒子中有10个相同的球，分别标号为1，2，…,10,从中任取一个,求(1)此球号码能被2整除的概率;(2)求此球号码能被3整除的概率.（3）此球号码能被2或3整除的概率;（4）此球号码既不能被2整除也不能被3整除的概率;（5）此球号码能被2整除而不能被3整除的概率.A

2,

4,

6,

8,10

.

B

3,

6,

9

.10

10(4)

P(

AB)

P(

A

B)

1

P(

A

B)

1

7

3

;(5)

P(

AB)

P(

A

P(

A)

P(

AB)

1

1

2

.2

10

52021例3

某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解：设A,B,C分别表示在该市任选一人,他订阅了甲,乙,丙报纸.由已知得：P(A)

P(B)P(

AB)

0.1,

P(

AC

)

PP(

A

BP(

A)

P(B)

P(C

)

P(

AB)

P(

AC

)

P(BC

)

P(

ABC

)

0.9

0.1

0.8.例4.掷3次硬币,求至少一次正面朝上的概率.解：设A表示至少一次正面朝上.88

8P(

A)

1

,

P(

A)

1

P(

A)

1

1

7

.,可以考虑先求此事直接计算某事件的概率件的逆事件的概率.22例550个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取3个,求其中有废品的概率.解设事件A表示取到的3个中有废品,则事件A的逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些,因此有P(

A)

4650C

3C

346

45

4450

49

4823

311

759

0.7745.10

49

2

980P(

A)

1

P(

A)

1

0.7745

0.2255.23例6从有6只白球，3只红球的袋子中取球两次，每次任取一只，考虑两种取球方式(a)重复抽样：每次抽取的样品观察后放回；(b)非重复抽样：每次抽取样品观察后不放回.在这两种抽取方式下求：取到的两只球均为白球的概率；取到两只不同颜色的球的概率；取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解设事件A表示两只球均为白球,事件B表示两只球颜色不同,C表示两只球中至少有一只为白球.62929

9C1C1(1)

P(

A)

6

6C1C149249

9C1C1P(B)

6

3

3

6

C1C1

C1C136

481

9199

9C1C1C1C1P(C

)

1

P(C

)

3

3

9

8C1C1(2)

P(

A)

6

5

C1C16

5

59

8

129

8C1C1P(B)

6

3

3

6

C1C1

C1C136

172

21129

8C1C1C1C1P(C

)

1

P(C

)

3

2

25例6从有6只白球，3只红球的袋子中一次取球两个，求：（1）取到的两只球均为白球的概率；取到两只不同颜色的球的概率；取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解设事件A表示两只球均为白球,事件B表示两只球颜色不同,C表示两只球中至少有一只为白球.65

219821189C

2P(

A)

6

C

251298219C

2P(B)

6 3

C1C1123369C

2C

2P(C

)

1

P(C

)

1

3

1122627例7假设有100件产品,其中有60件一等品,30件二等品,10件三等品,从中一次随机地抽取2件,求恰好抽到m件(m=0,1,2)一等品的概率.品.解设事件Am

,m

0,1,2

分别表示恰好抽到m件一等0P(