匀速圆周运动向心力及实例分析精讲

第四讲 匀速圆周运动向心力及实例分析精讲知识梳理匀速圆周运动的定义轨迹是圆周的运动叫圆周运动。质点沿圆周运动，如果在相同时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式，也是最基本的曲线运动之一。匀速圆周运动是一种理想化的运动形式。许多物体的运动接近这种运动，具有一定的实际意义。一般圆周运动，也可以取一段较短的时间(或弧长)看成是匀速圆周运动。周期物体做匀速圆周运动时，运动一周所用的时间。周期用符号T表示，单位是秒。周期是反映重复性运动的运动快慢的物理量。它从另一个角度描述了物体的运动。3.线速度物体做匀速圆周运动时，通过的弧长s跟通过这段弧长所用时间t的比值，叫运动物体线速度大小。线速度的方向为圆周上某点的切线方向。S2兀r线速度的计算公式： v=-=~y~线速度的意义：线速度实质上还是物体某一时刻的瞬时速度，虽然是用弧长和时间的比定义了速度大小，但当时间t趋于零时，弧长和路程就成为同一个量，比值昌所表示的购为物体某时刻速度的大小。为区别角速度而取名为线速度。角速度⑴做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的角度相转过这些角度所用时间t的比值，叫物体做匀速圆周运动的角速度。

角速度计算公式:角速度单位为：弧度/秒(rad/s)。角速度是矢量，方向为右手螺旋法则的大拇指的指向。角速度是描述转动快慢的物理量。在描述转动效果时，它比用线速度描述更具有代表性。向心加速度匀速圆周运动的加速度方向匀速圆周运动的速度大小不变，速度的方向时刻在变，由于速度方向的变化，质点一定具有加速度，该加速度反映速度方向变化的快慢，该加速度的方向沿着半径指向圆心。设质点沿半径是r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻它处于A点，速度是vA，经过很短时间△t后，运动到B点，速度为vB。根据矢量合成的三角形法则可知，矢量vA与4v之和等于vB，所以△v是质点从A运动到E时速度的变化量。比值急是质点在时间内的平均加速度，它的方向跟相同.当6趋近于零时，音的极限值就是质点在A点时的加速度。如图4-20。由图4-20所示矢量三角形，当趋近零时，△©也趋近于零，这时△v便垂直于vA。而vA是圆的切线，故△v是指向圆心的。即A点加速度指向圆心，所以匀速圆周运动的加速度又叫向心加速度。向心加速度的大小从图4-20中看出，图乙中的矢量三角形跟图甲中的 ：»△OAB是相似形。如果用v表示vA、vB大小，则图4-20

Av_弦ABAv=y•弦ABAv_v#弦AB_v2■a?=7*At=7或a=w2r匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。上述加速度是匀速圆周运动情况下推导的，仍然适应于一般圆周运动，式中的v、3必须用瞬时值。向心力及实例分析使物体产生向心加速度的力叫向心力。向心力的来源：向心力不是接力的性质命名的力，它是一种效果力。当分析做圆周运动的物体受力时，只能分析接力的性质命名的力，决不能在分析场力、弹力、摩擦力的同时，再考虑向心力。向心力是物体所受各个力的合力。向心力的作用效果：向心力产生向心加速度，即只能改变速度的方向，维持物体做匀速圆周运动。向心力大小的计算公式：由牛顿第二定律：F向=mv2/r=mO)2r=mr*=mr*4兀'尹实例分析做圆周运动的物体，都需要向心力，向心力是物体所受各种力的合力。例如，水平放在匀速转动的唱片上的物体，在随唱片一起转动时，做匀速圆周运动。物体所受的向心力是物体和唱片之间的静摩擦力，如图4-21所示。自行车在水平路面上转弯时，做圆周运动的向心力由重力及地面给自行车的作用力提供，或者说是地面给自行车的静摩擦力提供，如图4-224-21 图4-22

所示。火车转弯问题（1） 如图所示是轨道与火车的示意图：工字型铁轨固定在水泥基础上，火车的两轮都有轮缘，突出的轮缘一般起定位作用；（2） 若是平直轨道转弯，只能依靠外轨道对火车外轮缘的侧压力提供向心力，该侧压力的反作用力作用在铁轨上，长此以往会对铁轨造成极大的破坏作用，甚至会引起轨道变形，导致翻车事故；（3） 实际铁轨采用什么方法减小火车在转弯处对轨道的破坏作用呢？分析：如图所示，实际铁轨在转弯处造得外轨高于内轨，即将外轨垫高，则轨道平面与水平面有一倾角a，火车转弯时，铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向轨道内侧，与重力的合力指向圆心，提供火车转往的向心力，满足rn^^?2mgtan0=~R^，（R是转弯处轨道半径）所以%=\；gRtan0（4）讨论:当?=?0时，mgtan0恰好提供所需向心力，轮缘对内外轨道均无压力；当v>%时，mgtan0不足以提供所需向心力，需要外轨道对外轮轮缘施加一个侧压力，补充不足的向心力，此时火车轮缘对外轨道由侧压力；当v<v0时，mgtan0大于所需向心力，需要内轨道对内轮轮缘施加一个侧压力，此时火车轮缘对内轨道由侧压力；车辆过桥:凸桥:JV 车辆过桥:凸桥:JV V2mg-N=m—r凹桥：N一mg竖直面圆周运动的临界条件:竖直面圆周运动的临界条件:非匀速圆周运动（1）绳（类似圆轨道内侧）；V高¥沛⑵杆（类似圆轨道外侧）v卜。离心现象及应用（1） 离心运动。物体做圆周运动需要向心力。质量为m的物体以角速度3沿半径是r的圆周运动。若向心力为m32r，则物体维持圆周运动；若向心力小于m32r，则不足以将物体拉到圆周上，物体离圆心越来越远；若向心力突然消失，则物体由于惯性沿切线方向飞出。这种物体离圆心越来越远的现象叫离心现象。做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者合外力不足以提供所需的向心力时将做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。（2） 离心现象的应用

利用物体做圆周运动所需向心力不足时，做离心运动的现象，可以做成离心机械，如脱水器，mu如图4-23皮带轮00、rE=jrA!rc=|rAo当皮带轮匀速转动时（不打滑），求A、B、C三点的角速度之比，线速度之比，向心加速度之比，周期之比。【分析思路】A、B、C三点以不同半径做圆周运动，求各物理量的比值，只要知道A、B、C三点之间的联系，歹忡相应表达式利用比例消去相同的量，求出比值。【解题方法】 同轴的A、B两点角速度相同，同一皮带相连的A、C两点线速度相同。应用公式求解。【例】 机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为A.1分钟 B.59/60分 C.60/59分 D.61/60分【分析思路】 解该题时，不少同学简单认为只要秒针转一圈，则分针与秒针就第二次重合，而忽视了在这段时间分针也要转过一个角度。考虑到分针和秒针的同时运动，当第二次重合时，它们转过的角度应相差2kno【解题方法】 由公式◎二3t求出时间t内分针和秒针转过的角度，令两角度之差为2n，求解时间to【解题】 由于秒针每转一周所用时间为1分钟；分针转一周所用时间为60分钟。所以角速度分别为：

2兀%=布"日27T①2=cE'招/s2 60X60设经过时间t两针再次重合，则w1t-w2t=2n选答案C。【例】质量为m的小球，系在细棍的一端，手握细棍的另一端使小球在竖直平面内作匀速圆周运动，如图4-25所示。圆半径30厘米，线速度为2.1米