最新初三数学第二学期开学测试卷(含答案解析解析)

初三数学第二学期开学测试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．【解答】解：A、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意；B、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意；C、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意．D、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．（4分）如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（）A．30° B．60° C．1： D．：1【分析】根据坡度和坡比的关系解答即可．【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，∴斜坡的坡度为1：，故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比是解题的关键．3．（4分）二次函数y＝（x﹣2）2向右平移1个单位后的解析式是（）A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2向右平移1个单位后的解析式是y＝（x﹣2﹣1）2，即y＝（x﹣3）2．故选：A．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（4分）一次函数y＝k（x+1）和反比例函数的图象在同一坐标系内大致是（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数y＝的性质和次函数y＝kx+b的性质分别进行判断：先确定一个函数图象的位置，得到k的取值范围，然后去判断另一个图象是否正确．【解答】解：A、对于一次函数过第一、三象限，则k＞0，而它与y轴的交点在x轴的下方，所以A选项不正确；B、对于反比例图象得到k＜0，而一次函数过原点，所以B选项不正确；C、对于反比例图象得到k＜0，一次函数过第二、四象限，并且它与y轴的交点在x轴的下方，所以C选项正确；D、对于反比例图象得到k＜0，而一次函数过第一、三象限，所以D选项不正确；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数y＝的性质：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限．也考查了一次函数y＝kx+b的性质：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方；当b＜0，图象过原点．5．（4分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目．【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴＝，＝，即＝＝，∴两三角形的三边对应成比例，∴①③相似．故选：C．【点评】此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．6．（4分）线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1 B．2﹣ C．3﹣ D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．7．（4分）如图，点E是正方形ABCD中CD边上的中点，对角线交点为O，连接BE交AC于F点，则OF：CF的值为（）A．2 B． C．3 D．【分析】根据正方形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC＝OF+CF，由AB∥CD，推出△CEF∽△ABF，根据相似三角形的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∵AB＝CD，AB∥CD，∵E是CD的中点，∴CE＝CD＝AB，∵正方形ABCD的对角线交点为O，∴OA＝OC＝OF+CF，∴AF＝CF+2OF，∵AB∥CD，∴△CEF∽△ABF，∴＝＝，∴＝，∴2CF＝CF+2OF，∴CF＝2OF，∴＝，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，利用正方形的性质判定△CEF∽△ABF是解题的关键．8．（4分）如图，△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若∠B＝25°，则∠C等于（）A．25° B．50° C．40° D．65°【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：连接OA，∵∠B＝25°，∴∠AOC＝2∠B＝40°，∵AC与圆相切于点A，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（4分）在同一个平面直角坐标系中一次函数y＝x+b图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若原点为O点，连接过OA、OB、AB．若△AOB面积为4，则b的值为（）A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．±1 D．±2【分析】设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）．x1和x2是方程x2+bx﹣3＝0的两个解．由韦达定理可得x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣3，|x1﹣x2|＝＝．由一次函数得出点C的坐标，利用三角形的面积公式可求出b的值．【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）．令x+b＝，得x2+bx﹣3＝0，则x1和x2是方程x2+bx﹣3＝0的两个解，∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣3，∴|x1﹣x2|＝＝．∵y＝x+b与y轴交于点C，∴C（0，b），∴OC＝|b|．∵△AOB面积为4，∴|b|•|x1﹣x2|＝4，即|b|•＝4，解得b2＝4或b2＝﹣16（舍去），∴b＝±2．故选：D．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．10．（4分）如图，半圆O的弧上有定长弦CD，若CD＜OA，且CE⊥CD交AB于E点，DF⊥CD交AB于E点，当CD在弧AB上由A点向B点移动时（C点不与A点重合，D不与B重合），若设四边形CDFE面积为y，运动时间为x，则y关于x的图象大概是（）A． B． C． D．【分析】求出y关于x的表达式，或者找出y关于x的变化规律，再判断选项．【解答】解：如图，设CE、DF交圆O于G、H两点．∵CD⊥DH，∴CH为直径，经过圆心O．∵CD为定长，圆是定圆，CD2+DH2＝CH2，∴DH为定长．∴CDHG的面积为定值．又∵EF为经过矩形CDHG的中心O，∴四边形CDFE的面积等于四边形CDHG的面积的一半，也是定值．故选：A．【点评】本题考查动点问题的函数图象．解题的关键是画出辅助线，发现四边形CDEF的面积不变．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象的顶点坐标是（1，﹣2）．【分析】利用配方法将一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．【点评】本题考查了抛物线的顶点式性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．12．（5分）如图，P是反比例函数y＝在第二象限的图象上的一点，过P点向两轴作垂线段，若形成的矩形PEOF面积为8，则k＝﹣8．【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．【解答】解：根据题意，知S＝|k|＝8，k＝±8，又∵反比例函数位于第二象限，k＜0，∴k＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．13．（5分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD＝10，AB＝18，小圆半径为13，则大圆半径OA＝15．【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OC，如图，先根据圆周角定理得到CH＝5，AH＝9，再利用勾股定理先计算出OH，然后可计算出OA的长．【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝5，AH＝BH＝AB＝9，在Rt△OCH中，OH＝＝＝12，在Rt△OAH中，OA＝＝＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在矩形ABCD对角线上时，则DE的长为或．【分析】分两种情形：当点D′落在线段AC上．当点D′落在线段BD上，分别求解即可．【解答】解：当点D′落在线段AC上，如图所示；连接AC．∵由翻折的性质可知；DE＝ED′，AD＝AD′＝5，∠D＝∠ED′A＝90°，∴∠ED′C＝90°．∵在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝13，∴CD′＝AC﹣AD′＝8．∵∠ECD′＝∠DCA，∠ED′C＝∠CDA＝90°，∴△ECD′∽△ADC．∴＝，即＝，解得；ED′＝，∴DE＝．当点D′落在线段BD上，如图所示：∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠DAO＝∠DBA．∴OD＝AD×＝．∴DE＝OD÷＝故答案为：或．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的性质求得ED′的长是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）2sin45°+tan245°﹣（﹣1）0．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：2sin45°+tan245°﹣（—1）0＝2×+12﹣1＝+1﹣1＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16．（8分）如图，在单位长度为1的正方形组成的网格中，有格点△ABC（顶点为网格线的交点）和格点O，请按要求作图．（1）将△ABC水平向右平移5个单位得到△A1B1C1，并画出△A1B1C1；（2）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A2B2C2，且位似比为2：1．【分析】（1）根据平移的性质找出对应点连接即可；（2）根据位似图形的性质找出对应点连接即可；【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即是所求作的三角形；（2）如上图所示，△A2B2C2即是所求作的三角形．【点评】本题考查了平移的性质，位似图形的性质，正确找出对应点作出图形是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）若二次函数y＝3x2﹣6x+k的图象与x轴只有一个交点，求出k的值并将解析式配方成顶点式．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×3k＝0，然后解方程求出m即可得到抛物线解析式，然后利用配方法将解析式转化为顶点式．【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣6）2﹣4×3k＝0．解得k＝3．将k＝3代入解析式，得y＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2．即y＝3（x﹣1）2．故k的值为3，解析式为y＝3（x﹣1）2．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数关系式以及二次函数的三种形式．把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18．（8分）已知＝＝＝x，求x的值．【分析】分a+b+c＝0和a+b+c≠0两种情况，利用等比性质求解即可．【解答】解：若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，此时，x＝﹣1，若a+b+c≠0，则x＝＝＝＝＝2，综上所述，x的值为﹣1或2．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质，难点在于分情况讨论．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图所示，已知A（﹣2，3），B（n，﹣2）是一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出不等式ax+b＜的解集．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围，就是对应的一次函数的图象在反比例函数的图象的下边的自变量的取值范围．【解答】解：（1）将A（﹣2，3）点坐标代入反比例函数解析式y＝中，得3＝，∴m＝﹣6，∴反比例函数的表达式，将B（n，﹣2）点代入得﹣2＝﹣，∴n＝3，将A（﹣2，3）、B（3，﹣2）点代入y＝ax+b中，得，解得，∴一次函数的表达式y＝﹣x+1；（2）不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞3．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．20．（10分）已知：如图，AB，CD是⊙O的两条平行切线，A，C是切点，⊙O的另一条切线BD与AB，CD分别相交于B，D两点．（1）求证：OB⊥OD；（2）若OB＝6，OD＝8，求AB+CD的值．【分析】（1）根据切线的性质得到∠ABO＝∠DBO，同理∠CDO＝∠BDO，根据平行线的性质得到∠ABD+∠BDC＝180°，求得∠BOD＝90°，根据垂直的定义得到OB⊥OD；（2）根据勾股定理得到BD＝＝10，设切线BD与圆的切点为E，根据切线的性质得到AB＝BE，同理CD＝DE，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AB，BD是⊙O的两条切线，∴∠ABO＝∠DBO，同理∠CDO＝∠BDO，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠OBD+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD；（2）解：在Rt△BOD中，由勾股定理可得，BD＝＝10，设切线BD与圆的切点为E，∵AB，BD是⊙O的两条切线，∴AB＝BE，同理CD＝DE，∴AB+CD＝BE+DE＝BD＝10．【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、切线长定理等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键．六、（本题满分12分）21．（12分）小龙同学在学习三角函数知识时，老师告诉他求一个角的三角函数值，这个角应该在直角三角形环境里才好求，但是小龙在解题过程中遇到了这样一个难题，题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠BDC＝60°，AD＝2BD，求sin∠ABD的值．你能运用所学知识帮他解决吗？【分析】过A点作AE⊥BD交BD的延长线于E点．设CD＝a，则BD＝2a，求出AB，AE，可得结论．【解答】解：过A点作AE⊥BD交BD的延长线于E点．∴∠AED＝∠C＝90°，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴cos∠BDC＝＝，设CD＝a，则BD＝2a，在Rt△BDC中有勾股定理可得：BC＝a，∵AD＝2BD，∴AD＝4a，∴AC＝5a，在Rt△ACD中有勾股定理可得：AB＝a，在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝，∴AE＝2a，在Rt△ABE中，sin∠ABD＝＝．【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及锐角三角函数定义是解本题的关键．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，关于x的二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC．（1）求直线BC的函数表达式；（2）求二次函数的函数表达式；（3）在直线BC的下方，抛物线上是否存在一点P，使△PBC面积最大？若存在．请求出点P的坐标．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标；利用点B、C的坐标可以求得直线BC的函数表达式；（2）把点A、B分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；（3）要使△PBC面积最大，则经过P点的直线与直线BC平行，与抛物线只有一个交点，由抛物线与直线交点的个数求得答案．【解答】解：（1）设直线BC的函数表达式为y＝mx+n，则把x＝0代入y＝ax2+bx+3，得y＝3．∴点C坐标是（0，3）把C（0，3）和B（3，0）代入y＝mx+n中，得到．解得．∴y＝﹣x+3；（2）把A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得到，解得．∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（3）存在，理由如下：要使△PBC面积最大，则经过P点的直线与直线BC平行，与抛物线只有一个交点，故设这条直线的解析式为y＝﹣x+k，则﹣x+k＝x2﹣4x+3的△＝0，得k＝，方程的解为x1＝x2＝．把x＝代入一次函数y＝﹣x+，得y＝﹣．则P点坐标为（，﹣）．【点评】本题主要考查了抛物线与x