付立志变换广义函数市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

《付立志变换》主讲教师付立志第三回我欲乘风西去借来柳枝甘露登高可观云腾翻，入谷能赏瀑挂川。欲将美景尽饱睐，乘鹤直上九重天。1.3冲激函数概念及性质上页下页首页结束2/21则：电流强度——是电荷函数对时间改变率，即设：电荷函数（非连续）问题引入：在原来电流为零电路中，某一瞬时（设t

=0

）进入一单位电量脉冲，怎样计算电路上电流？在普通意义下不可求导，也就是说在普通意义找不出一个普通函数来表示电流强度。如：点热源、点质量、窄脉冲等非连续量。上页下页首页结束3/21这个函数所具备特点：⑴当t≠0时等于0；⑵当t＝0时为∞；⑶强度（能量）有限等于1.狄拉克（Dirac）定义：显然，这个函数是一个奇异函数，不能用普通函数定义方式来定义，也就是说用普通数学理论无法解释，所以自20世纪30年代诞生以来不被数学界认可。不过，它却在物理界被广泛使用，使得计算结果非常简练和明了，即它含有客观实用性和价值。为此，就引发了一些数学家研究兴趣，直到50年代形成了广义函数理论（泛函分析）一新数学理论分枝，才被认可。一、δ函数定义上页下页首页结束4/21广义函数（函数序列弱极限）定义：对于任何一个无穷次可微函数f(t)，假如满足；则称

弱极限为δ函数。其中记为，即或简记为上页下页首页结束5/21弱者，非强也！弱化，乃非严格是也。图解显然，对任何，有即或这里积分值称为冲激强度。它只所以称为弱极限，就是因为它是一个函数序列极限（含参变量极限）。用来表述δ函数函数序列有很多，且能够任意结构。类似地，我们还有δ(t-t0)定义。上页下页首页结束6/21δ型函数序列定义：若，则有实际上上页下页首页结束7/21注意：此极限是发散！复数域上δ函数定义：积分式计算式上页下页首页结束8/21若f(t)为无穷次可微函数，则1、δ函数筛选性（抽样性质）二、δ函数性质实际上积分中值定理上页下页首页结束9/21或例1证实证因为又因为所以即上页下页首页结束10/212、δ函数对称性质实际上3、δ函数导数对任意有连续导数函数，都有普通地，有上页下页首页结束11/21实际上，当时，，于是有依据微分与积分互逆关系很轻易得到和对积分式取极限，得由此可见，在处有方向相反两个冲激函数，故在信号学中称为冲激偶信号。上页下页首页结束12/214、δ函数积分其中称为单位阶跃函数，也称赫维赛德（Heaviside）函数。反之，有这在高等数学里面是不允许，或者说是不存在。这一点说明了真理是相对，即真理具有局限性。上页下页首页结束13/215、δ函数卷积，有对任意函数实际上尤其地此性质称为δ函数搬移性质。上页下页首页结束14/216、δ函数相同性实际上，由换元积分法有(a为非0实数）复数域上δ函数相同性上页下页首页结束15/21(1)有了δ函数，对于点源和脉冲量研究就能够象处理连续分布量那样，以统一方式来对待。(2)尽管δ函数本身没有普通意义下函数值，但它与任何一个无穷次可微函数乘积在(-∞,+∞)上积分都有确定值。(3)δ函数也称冲激函数，就是因为它在积分变换中具备冲激功效。这种冲激功效可转化为屏蔽效应和撕裂效应，可使得不可积指数级增加函数（如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等）变为可积，具备积分变换，实现真正可逆，到达完美。所以，在广义函数意义下，收敛与发散，连续非连续，可积不可积都变得不那么主要了。这里表达了真理相对性与对立统一律。δ函数在积分变换中作用上页下页首页结束16/21定理（付立志积分定理）4若函数f(z)是指数级增加函数或有限个极点有理函数，则有及其中I和R分别表示复平面上实轴和虚轴。（1.6）（1.7）证实：为了简练证实，我们不妨从式（1.6）进行倒证.上页下页首页结束17/21因为由卷积定义，可得所以依据δ函数积分式和卷积性质，可得在上述卷积交换过程中，被积函数只有满足一定条件，才能进行交换.依据付立志积分公式和δ函数积分意义，当f(z)是指数级增加函数或有限个极点有理函数时，总是满足交换条件，而且交换过程也是可逆.同理，我们能够证实式（1.7）.上页下页首页结束18/21例2计算积分解：令z=ju，则依据冲激函数筛选性和相同性，可得即所以，依据付立志积分公式，得上页下页首页结束19/21小结一、δ函数概念——广义函数二、δ函数性质1、δ函数筛选性2、δ函数对称性质3、δ函数导数和4、δ函数