U3变量之间的关系知识点-典型例题

U3变量之间的关系知识点-典型例题U3变量之间的关系知识点-典型例题U3变量之间的关系知识点-典型例题资料仅供参考文件编号：2022年4月U3变量之间的关系知识点-典型例题版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：第三章变量之间的关系变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量变量之间的关系相关概念自变量和因变量：在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定的范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫作自变量，后一个变量叫作自变量的因变量。变量之间的关系相关概念常量：在变化过程中数值始终不变的量表示方法表格法：用表格表示两个变量之间的关系，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中能准确地看出自变量与对应的因变量的值及变化趋势。表示方法关系式法：用自变量表示因变量的代数式，准确反映出因变量与自变量之间的数值对应关系。图像法：用图像表示两个变量之间的关系应用：利用变量之间的关系解决问题、进行预测§用表格表示变量间的关系知识点链接1.常量与变量在某一变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。Ps：指出一个变化过程中的常量时，应连同前面的运算符号。如：长方形的周长是24，一边长y与邻边长x之间的关系是y=12-x，式子中的常量是12和-1，这里的负号不能漏掉。2.自变量与因变量在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定的范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫作自变量，后一个变量叫作自变量的因变量。Ps：二者的联系与区别联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化。区别：自变量是先发生变化或自主发生变化；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而发生变化的量。3.用表格法表示变量间的关系一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中能准确地看出自变量与对应的因变量的值及变化趋势。Ps：①保证数据的真实性，以及对自变量所取数值排列的顺序性。②因变量的值必须与自变量的数值一一对应。【典型例题】例1：已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S=12在这个式子中常量是________，变量是________。例2：某项工作甲单独完成需要24小时，乙单独完成需要36小时，如果两人合作n小时，其中n的值小于12，两人共同完成的工作量W与工作时间n的关系是W=1则其中的常量是___________，变量是___________。例3：小明烧一壶水，发现在一定时间内水的温度随时间的变化而变化，即随着时间的增加，水的温度逐渐升高，如果用t表示时间，T表示水的温度，则_____是自变量，____是因变量。例4：为了帮助失学儿童，同学们积极奉献爱心，在班上放了一个捐款箱。第一天捐款25元，第二天捐款31元，第三天捐款30元，第四天捐款45元，第五天捐款42元，第六天捐款47元，第七天捐款36元，第八天捐款50元。用表格表示上面的数据，说出哪个量是自变量，哪个量是因变量，并计算他们的捐款总数和平均每天的捐款数。鞋长/cm16鞋长/cm16192124鞋码/号22283238(1)表中反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量(2)当鞋长为21cm时，对应的鞋码是多少(3)如果小马穿42“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少例6：2012年1~12月份某地的大米价格如下表所示：月份/月123456789101112平均价格/(元/千克)(1)表中列出的是哪两个变量之间的关系哪个是自变量，哪个是因变量(2)自变量是什么值时，因变量的值最小自变量是什么值时，因变量的值最大(3)该地区哪一段时间大米平均价格在上涨该地区哪一段时间大米平均价格在下跌(4)从表中可以得到该地区大米的平均价格变化方面的哪些信息年底的平均价格比年初是降了还是涨了【中考链接】1.[成都]奥运会的年份与届数如表所示：年份189619001904…2012届数123…n表中n的值等于______.a1,1a1,2a1,3a1,4a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5a5,1a5,2a5,3a5,4a5,52.[西安]在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai,j(其中i,j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai,j规定如下：当i≥j时，ai,j=1；i＜j时，ai,j=0.例如：当i=2,j=1时，ai,j=a2,1=1.按此规定，a1,3=____；表中的25个数中，共有____个1；计算a1,1·a1,1+a1,2·a1,2+a1,3·a1,3+a1,4·a1,4+a1,5·a1,5=_____.§用关系式表示变量间的关系知识点链接1.用关系式表示变量之间的关系两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫做关系式法。注：①关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，能准确地反映两个变量的对应关系。②实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来。③有些问题中，自变量是有范围限制的，列关系式时要注意。2.根据关系式求值利用关系式，根据任何一个自变量的值求出相应因变量的值，也可根据因变量的值求出相应自变量的值。【典型例题】例1：下表表示将皮球从高处d落下时，弹起高度h与下落高度d之间的关系：d5080100150h25405075请用关系式表示h与d之间的关系：________________.例2：为保护学生的视力，课桌椅的高度均按一定的关系配套设计。已知课桌的高度随着椅子的高度变化而变化，它们之间的关系用关系式近似地表示为y=+11[y表示课桌高度，x表示椅子高度，单位：cm](1)计算当椅子高度为40cm时，课桌的高度；(2)求当课桌高度为83cm时，椅子的高度。例3：已知ΔABC的底边BC上的高为8cm，当它的底边BC从16cm变化到5cm时，ΔABC的面积().A.从20cm2变化到64cm2B.从64cm2变化到20cm2C.从128cm2变化到40cm2D.从40cm2变化到128cm2例4：右图是用火柴棍摆成的边长分别为1,2,3根火柴棍时的正方形。当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s=________.[用n的代数式表示s](1)求a,c的值，并写出不超过6立方米和超过6立方米时，水费与用水量之间的关系；(1)求a,c的值，并写出不超过6立方米和超过6立方米时，水费与用水量之间的关系；(2)若该用户5月份的用水量为8立方米，求该用户5月份的水费。月份用水量/m月份用水量/m3水费/元354927例6：有一种数值转换机，能将输入的数值x通过“乘2减3”转换为y，如果一次输入正整数1,2,3,4,5,6,7，…x1234567…y(1)填写表格：(2)就x,y这两个变量而言，______是自变量，______是因变量。(3)当x=10时，y=______；当x=20时，y=______.(4)从表中可以看出，无论输入怎样的正整数x，通过数值转换机转换，最终输出的y均为奇数，这是为什么你能借助代数式的有关知识加以说明吗例7：某研究表明，人在运动时的心跳速度通常与人的年龄有关，下表是测得某个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b(次)随这个人的年龄a(岁)变化而变化的规律。年龄a/岁12345运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b/次175(1)试写出变量b与a之间的关系式，并指出哪个量是自变量，哪个量是因变量(2)正常情况下，在运动时，一个12岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少(3)一个50岁的人在运动时，1分钟内心跳的次数为150次，他有危险吗【中考链接】1.[四川]四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，某校接受了开幕式大型团体操表演任务。为此，学校需采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商，经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费，另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的关系式。(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算请说明理由。设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元。解答下列问题：写出y(元)与x(棵)之间的关系式。设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元。解答下列问题：写出y(元)与x(棵)之间的关系式。若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元项目品种项目品种单价(元/棵)成活率植树费(元/棵)A2090%5B3095%53.[内蒙古]某产品生产车间有工人10名，已知每名工人可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元，在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品。(1)写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的关系式。(2)若要使此车间每天所获利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品§用图象表示变量间的关系知识点链接1.用图象法表示两个变量间的关系在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，竖直方向的数轴(纵轴)上的点表示因变量。图象上的每个点都表示自变量和因变量之间的相互关系。2.从图象中获取变量的信息：(1)各点取值；(2)因变量的变化趋势；(3)转换成表格。3.三种表示方法之间的关系特点表示方法特点表格法多个变量可以同时出现在一张表格中关系式法准确地反映因变量与自变量的数值关系图象法直观、形象地给出因变量值随自变量的变化趋势4.图象特例分析(1)速度-时间图象(v-t)①横轴表示时间，纵轴表示速度；②从原点开始到点A表示速度为0，即静止；③①横轴表示时间，纵轴表示速度；②从原点开始到点A表示速度为0，即静止；③线段AB自左到右是上升的，表示速度在增加，即加速运动；④线段BC是水平的，表示匀速行驶；⑤线段CD自左到右是下降的，表示速度在减小，即减速运动，直到速度为0(点D处).(2)路程-时间图象(s-t)①横轴表示时间，纵轴表示离起点的距离；②从原点开始到点A表示①横轴表示时间，纵轴表示离起点的距离；②从原点开始到点A表示离起点的距离为0，即在原地静止不动；③线段AB自左到右是上升的，表示离起点的距离在增加，即离起点越来越远，且是匀速运动；④线段BC是水平的，表示离起点的距离没有增加，即静止不动。此时也是离起点最远的距离；⑤线段CD表示离起点越来越近(返回中)，直到回到起点，且也是匀速运动.【典型例题】例1：在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度T(℃)随加热时间t(min)变化的图象大致是().例2：一人骑自行车从家里出发，先加速行驶一段路程后，又匀速骑了一段路程，途中遇一熟人，减速后停下来，讲了一阵话，后又加速行驶一段路程后匀速行驶，接着又减速行驶到目的地。下列图象中能正确地表示这段情形的是().(第(第3题图)(第2题图)例3：2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行，童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家。其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离。下图能反映y与x的大致图象是().例4：均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如右图，则这个容器的形状为().例5：右图为某地一天的温度变化的图象，根据图象回答，在这一天中：什么时候气温最高什么时候气温最低这一天的温差是多少哪段时间内气温不断下降哪段时间内气温上升什么时候的气温是22℃例6：如图(Ⅰ)，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC,CD,DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的关系图象如图(Ⅱ)所示，那么△ABC的面积是______.图(Ⅰ)图(Ⅱ)例7：甲乙两人在一次赛跑中，路程s(米)与时间t(秒)之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：(1)这次赛跑的终点距起点多少米(2)甲、乙两人谁先到达终点他用时多少谁后到达终点他用多长时间(3)甲、乙两人在这次赛跑中的平均速度分别是多少例8：某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一家国有出租车公司其中一家签订月租车合同。设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用为y2元，x与y1，y2，的关系如图，回答下列问题：个体车主和国有出租车公司哪家有月租费是多少若单位每月行驶500千米，则租哪家的车合算若单位每月行驶1500千米，则租哪家的车合算若单位每月行驶2000千米，则租哪家的车合算【中考链接】1.[重庆]2014年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿。接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直到录入完成。设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是().2.[湖南衡阳]如图，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左往右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则S与t的大致图象是().3.[山东德州]若甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(米)与赛跑的时间t(秒)的关系如图(a)所示，则下列说法正确的是().A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多4.[江苏常州]甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习。图(b)中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(km)随时间t(分)变化的函数图象。以下说法：①乙比甲提前12min到达②甲的平均速度为15km/h③乙走了8km后遇到甲④乙出发6min后追上甲，其中正确的有().A.4个B.3个C.2个D.1个5.[天津]图(c)是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内水量为y升；③长方形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止。设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=SΔABP；当点P与点A重合时，y=0.其中，符合图中所示的问题情境的个数为()A.0B.1C.2D.3图(a)图(a)图(b)图(c)图(d)6.[广西玉林]均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满。在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图(d)，则这个瓶子的形状是下列的().【单元练习】一、选择题1、骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是().A、沙漠B、体温C、时间D、骆驼2、长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x>0），面积为ycm2，则这样的长方形中与的关系可以写为().A、y=x2B、y=(12-x)2C、y=(12-x)·xD、y=2(21-x)3、地表以下的岩层温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的关系可以由公式y=35x+20来表示，则y随x的增大而().图1A、增大B、减小C、不变D、以上答案都不对图14、如图1所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程与时间的关系图象，图中和分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快().A.B.2C.D.15080100150254050755、表格列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高度落下时弹跳高度与下落高的关系，试问下面的哪个式子能表示这种关系（单位）().....x012345y1011126、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：下列说法不正确的是().D.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0cmC.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm7、在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是().A.①②⑤B.①②④AC.①③⑤D.①④⑤ADCB图28、张大伯出去散步，从家走了20，到了一个离家900m的阅报亭，看了10报纸后，用了15返回到家，如图2图象中能表示张大伯离家时间与距离之间关系的是().DCB图2二、填空题1、表示函数之间的关系常常用____________、、三种方法．2、重庆市家庭电话月租费为25元，市内通话费平均每次为元.若莹莹家上个月共打出市内电话次，那么上个月莹莹家应付费与之间的关系为，若你家上个月共打出市内电话100次，那么你家应付费元．3、某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：排数1234…座位数50535659…上述问题中，第五排、第六排分别有个、个座位；第排有个座位.4、正方形的边长为，那么它的面积与之间的关系式为．5、假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图3所示，那么可以知道：①甲、乙两人中先到达终点的是.②乙在这次赛跑中的速度为m/s.6、声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(ºC)之间在如下图3关系：图3(1)当气温x=15ºC时，声音的速度y=m/s．(2)当气温x=22ºC时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m7、拖拉机工作时，油箱中的余油量（升）与工作时间（时）的关系式为．当时，，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作_________小时．8、一个长方形周长为12，一边长为，面积随的变化而变化，则与的关系式是______________．当时，_______．三、解答题1、下表是佳佳往妹妹家打长途电话的几次收费记载：时间／分1234567电话费／元(1)上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量(2)你能帮佳佳预测一下，如果她打电话用时间是10分钟，则需付多少电话费2、如图4，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么(2)如挖去的圆半径为(cm)，圆环的面积()与的关系式是_________；图4(3)当挖去圆的半径由变化到时，圆环面的面积由_________变化到_________．图43、洪山县从2000年开始实施退耕还林，每年退耕还林的面积如下表：时间／年200020012002200320042005面积／亩350380420500600720①上表反映的是哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量②从表中可知，随时间的变化，退耕还林面积的变化趋势是什么③从2000年到2005年底，洪山县已完成退耕还林面积多少亩4、已知长方形的相邻两边的长分别是和，设长方形的周长为．①试写出长方形的周长与之间的关系式；②求当长为，时的周长；③求当周长分别为，时的值．5、小明读七年级，他很想一个人郊外秋游，但妈妈不放心，让他将一天的时间安排做一个详细计划，于是小明绘制了图5交给妈妈，你能根据这幅图想象一下小明的秋游情况吗图5图5四、拓广探索（20分）1、弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：物体的质量(kg)012345弹簧的长度(cm)121314上表反映了哪些