(word完整版)南京理工大学高等数学历年期末试卷

⑶I=2卩葺=x2+3y2—驻点为P1(0耳),P2(0W),a),P4(-1,0).TOC\o"1-5"\h\zA4=2y,B亠=竺=2x,C=竺=6y.dx2dxdydydxdx2由极值存在的充分条件知：；3J3P1（0,中为极小值点，P2X中为极大值点,P3（1，0）和P4（—1，0）不取极值。R=1,收敛域为（-1,1）,11\>'R=1,收敛域为（-1,1）,n=11—x(1—xn=1n=0所以，另nx所以，另nxn-1n=1=1=(1-x)2,xe(—1,1).5订5—5订5—1012JJdxdy=hJ1dxf1dy=4h—1x23由VA=VB，得h=3兀"8J1xJ1+4x2dx=—(1+4x2)2|1=012〜由高斯公式知：I=JJJzdxdydz=Jk/4d0J2d^J2rcos0r2sin0dr=叟00021•令y'=P，化简为一阶线性方程:Pp=x,解得:p=x2+Cx，即y'=x2+Cxx112特征方程：九2+1=0,九1，2=±i，所以齐次方程的通解为：y=-cosx+c2sinx,设非齐次的特解形式为：y*=（Ax+B）e2特征方程：九2+1=0,九1，2所以通解为：y=ccosx+csinx+(丄x—122是不正确的（2分），正确结果应为』（乜+旦）dxdy是不正确的（2分），正确结果应为dx2dy2LD设从x轴正向到曲线的切向量S（和曲线同向）方向和曲线的外法线方向n的转角分别

兀为a、卩。则总是有a—卩=—,而s0二{cosa,sina},n0二{cosP,sinP},(1分)J^ds方向导数公式J(竺cosP+竺sinP)ds=J(色sina一理cosa)dsQnQxQyQxQyLLLQuQuQ2uQ2u=Jdy-dxGreen公式JJ(+)dxdy。(2分)QxQyQx2Qy2LD(J1e-x2dx)?=J1e-x2dx-J1e-y2dy=JJe-x2-y2dxdy>JJe-x2一y2dxdy000D1D2=l：d初pe—p2dp=-(1—]).其中D:0<x<1,0<y<1004e12003级(下)A卷答案一、1--7.VXVXVXV8-13.X14.V、(1)76(2)s(x)=\f(x),一、1--7.VXVXVXV8-13.X14.V、(1)76(2)s(x)=\f(x),x丰kn1,x=2kn2(n2+1)22,x=(2k+1)n1、⑴2。⑵Q2z2xexyf+exy(1+xy)f+xye2xyfQxQy12222J1dxJxf(x,y)dy+J2dxJ2一“f(x,y)dy、J1dyJ2—yf(x,y)dx00100y四、I=2f]+yexyf2.五、六、设L］为：y=0(0<x<1),方向为从右向左J=6x2dxdy=6卜/2dqjL+L]D2Cag(pcosQ)2Udp=15n,004J=0,L1I=J—J15二——兀4L1七、JJxy2dydz+x2ydzdx+zdxdy=JJJ(y2+x2+1)dv七、工+工01=J2ndpJ1pdpJ1(p2+1)dz=2n,J0J0p23JJJJxy2dydz+x2ydzdx+zdxdy=JJdxdy=n。£D

1="-"=-勺八、特征方程为为2+9=0，齐次通解为y=c1C0S3X+c2Sin3X。x设特解形式为y*=x(Acos3x+Bsin3x)，解得：y*=一：cos3x。6x通解为y=ccos3x+csin3x-cos3x126故有2+b+3=1。故有2+b+3=1。ab3c九、设平面方程为一+〒+=1，过点(2,1,牙)，abc3=1下的条件极值。为简化计算，令1=1下的条件极值。为简化计算，令问题为求函数V=：abc在条件一+：+-6ab3c211211F(a,b,c)=lnabc+九(++—1)(或F(a,b,c)=abc+九(++—1))ab3cab3c解得：a=6,b=3,c=1,九=3。xyz平面方程为7+寸+=1，由实际问题知最小体积V=3。63111十、lima=a>0(反证法)，0<<——<1。n*na+1a+1n级数