不动点定理及其应用

不动点定理及其应用(总17

页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOnel-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除士... 一「亠一-亠摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词:Banach不动点定理，数列通项，有界性，单调性，收敛性.AbstractThisarticlefirstlyintroducedtheFixpointTheoreminBanachspace,theone—dimensionalextendedformoftheFixpointTheoreminotherlineartopologicalspaceandtheextendedformingeneralcompletemetricspace.Then,wesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFixpointTheorem,analyzingthecharacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountryrecentyears,includingtheproblemofgeneraltermandboundednessofasequenceofnumber.Atlast,attractivefixpointandrejectionfixpointinFixpointTheoremwereintroducedwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicityandastringencyofsequenceofnumber.Keywords:Banachfixedpointtheorem,Sequence,Boundedness,MonotonicityConvergence.目录第1章绪论 错误!未指定书签。1.1导论 错误!未指定书签。1.1.1选题背景 错误!未指定书签。TOC\o"1-5"\h\z1.1.2选题意义 21.1.3课题研究内容 错误!未指定书签。\o"CurrentDocument"研究现状 21.3本章小结 3\o"CurrentDocument"第2章不动点定理 4有关概念 4\o"CurrentDocument"不动点定理和几种推广形式 4本章小结 7\o"CurrentDocument"第3章不动点定理在数列中的应用 8\o"CurrentDocument"3.1求数列的通项公式 8\o"CurrentDocument"3.2数列的有界性 9\o"CurrentDocument"3.3数列的单调性及收敛性 11\o"CurrentDocument"3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 113.3.2数列的单调性、收敛性的证明 14\o"CurrentDocument"3.4本章小结 17\o"CurrentDocument"第6章结束语 18参考文献 19第1章绪论1.1导论不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论［1］．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论［2］．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念［3］．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理［4］．不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体［5］上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)⑹，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理⑹.这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．1.1.1选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2选题意义利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．1.2研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于着名的巴拿赫(Banach)压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》［2］一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即，设连续函数f(x)f(x)把单位闭区间［0,1］映到［0,1］［0,1］中，则有xg［0,1］，使f(x)二x.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不000能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.本章小结本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.第2章不动点定理2.1有关概念函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数f(x)的取值过程中，如果有x,使f(x)=x.就称x为f(x)的一个不动点.000对此定义，有两方面的理解：⑴代数意义：若方程f(x)=x有实数根x，则f(x)=x有不动点x.000000⑵几何意义：若函数y=f(x)与y=x有交点(x,y)，则x为y=f(x)的不000动点.为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.定义1卩］度量空间：设X是一个集合，P:XxXtR.如果对于任何x,y,zGX，有⑴(正定性)P(x,y)>0，并且p(x,y)二0当且仅当x=y；(2)(对称性)p(x,y)=p(y,x)；⑶(三角不等式)p(x,z)<p(x,y)+p(y,z)，则称p是集合X的一个度量，偶对(X,p)是一个度量空间.定义2⑺压缩映射：给定(X,P)如果对于映射T:XtX存在常数K,0<K<1使得p(Tx,Ty)<Kp(x,y)，(Vx,ygX)则称T是一个压缩映射.定义3⑺Cauchy歹lj:给定(X,p),｛x/uX，若对任取的£>0，有自然数N使对Vm,n>N，都成立p(x,x)<£则称序列｛x｝是Cauchy列.£ mn n定义4⑺完备度量空间：给定(X,p)，若X中任一Cauchy列都收敛,则称它是完备的.定义5⑻不动点：给定度量空间(T,p)及XtX的映射T如果存在x*gX使Tx*二x*则称x*为映射T的不动点.定义6[9]凸集：设X是维欧式空间的一点集，若任意的两点X1GX,x2GX的连线上的所有的点Qx+(1-d)xGX,(0<d<1);则称X为凸集.122.2不动点定理和几种推广形式不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成f(x)=x的形状这里的x是某个适当的空间X中的点，f是X到X的一个映射，把每个x移到f(x).方程f(x)二x的解恰好就是在f这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先，本文介绍Banach不动点定理的证明定理l (Banach不动点定理——压缩映射原理凹)设(X,p)是一个完备的度量空间T是(X,p)到其自身的一个压缩映射,则T在X中存在惟一的不动点.证明首先，证明T存在不动点取定xGX以递推形式x=Tx确定一序列(x｝是。8口小丫歹IJ.事实上，由0 n+1 n np(x,x)=p(Tx,Tx)<Kp(x,x)=Kp(Tx,Tx)m+1mm m-1 mm-1 m-1m-2<K2p(x,x)<<Kmp(x,x)m-1m-2 10任取自然数m,n,不妨设m<n那么从而知〈｝是一Canchy歹lj,故存在x*gX使xTx*且x*是T的不动点，因nn为故p(x*,Tx*)=0,即Tx*=x*,所以x*是T的不动点.其次,下证不动点的惟一性设T有两个不动点x*,x*,那么由Tx*=x*及Tx*=x*有111设x*丰x*，则p(x*,x*)>0,得到矛盾，从而x*=x*，唯一性证毕.111作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach空间，X为E中非空紧凸集，f:XTX是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意xeX，f(%)是紧的)这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder不动点定理II:定理3设E是Banach空间，X为E中非空凸集，f:XtX是紧的连续自映射，则f在X中必有不动点.定义6设E是线性拓扑空间，如果E中存在由凸集组成的零邻域基，则称E是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理：定理4设E是局部凸线性拓扑空间，X是其中的非空紧凸集，f:XtX是连续自映射，则f必有不动点，即存在%eX，使得f(x)二x.0001950年，Hukuhara将Sehauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder—Tychonoff不动点定理：定理5设E是局部凸线性拓扑空间，X是其中的非空凸集，f:XTX是紧连续自映射，则f必有不动点，即存在%eX，使得f(x)二x.000从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，定义如下：定义7设X是拓扑空间，T:XT2X是集值映射，其中2X表示X的所有非空子集的集合•若存在xeX,使xeT(x)，则称xo是T的不动点.00001941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：定理6设XTRm是凸紧集，且T:XT2X是具闭凸值的上半连续集值映射，则T必有不动点.1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：定理7设E是Banach空间，X是E中的非空紧凸集，T:XT2x是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T必有不动点.1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即：定理8设E是局部凸的Hausdorff线性拓扑空间，X是E中的非空紧凸集，T:XT2x是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T必有不动点.1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：定理9设X是Hausdorff线性拓扑空间E中的非空凸紧子集，集值映射S:XT2x满足：对任意xeX，S(x)是X中的非空凸集对任意yeX,S-1(y)={xeX:yeS(x)}是Z中的开集则存在xoeX，使xeS(x).000本章小结本章详细介绍了Banach不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式.第3章不动点定理在数列中的应用在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．

用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1求数列的通项公式定理10已知数列｛x｝满足x=f(x)f(x)=ax+b，其中n n nT cx+dc丰0,ad-bc丰0,设p是f(x)唯一的不动点，则数列n是一个等差数列.证明因为p是fO唯一的不动点，所以p是方程X二巴二，亦即p是cx+d元二次方程cx2+(d-a)x-b=0的唯一解.得所以把p二弟代入上式，得：2c令k二二，可得数列]—|是—个等差数列.a+d [x-pJn在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列｛x｝的首项，数列的递推n关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.例1若a=—1,a1n2-an例1若a=—1,a1n2-an-1n解根据迭代数列a= —，构造函数f。)=丄，易知fO有唯一的n2-a 2-xn-1不动点p=1，根据定理可知a=0,b=1,c=-1,d=2,则

即数列]亠I是以首项-1，公差为-1的等差数列•则对应的通项公式为[a-1J 2n解得3解得3-2n1-2n又a=-1也满足上式•所以占｝的通项公式为a二•1 n n1-2n对于此类形式的数列，已知数列(x｝满足x=f(x)f(x)=巴二，其中n n n-1 cx+dc丰0,ad-be丰0，求其通项•运用不动点定理，可以简单快捷地解答•即数列TOC\o"1-5"\h\z1I 2ca-1n1 a-1n1 a+d推论已知数列｛x｝满足x二f(x),f(x)=ax+b，其中a丰0，设p是f(x)n n n-1唯一的不动点，则数列ix-p｝是一个公比为a等比数列n例2若a=-1,a=2a+3， (neN*，且n>2)，求数列^a｝的通项公1 n n-1 n式.n n-1解根据迭代数列a二2a.+3，构造函数f(x)=2x+3，易知f(x)有唯一的不动点pn n-1根据推论可知a二2,b二3，则所以a+3=2(a+3)n n-1所以｛a+3｝是以a1+3二2为首项，2为公比的等比数列，n1则当n>2时，有a+3=2“，n故a=2n—3n又a=-1也满足上式.1所以£｝的通项公式为a二2n-3•nn在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知a及递推公式，求数列a=f(a)n+1 n

的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.3.2数列的有界性在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.例3（2008年全国II）函数f（x）=x-xInx.数列｛a｝满足0<a<1,a =f（a）.证明：a<a<1.1 n+1 n n n+1分析函数fo=x-xlnx的不动点是x二1显然此题就是要证明数列向不动点x二1收敛证明 当xw（0,l）时，f'd-lnx>0，所以fC）在区间（0,1）内是增函数；又0<a1<1，所以a<a121aa<a121a-alna<二1假设n二k时有a<a<1，因为f6）是增函数xw（0,l），所以k k+1）<f（1）=1，即a<a<1，当n=k+1时结论也成立•故原不等k k+1 k+1 k+2式成立这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程

的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一

步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.例4（2010年全国I）已知数列｛｝中，a=1,a=c-丄，求使不等式n 1 n+1 ana<a<3成立的c的取值范围.n n+1解:该数列应该是向其某个不动点收敛•不妨设该不动点为x0，则有1<x<3，即方程fO二x在（1,3］有一个实根•我们继续用不动点的思路方法解0决该问题.因为a<a<3对任意自然数都成立，所以首先应有a<a<3，可得n n+1 1 22<c<4．设f(x)=c-，则f(x)是增函数，xw(o,+w).x令fO=x，即c-=x,x2-cx+1=0•当c>2时，该方程有2个不等的实x数根•设为x,x,x<x,由韦达定理xx=1，可知x<1<x只要让x<3即121212122可.令g(x)=x2一cx+1,g(3)>0nc<—•即当c<时，f(x)在6,3〕上存在不动点x(x就是x)所以c的取取范围3002(10n是2,岁|.再用数学归纳法证明结论的正确性：\ 3I因为1<x<3且f(x)=c-在(0,+8)是增函数，所以当2<c<时，0 x 3有a=1<a=f(1)<x=f(x).1200假设n=k时，有a<a<x<3•因为f(x)是增函数，故k k+10f(a)<f(a)<f(x)，即a<a<x，当n=k+1时结论也成立，所以当ck k+1 0 k+1k+20的取值范围是2,1301时，f(x)=c-1有在区间6,3〕内的不动点x,数列L｝单调递增向该不动点收x 0 n敛.3.3数列的单调性及收敛性近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．3.3.1关于数列单调性、收敛性的重要结论xn+1X—定义8设f:ITR，其中I是R的一个区间，数列(X”｝由a广a和递推关系=f(x)来定义.则数列｛x｝称为递推数列./(x)xn+1X—n n nf(x)称为数列lx1的特征方程，X1二a称为初始值.n1若设f是连续的，若｝收敛而且有极限x0，X二limx二limf(x)=f(X)•因此问题就变为寻找方程x二f(x)解(即f的不0 n+1 n 0动点)，并验证数列是不是收敛于数x0．0定理11设f是定义在I上的一个压缩映射，则由任何初始值&gla,b］和递推数列X=f(x)，ngN*生成的数列人｝收敛.n+1 n n证明：由于f是b］上的一个压缩映射，故f(|a,b)uta,b］,则」xgL,b］,且3kg6,1)，使得Vn,pgN*，有n g｛x1收敛．［证毕］n于是，Vg>0(不妨设g<b-a)，只要取N=In——/Ink,Vn,pgN｛x1收敛．［证毕］n都有x-x<g根据Cauchy收敛准则,n n+p定义9在不动点xo处，若f'(xo)<1，则称xo为y=f(x)的吸引不动点；若f'(x)>i，贝g称x为y=f(x)的排斥不动点.00I 0定理12若y=f(x)是定义在I上的连续可导函数，xo是吸引不动点，则存在x的邻域区间U，对一切xgU，都有f'(x)<1且limfn(x)=x•这里的记0|…0号fn(x)=f(fn-1'(x))•证明：因为fO连续可导，又f'(x0)<1，则这样的区间显然存在.对任意一点xgU,在x,x为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得0所以，f(x)gU由定理1可得数列fn6)｝收敛，且limfn(x)=x0•［证毕］nT8定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点•下面研究数列｛x｝将以何种方式收敛于x•n0定理13若y=f(x)是定义在I上的连续可导函数，只有一个不动点x0,且为吸引不动点，初始值x主x,递推数列x=f(x)ngN*，贝(1)当f10 n+1 n在I上递增时，则数列*｝单调且收敛于x0；(2)当f在I上递减时，贝仁｝的两个子列的(r ｝和｛/｝—递增一递减，且收敛于x.TOC\o"1-5"\h\zn 2k-1 2k 0证明：(1)当f在I上递增时，若f >X1，则由数学归纳法可证明X二f(x)>f(x)=x,｛x｝递增；若f X2<X1，则由数学归纳法可证明n+1 n n-1 n nX=f(X)<f(X)=X,IX｝递减.n+1 n n-1 n n当f在I上递减时，此时复合函数ffCJ递增，而子数列& ｝和｛v｝2k-1 2k中有一个递增，另一个递减•若X3>x「用数学归纳法可证明匕沖丿单调递增•事实上，若X<X，则X二f(X )>f(X )=X ,2k-1 2k+1 2k 2k-1 2k+1 2k+231X=f(X)<f(X )=X，由此可得<X｝单调递减；若X<X,证明类312k+1 2k 2k+2 2k+3 2k似．［证毕］定理14若y二f(X)是定义在I上的连续可导函数，有且只有两个不动点a,卩a<卩)且fGL1,f'©L1，异于a,卩的初始值X］,递推数列X二f(X),neN*.则两个不动点a,P至多只有一个吸引不动点.n+1 n证明：设函数gG)=f(X)-X,则g'(x)=f'(x)-1•假设两个不动点a,P同为吸引不动点，则|f'(a)<1,|f'(P)<1从而g'(a)<0,g'(P)<0•又g(a)=g(P)=0,可得Vs>0,3U0(a,s)，使得g'(x)<0，则％eU0Cx,e),g(a)<g(a)=0，同理3bg(P-8,P),使得g(b)>0•由gC)连续及零点存在定理，得gC)在区间(a,b)上必有一个零点•这与g(x)仅有两个零点矛盾•因此假设不成立，贝9两个不动点a,P，至多一个为吸引不动点•［证毕］定理15若y=f(x)是定义在I上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点a,P(a<P),且a,P，中有一个吸引不动点，fGk1,f'©k1•异于a,卩的初始值X］,递推数列X1=fC”)neN*，则a为吸引不动点，P为排斥不动点，且当x<a<0时，｛x［单调递增且收敛于a;当a<x<P时，｛x｝单调递1 n 1 n减且收敛于a;当x>p时，lx｝单调递增且不收敛；1n证明：由y=f(x)为凸函数，可得f'G)为增函数•由a<卩且中有一个吸引不动点及定理4得f'(a)<1<f'(p),即a为吸引不动点，P为排斥不动点•构造函数g(X)=f(x)-X,则g'(x)=f'(X)-1为增函数且g'(a)<0,g'(P)>0•于是3Xe(a,P),使得g'(X)=0，于是g(x)在Cs,X)上递减，在(X,P)上递增•下面分四种情况进行说明：所以X2>x「结合数学归纳1⑴当x<a时，g(x)>g(a)=0即f(x)法易证｛所以X2>x「结合数学归纳1⑵当a<x<x时，g(x)<gG)=0即f(x)<x11⑵当a<x<x时，g(x)<gG)=0即f(x)<x11n纳法易证｛x｝单调递减且收敛于a所以x<x,结合数学归21⑶当x<x<0时，g(x)<g©)=0即f(x)<x所以x<x1121n法易证&｝单调递减且收敛于a结合数学归纳(4)当x>0时，g(x)>g(0)=0即f(x)>x，所以x>x，结合数学归纳111121法易证&｝单调递增且不收敛.n综上，当x>0时，｛x｝单调递增且不收敛；当a<x<0时，｛x｝单调递1n1n减且收敛于a;当xi<a时，ix［单调递增且收敛于a［证毕］1n定理表明初始值也将影响数列&｝收敛与否、以何种方式收敛于a.n3.3.2数列的单调性、收敛性的证明当初始值与特征函数都确定的情况下，主要判断特征函数的单调性，及不动点是否为吸引不动点，借助定理13可以解决．例5(2007广东理)已知函数f(x)=x2+x—1,a,0是方程f(x)=0的两个根(a>0),广C)是f(x)的导数•设a=1,a1 n+1f(a)

=a-f0)(n=1,2,n的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有a>a；⑶略.n解：⑴易得.a=—^F5,0(2)f'(x)=2x+1则an+1a2+a—1a2+1=a—―n n= n—n 2a+1 2a+1特征函数g(x)=2+1，特征方程2x+1x=即x2+x-1=0，于是不动点-12

(\2。+X-2)2f(x) () 2f(a) n怎)2f©)g'3(2x+1》=(2X71X，g'(a)=(2O71)2二0,曲L(2^1X二0g'得a,P均为吸引不动点.又a=1>a,a=g(a)=2<1，当xe(a,+w),g'(x)>0，由定理13可得数列1213{a}单调递减，且lima=a,a>a.nnnnT+g本题的背景是牛顿切线法求方程f(x)=0的近似解•本题特征函数g(x)=鼎在定义域上不连续，有两个吸引不动点•由于初始值a1=1>a且不动点的导数值恰为0,使得XeC，+g)时恒有g'(x)>0，使问题简单化.-g -g例6(2009陕西22)已知数列｛x｝满足，x=x=——,neN*•n 12n+11+xn⑴猜想数列｛x｝的单调性，并证明你的结论；⑵略.nTOC\o"1-5"\h\z解：由x=丄得特征函数f(x)=—，在(-g,-1)、(-1,+g)上分别单n+11+x 1+xn! f~调递减•由特征方程x= 得不动点a= ,卩= •由于1+x 2 2'(x—>1，则'(x—>1，则f')=M)<1，可得a为排斥不动点，0为吸引不动点.由fG)= 在(-1,+g)上单调递减，又=且1+x 12由定理13得数列｛x｝的两个子列｛x｝单调递增，(x｝单调递减.n 2k-1 2k由于特征函数f(x)=—在(-1,+(上单调递减，结合定理13,可得如下1+x结论：当X1G(-1,«)时，可得x>X,数列｛r｝单调递增，(r｝单调递减；当131 2k-1 2kX1"时，数列｛r［为常数列；当X1G(a,+J时，可得x<x,数列｛x［单调1n131 2k-1递减，｝单调递增.2k当初始值或特征函数中出现未知量或参数时,难度有所增加,考虑降低难度要求的需要,高考题给出的特征函数一般为凹或凸函数,此时主要结合定理15进行判断即可．例7(2009安徽21)首项为正数的数列｛｝满足a二1(2+3^neN*.n n+14n(I)略；(ID若对一切nWN，都有a>a,求a的取值范围.TOC\o"1-5"\h\zn+1 n1解：(11)记f(x)二4(x2+3),则f'2x,f''(x)二2，于是fC)为凸函数令x二1(x2+3)得不动点a二1,B二3•由对一切neN*，都有a>a,得数4 n+1 n列｛a｝为递增，根据定理15得，a<a或a>0，又a>0，所以a的取值范围n 1 1 1 10<a<1或a>311本题已知数列的单调性,求首项的取值范围,利用不动点定理可以证明数列的单调性及收敛性,所以此题是对数列单调性及收敛性的逆向考查,是高考中的难题,继续采用不动点定理的思想,根据定理15可以很简单快捷地求出首项的取值范围，有别出心裁的效果.本章小结本章详细研究了利用不动点定理解决求数列通项,数列有界性,数列的单调性及收敛性问题，对这类问题的解决方法做了简单的概括.第6章结束语本次的毕业论文创作过程是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里,我通过到图书馆翻阅资料,上网,质询指导老师,收集了足够的质料,按