高中数学导数经典题型解题技巧

(圆满版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)(圆满版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)(圆满版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，并且是这几年考试的热门跟增加点，不论是期中·期末仍是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。所以，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了详细的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学识题。好了，下边就来解说常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数见解和几何意义导数见解及其几何意义1）认识导数见解的实质背景。2）理解导数的几何意义。2．导数的运算（1）能依据导数定义求函数yC(C为常数),y

x,y

x2,y

x3,y

1,y

x的导数。x2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法例求简单函数的导数。3）能求简单的复合函数（仅限于形如f(axb)的复合函数）的导数。3．导数在研究函数中的应用1）认识函数单一性和导数的关系，能利用导数研究函数的单一性，会求函数的单一区间（此中多项式函数一般不超出三次）。2）认识函数在某点获得极值的必需条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（此中多项式函数一般不超出三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（此中多项式函数一般不超出三次）。4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实诘问题5．定积分与微积分基本定理1）认识定积分的实质背景，认识定积分的基本思想，认识定积分的见解。2）认识微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数见解以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线yf(x)的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热门。2．常与函数的图象、性质及分析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中重点一步的形式出现，属简单题。解题技巧：1．导数的几何意义函数

y

f(x)在x0处的导数

f(x)的几何意义是：曲线

y

f(x)在点P(x0

,

f(x0))处的切线的斜率（刹时速度就是位移函数

s(t)

对时间

t的导数）。2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数yf(x)在点xx0的导数，即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；（2）在已知切点坐标P(x0,f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)。注：①当曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为xx0；②当切点坐标未知时，应第一设出切点坐标，再求解。例1：（2010·海南高考·理科T3）曲线yx在点1,1处x2的切线方程为（）（A）y2x1（B）y2x1（C）y2x3（D）y2x2【命题立意】此题主要察看导数的几何意义，以及娴熟运用导数的运算法例进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，此后依照点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为2，所以，在点1,1处的切线斜率y2(x2)22，所以，切线方程为y12(x1)，即y2x1，应选A.kyx12)2(1二、利用导数研究导数的单一性考情聚焦：1．导数是研究函数单一性有力的工具，近几年各省市高考取的单一性问题，几乎均用它解决。2．常与函数的其余性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式察看，属中高档题目。解题技巧：利用导数研究函数单一性的一般步骤。1）确立函数的定义域；2）求导数f(x)；3）①若求单一区间（或证明单一性），只要在函数f(x)的定义域内解（或证明）不等式f(x)＞0或f(x)＜0。②若已知f(x)的单一性，则转变为不等式f(x)≥0或f(x)≤0在单一区间上恒建立问题求解。2：（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数f(x)lnxax1a1(aR)x（1）当a1时，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a1时，讨论f(x)的单一性.2【命题立意】此题主要察看导数的见解、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.察看分类讨论思想、数形联合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)依照导数的几何意义求出曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单一性,同时应注意分类标准的选择.【规范解答】（1）当a1时，f(x)lnxx2(0,),所以1,xxfx2x2xx2所以，f21,即曲线yf(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为1，.又f(2)ln22,所以曲线yf(x)在点（2，f(2))处的切线方程为y(ln22)x2,即xyln20.（2）因为f(x)lnxax1a1,所以f'(x)1aa1ax2x1axxx2x2x(0,),令g(x)ax2x1a,x(0,),（1）当a0时，g(x)x1,x0,,所以当x0,1时，gx>0，此时fx0，函数fx单一递减；当x1,时，gx<0，此时fx0，函数fx单一递加.（2）当a0时，由fx0，即ax2x1a0，解得x11,x211.a①当a1时，x1x2，gx0恒建立，此时fx0，函数fx在2（0，+∞）上单一递减;②当0a1时，1110，2ax0,1时，gx0,此时fx0,函数fx单一递减x11时，gx<0,此时fx0,函数fx单一递加1,ax11,时，gx0，此时fx0，函数fx单一递减a③当a0时，因为110,ax0,1时，gx0,此时fx0,函数fx单一递减：x1,时，gx<0,此时fx0,函数fx单一递加.综上所述：当a0时，函数fx在0,1上单一递减;函数fx在1,上单一递增当a1时,函数fx在0,上单一递减2当0a1时，函数fx在0,1上单一递减；函数fx在1,11上2a单一递加；函数fx在11,上单一递减.a【方法技巧】1、分类讨论的原由某些见解、性质、法例、公式分类定义或分类给出；数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数仍是负数等；含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同样而致使结果发生改变；在研究几何问题时，因为图形的变化(图形地点不确立或形状不确立)，惹起问题的结果有多种可能.2、分类讨论的原则要有明确的分类标准；对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；当讨论的对象不单一种时，应分层次进行.3、分类讨论的一般步骤明确讨论对象，确立对象的范围；确立一致的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；逐段逐类讨论，获得阶段性结果；归纳总结，得出结论.三、利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考取极值与最值问题求解的必用方法。2．常与函数的其余性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确立定义域。（2）求导数f(x)。（3）①或求极值，则先求方程f(x)=0的根，再查验f(x)在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）②若已知极值大小或存在情况，则转变为已知方程f(x)=0的根的大小或存在情况，从而求解。2．求函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数f(x)xex(xR)（Ⅰ）求函数f(x)的单一区间和极值；（Ⅱ）已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象对于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)（III）假如x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22【命题立意】本小题主要察看导数的应用，利用导数研究函数的单一性与极值等基础知识，察看运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。【规范解答】（Ⅰ）解：f’(x)(1x)e

x

，令f’(x)=0,解得x=1，当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况以下表x(,1)1(1,)f’(x)+0-极大值[来f(x)Z源:学。科。]网]所以f(x)在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数。1函数f(x)在x=1处获得极大值f(1)且f(1)=e（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xex(x2)ex2于是F'(x)(x1)(e2x21)ex当x>1时，2x-2>0,从而e2x-210,又ex0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=e-1e-10，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).(Ⅲ)证明：（1）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),则x1x21.与x1x2矛盾。（2）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),得x1x2.与x1x2矛盾。依照（1）（2）得(x11)(x21)0,不如设x11,x21.由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x21，所以2x21，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以x1>2x2,即x1x2>2。四、利用导数研究函数的图象考情聚焦：1．该考向因为能很好地综合察看函数的单一性、极值（最值）、零点及数形联合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。2．常与函数的其余性质、方程、不等式、分析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。4：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.i）求函数f(x)的单一区间；(ii)证明：若对于随意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成关闭图形的面s1积分别记为S1,S2，则s2为定值：（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出近似(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。【命题立意】本小题主要察看函数、导数、定积分等基础知识，察看抽象归纳、推理论证、运算求解能力，察看函数与方程思想、数形联合思想、化归转变思想、特别与一般的思想。【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单一区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解S1,S2及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推行获得有关命题，并利用平移的方法进行证明。【规范解答】（Ⅰ)(i)f'(x)3x21(3x1)(3x1)，令f'(x)0获得x1或x10有33，令f'(x)1x133，所以原函数的单一递加区间为(,1)(1,)(1,1)3和3；单一递减区间为33；(ii)f'(x)3x21，P1(x1,x13x1)，f'(x1)3x121，所以过点P1的切线方程为：y3x121xx1x13x1，即y3x121x2x13xx1或x2x1

，由，故

y3x121x2x13yx3x得x3x3x121x2x13，所以2x1，从而有S12x1x33x12x2x13dxx2x11432x232x12744xx12x1xx14x12，用x2取代x1，重复上边的计算，可2x2和S227427164得x34x2，又x22x10，S24x10，所以有S11S216。（Ⅱ）【命题】若对于随意函数g(x)ax3bx2cxd的图像为曲线C'，b其近似于(I)(ii)的命题为：若对随意不等于3a的实数x1，曲线与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2))，曲线C'与其在点P2(x2,g(x2))处的切线交于其余一点P3(x3,g(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C'S11所围成面积为S1、S2，则S216。【证明】对于曲线yax3bx2cxd，不论怎样平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑yax3bx2cx的情况，y'3ax22bxc，P1(x1,ax13bx12cx1)，f'(x1)3ax122bx1c，所以过点P1的切线方程为：y(3ax122bx1c)x2x13bx12y(3ax122bx1c)x2x13bx12，联立yax3bx2cx，得到：ax3bx23ax122bx1xbx122x130，化简：获得所以P2(b2ax12b24a2x126abx1ac从而(xx1)2(axb2ax1)0a,a)同x32b2x24x1样运用(i)中方法便能够获得aS11所以S216。【方法技巧】函数导数的内容在历届高考取主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单一性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，种类有交点个数、恒建立问题等,此中浸透并充分利用结构函数、分类讨论、转变与化归、数形联合等重要的思想方法，主要察看导数的工具性作用。5．（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS'(t)的图像大概为【命题立意】此题将各知识点有机联合，属创新题型，主要察看对函数的图像鉴识能力，灵巧分析问题和解决问题的能力，察看分段函数，察看分段函数的导数，察看分类讨论的数学思想，察看函数的应用，察看平面图形面积的计算，察看数形联合的思想能力．【思路点拨】此题联合题意及图像的变化情况可用除去法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后联合图像进行判断.【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上涨过程中露出的图形部分的面积共有四段不同样变化情况，第一段和第三段的变化趋向同样，只有选项A、C符合要求，从而先除去B、D，在第二段变化中，面积的增加快度明显较慢，表此刻导函数图像中其图像应降落，除去选项C，应选A.方法二：设正五角星的