错位相减法求和练习

错位相减法求和练习通项公式特点：a=等差x等比，比如a=n-2，其中n代表一个等差数列的通项公式（关于n的一次nn函数），2n代表一个等比数列的通项公式（关于n的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方法详解：以a—（2n一】）•2n为例，设其前n项和为Snn列：先将S写成n项和的形式S—1•21+3•22+・・・+（2n—1）・2nn乘q：两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列S—1•21+3•22+•••+（2n—1）・2nn2S=n新等式的每项向后挪了一位。1•22+3-23+・・・+（2n-3）・2n+（2〃-1）・22S=n新等式的每项向后挪了一位。③差：然后两式相减：—S—1•21+2（22+23++2n）—（2n—1）・2n+1除了首项与末项，中间部分呈n等比数列求和特点，代入公式求和，再解出S即可n—S—1•21+2（22+23+•••+2n）—（2n—1）・2n+1n4(2n—1—1)(\=2+2—(2n—)2n+1=(3—2n)・2n+i—6所以S—（2n—3）•2n+1+6n通过“列，乘，差”三步解决错位相减类问题。求出的结果检验匚与©是否相等来检查是否算错对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和1.［一般］(2020•安徽模拟)已知数列｛an｝是递增的等比数列，Sn是其前n项和，a2=9,S3=39.求数列｛an｝的通项公式；记b=匪1，求数列｛b｝的前n项和T.7TI-7T7T2.［困难］(2020•深圳模拟)已知数列｛an｝的首项引今，an+1an+an+1=2an(an^0J庶2)•证明：数列是等比数列；数列的前n项和S.n3.［—般］(2020•衡阳二模)已知Sn为数列｛an｝的前n项和，且n+2,屮*,(a1-2)n依次成等比数列.求数列｛an｝的通项公式；自11、若匕口二〒"，求数列｛bn｝的前n项和T”.4.［一般］(2020•滨州二模)已知｛an｝为等差数列，a3+a6=25,a8=23，｛b｝为等比数列，且a1=2b1，bjb5=a11-求｛an｝,｛bn｝的通项公式；记c=a・b，求数列｛c｝的前n项和T.nnnn1y，__:i-5.［—般］(2020・全国II卷模拟)已知数列｛a｝的前n项和为S,a〔=1，0°=石、-2a+1CnEN且12厶an+ln三2).证明：为等差数列：an311求数列的前n项和T.6.［一般］(2020・重庆模拟)已知公比大于1的等比数列｛an｝的前n项和为S“，a1=2，且a6，S4，-a2成等差数列.求a；n设匕“丄旦，求数列｛b｝的前n项和T.11Q""n7.［较易］(2020•咸阳一模)已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn=2a-2n-1,(n@+)•求证：数列｛an+2｝是等比数列；求数列｛n・(a”+2)｝的前n项和.8.［一般］(2020•西安一模)已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为S,若a1=1,S“=a,求数列｛an｝的通项公式.若b“=nan+1，求数列｛b”｝的前n项和S”.(n+1)b=n9.［一般］(2020・淮南一模)已知等差数列｛log3an｝的首项为1,公差为1,等差数列｛b”｝满足n2+2(n+1)b=n求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式；若cn=亠，求数列｛cn｝的前n项和S.nnn10.［一般］(2020•资阳模拟)已知等差数列｛an｝的前n项和为S“，a1=1,且S4=a4+a5.求a；n求数列的前n项和T.■nn_n错位相减法求和练习参考答案一、解答题（共10小题）1.【解答】解:（1）数列｛an｝是递增的等比数列，设公比为q,由题意可得q>1,q1由a2=9,S3=39，可得^+9+9q=39，解得q=3或肓（舍去）’23qd则数列｛an｝的通项公式为a“=a2qn-2=9・3n-2=3n；（2）b=^^=（2n-1）・（£）n,n,T=1・一+3・(—)2+5(—)3+・・・+(2n-1)・(—)T=1・(2)2+3・(2)3+5・(2)4+・・・+(2n-1)・(2)n+1,两式相减可得号药扣诘）2+（寺）3+...+•和一（2n-D•寺n+1冷+2・丄d

gJ沖1—3⑵"訂1'化简可得T_=1-(n+1)•(=)n.2.【解答】，/an+1a2.【解答】，/an+1an+an+1=2an，

，・=—.32・•・数列｛丄-1｝为等比数列;%(1)证明:・•・-anan+l又2,「1),11（2）解：由（1）可得:巴化吃=1十II,ii口—=n4^TIl£n+...+,2nn~ln+•••++2n2n+L•1丁1丄注•1丁1丄注1n‘+…+戶-itl7xTT-n__2+n口1计1gil^l22+n（2）由（1）知，5■口2口+1••几“十“十…十"322+n（2）由（1）知，5■口2口+1••几“十“十…十"357如-1如+12^7^'号十十*十’加一1加H211-12n2324可得两式相减，严十12n+L・•・数列｛—｝的前n项和Sn=T”i口=9x-,Z.3.【解答】解：（1）依题意，由n+2,.瓦，（a「2）n依次成等比数列，可得S=(a._2)n(n+2),n1则当n=1时，a]=S]=3(a.-2),解得a.=3,S=n(n+2).n当n22时，a=S-S.=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1・nnn一1T当n=1时，a,=3也满足a=2n+1，1n•a=2n+1，nCN*・n51知+12211-1237+15知+5•T•T=5-n如+52n4.【解答】解：（1）设等差数列｛an｝的公差为d，由题意可得*

2a1+7d=25aI+7d=23

解得T，d=3则a=2+3(n-l)=3n-1,nGN*；n设等比数列｛bn｝的公比为q,由a1=2b1，b2b5=a11.可得b1=1,方円5=32,解得q=2,则b=2n-i,nGN*；n(2)由(1)可得c=ab=(3n-1)・2n-1,nn则T=2・2o+5・21+8・22+・—+(3n-1)・2n-1,n2T=2・2+5・22+8・23+・—+(3n-1)・2n,n两式相减可得-T=2+3两式相减可得-T=2+3(21+22+・・・+2n-1)-n(3n-1)・2n=2+3・2(1-严)P2(3n-1)・2n,化简可得T=4+(3n-4)・2n.n5.【解答】(I)证明：依题意，由=2a+1,可得a=2aa,+arjnnnn+1n+1an+l即an-an+1=2anan+「两边同时除以aa［，可得■丄=2(n±2).anHan•・•丄-丄=3-1=2，也满足上式.a2al•°・数列是以1为首项，2为公差的等差数列.an(II)解：由(I)得,—=1+2(n-1)=2n-1,an3n则=(2n-1)・3n.an•T=1X3+3X32+-+(2n-1)・3n,n3T=1X32+3X33+-+(2n-3)・3n+(2n-1)・3n+1,n两式相减，可得-2T=3+2X32+2X33+…+2・3n-(2n-1)・3n+1,n=3+18X(1+3+32+—+3n-2)-(2n-1)・3n+1=3+18X-(2n-1)・3n+11-3=2(1-n)・3n+1-6.T=(n-1)・3n+1+3.n6.【解答】解：(1)a1=2,由a6,S4,

-a2成等差数列可得2S4=a6-a2,即2(1-J)1-Q=2Xq5-2Xq^q=2,7.【解答】8.【解答】(2)bn_加+12n，5723十一卜加-1岸口+1nrnlnilnT057，如-1，如+1，n22222n+l巧护十…审审巧厂2n+l厂2n+5一弋市解：(I)证明：令n=l,则a]=3.VS=2a-2n-1,(nGN)①nn/.Si=2ai-2(n-1)-1,(n22,nGN)②①-②得：a=2a-2a.-2,a=2a.+2,nnn-1nn-1•石••・｛an+2｝是等比数列.（II）由（I）知：数列｛an+2｝是首项为：a1+2=5,公比为2的等比数列.・•・％+<二5X,•••"（务+力二即口时,设数列｛n・（a+2）｝的前n项和为T,则=7T（1<+2-22+3<•••24寺（1・护心2乜・泸+・・・+n■严1）④③-④得：弋寺伐巴5彳+…甘-川円）=f已毛P•••丁门二5（门・1）2n+5-'nnH-111-2"'n2]'解：(1)由题意，由S=a+1,可得+1当n±2时，S1=a,-1-匚IrH~]两式相减,得a=S-S1=a1-a,即=2,-1n+1•a】=1,a2=S]=l,•:当n三2时,a=2n-1,n验证n=1时不成立，・•・数列｛an｝的通项公式为(2)由(1)知，b=n・2n,nCN*.n.°.S=1・2+2・22+3・23+・—+(n-1)・2n-i+n・2n,n2S=1・22+2・23+・・・+(n-1)・2n+n・2n+i,n两式相减，可得2-旷"1"】-S=2+22+23+・・・+2n-n・2n+1=・一n・2n+1=(1-n)・2n+1-2,n.°.S=(n-1)・2n+1+2.n9.【解答】解：（I）由条件可知，log3a”=9.【解答】解：（I）由条件可知，log3a”=1+n-1=n,・•・务二护._口+片T(口+1〕b□二n，十2n+k，•b]=■由题意｛bn｝为等差数列,.b=2+（n-1）n•»2b^=b1+b3,=n+1；8+k解得k=1,15+k（II）由（I）知,_b