微积分-p二、几个初等函数麦克劳林公式

特点:x的一次多项式

f

(x0

)0

f

(x

)一、泰勒公式的建立f

(

x)xyy

f

(x)o

()(0

)(

0p1(x)x0

x以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?问题：设f

(x)在含x0的开区间试找出一个关于(0p

(x)

a

a

(x

x

)

a

(x

x

)2

a

(x

x

)nn

0

1

0

2

0

n

0用它来近似表达

xf)，(

要求它与

)(n的高阶无穷小，并且给出误差f x

pn

x)(1.

求n

次近似多项式要求:!22

1n

0故)(

0(pn

(x)

f

(x0

)

2

!n

x0p)a

1

f

(x

),

,

an

1

p(n)

(x

)

1

f

(n)

(x

)n!

n

!0

)n

1

f

(n)

(n

!00

)2

f

(2

!

1令则

pn

(x)

pn

(x)

a1

2a2

(x

x0

)

nan

(x

x0

)n12

!a2

n(n

1)an

(x

x0

)n2n!anpn

(x)

a0

a1(x

x0

)

a2

(x

x0

)2

an

(x

x0

)np(n)

(x)

na0

pn

(x0

)

f

(x0

)

,

a1

pn

(x0

)

f

(x0

),之间)(

在x0与

Rn

(x)

Rn

(x0

)

0n

n2.

余项估计令

Rn

(x)

f

(x)

pn

(x)

(称为余项)

,

则有Rn

(x0

)

Rn

(x0

)

R(n)

(x

)

0n

0Rn

(x)(x

x0

)n1Rn

(1)1

0(n

1)(

x

)n(x

x

)n1

0Rn

(1

)

Rn

(x0

)(n

1)(1

x0

)n

0(n

1)n(2

x0

)n1Rn

(2

)(n

1)

!

n

R(n1)

(

)n

0R(n)

(

)

R(n)

(x

)(n

1)2(n

x0

)

0x(1在x0

与x

之间)(2

在x0

与1

之间)Rn

(x)

f

(x)

pn

(x)(

在x0

与x

之间)

p(n1)

(x)

0,

R(n1)

(x)

f

(n1)

(x)n

nn

1!)(fRn

(x)

x

x0

)(n1n1)((

))(

Mx时f当在x0

的某邻域内n1)(与x

之间)0(

在xn10Rn

()x

x

xn

1)(!M

x0

)

Rn

(x)

o((泰勒定理:阶的导数,则当时,有

Rn

(x)①(x

x0

)n1f

(n1)

(

)(n

1)

!②其中Rn

(x)或

o[(x

x0

)n

]④Rn

(x)

o[(x

x0

)n

]注意到③公式

①

，④

称为 的

n阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项.公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)

余项.*

可以证明:④式成立式特例:(1)

当n=0

时,泰勒公

f

(

)(x

x0

)(2)

当n

=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理(x

x0

)22

!f

(

)可见误差d

f在泰勒公式中若取

x0

0

,

x

(0

1)

,则有2

!nxn

!f

(0)

f

(0)x

f

(0)

x2

f

(n)

(0)nx

n1M(n

1)

!R

(x)

2

!f

(0)f

(x)

f

(0)

f

(0)x

xnn

!f

(n)

(0)x2

若在公式成立的区间上

f

(n1)

(x)

M

,

则有误差估计式由此得近似公式或

f

(x)

f

(0)

f

'(0)x

1

f

''(0)x2

1

f

(n)

(0)xn

o(xn

)2!

n!称为麦克劳林（

Maclaurin

）公式.二、几个初等函数的麦克劳林公式

f

(k

)

(x)

ex

,(k

1,

2,)f

(k

)

(0)

13!

x3n

!n

xn

R

(x)2

!2ex

1

x

x其中 sin

x

x

x3

x53! 5

!(2m

1)

!

R2m

(x)x2m1其中R2m

(x)

2f

(k

)

(x)

sin(x

k

)2f

(k

)

(0)

sin

k

0,

(1)k

2mk

2m

1,m1(m

1,

2,)1)(m12m1x(2m

1)

!(1)m

cos(

x)(2m)!x2m

(1)m类似可得2

!cos

x

1

x24

!

x42m1

R

(x)其中R2m1(x)

(2m

2)

!(1)m1

cos(

x)x2m2

f

(k

)

(x)

(

1)(

k

1)(1

x)

knnx

R

(x)其中R

(x)

n1

n1(n

1)

!x

n(1

x)f

(k

)

(0)

(

1)(

k

1)(k

1,

2,)2

! (1

x)

1

x

(

1)

x2

n

!

(

1)(

n)

n

1)(

1)(取

1,且以-x代替x,则有x)

1

x

x2

1

x111

x12

n

xon2

32

3ln(1

x)

x

x

xnxn

(1)

Rn

(x)其中Rn

(x)

n

1

(1

x)n1xn1(1)n类似可得(1

x)k已知

f

(k

)

(x)

(1)k

1

(k

1)!(k

1,

2,)三、一般函数的泰勒展开式或麦克劳林展开式1、根据公式直接方法展开2、根据已有的展开式，间接展开3、采用换元法，然后利用已知公式例：求下列函数在x=0处的带peano余项的n阶泰勒展开式41

x2)

f

(x)

ln

1

x3)

f

(x)

sin

2

x,

n

4求

)(

ln

在

f2处的带peano余项的

阶taylor公n

式方法一2f

(x)

ln

x

ln(t

2)

ln

2

ln(1

t

)令t=x-2,则nkxk

o(xn

)k

1(1)k

1

ln(1

x)

)knk

2(

o(tn

)ln

x

ln

2

k

1(1)k

1

t

o

t

n

)k

2kn

ln2

k

11)k(1t

kx

2)(k

o((x

2))nk

2k1)k(1nk

1因而ln

x

ln

2

方法二直接求f

()k

(2),

k

1,2,,

再代入展开式公式1.

利用泰勒公式求极限例1.

求用洛必塔法则不方便!4

3xx2x0

1

9

x2

o(x2

)32

原式

lim

2

16

9

2

3

x

1

9

x2

o(x2

)4

4

16解:用泰勒公式将分子展到x2

项,由于3x

4

2

1

1

(3

x)

1

1

(1

1)

(3

x)2

o(x2

)2

4

2!

2

2

4

2

3

x

1

9

x2

o(x2

)4

4

16四、泰勒公式的应用2.

利用泰勒公式证明不等式例2.

证明1证:

1

x

(1

x)222

!

2

2

1

x

1

1

(1

1)x232

x5

1

1

(1

1)(1

2)(1

x)3

!

2

2

2(0

1)10)1

x

1

3、求函数的高阶导数在某点的值例x3x0设f

(x)在原点的邻域内二次可导，且lim

sin

3x

xf

(x)

0,x0求f

(0),f

'(0),f

''(0)及lim

3

f

(x)x3x0lim

sin

3x

xf

(x)

0x2sin

3x

xf

(x)

o(x3

),(x

0)63x

1

(3x)3

o(x3

)又sin

33x

1

(3x)3

o(x3

)3

fx2

o(x2

)92

3

f

(x)=2f

(x)在原点的邻域内二次可导f

(0)

f

'(0)x

1

f

''(0)x2

o(x2

)与上式对照得f

(0)

3,

f

'(0)

0,

f

''(0)

9x2

o(x2

)22x0923

3

3

f

(x)92limx0

limxx4、求无穷小量的主部例0时确定无穷小量f

x)的(

主部设f x

ex

x

x(1sinx)(当解：由泰勒公式得ex

1

x

1

1

x3

o(x3

)eo(x3

)2!

3!

[1

x

1

sin

x

1

x3

o(x3

)3!

1

x3

o(x3

))

x(1

x)3!2!

113!x3x3

o(x3

)1

3!故f

(x)的主部为3!x3误差x

n1M(n

1)

!nR

(x)

M为

f

(n1)

(x)

在包含

0,

x

的某区间上的上界.需解问题的类型:已知x

和误差限,要求确定项数n

;已知项数n

和x

,计算近似值并估计误差;已知项数n

和误差限,确定公式中x

的适用范围.5.在近似计算中的应用f

(x)

f

(0)

f

(0)x

f

(n)

(0)

f

(0)

x22

!nxn

!例.计算无理数e

的近似值,使误差不超过令x

=1,得(0

1)(0

1)n

! (n

1)

!

11

1

1

2

!由于

0

e

e

3,

欲使nR

(1)

(n

1)

!3

106由计算可知当

n

=9

时上式成立,

因此e

11

1

1

2.7182812

! 9

!n

!e

2

!

3!x2

x3

xn1

x

解:

已知 的麦克劳林公式为ex

说明:注意舍入误差对计算结果的影响.若每项四舍五入到小数点后6

位,则各项舍入误差之和不超过7

0.5106

,总误差为7

0.5106

106

5106这时得到的近似值不能保证误差不超过106.因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.2

! 9

!本例

e

11

1

1例.

用近似公式

计算cos

x

的近似值,使其精确到0.005,试确定x

的适用范围.解:近似公式的误差24x

4令解得

0.005243x

4x

0.588即当

x

时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.内容小结1.泰勒公式其中余项Rn

(x)

o((x0n

x

)

)当x0

0

时为麦克劳林公式.

Rn

(x)0n1(x

x

)f

(n1)

(

)(n

1)

!2.

常用函数的麦克劳林公式ex

,

ln(1

x),

sin

x

,

cos

x,3.泰勒公式的应用(1)

近似计算(1

x)(3)

其他应用 求极限

,

证明不等式等.(2)

利用多项式 近函数,例如sin

x24246420246sin

x

x

1

x3

1

x5

1

x7

13!

5!

7!

9!

o(x2n

)x3y

x

3!3!xy

y

x泰勒多项式近

sin

xsin

x

x

1

x3

1

x5

1

x7

13!

5!

7!

9!

o(x2n

)24464202463!9

11!2!9

x1x1xy

泰勒多项式近sin

x思考与练习计算2!

1

x2

1

x4

o(x4

)2ex解:

2xo5

)

2cos

x

3

(

1

2

1

x4

o

x4

)2!

4!2ex1274x7

x4

o(x4

)原式

lim

12

x0备用题1.设函数f

(x)在[0,1]上具有三阶连续导数,2一点

,使f

'(

)

24.且

f

(0)

1

,

f

(1)

2

,

f

(