弹性力学与有限元完整版（PPT162）

有限元元法及及其应应用第一篇篇弹性力力学第一章章弹弹性力力学基基本方方程1.1绪论1.2弹性力力学的的基本本假定定1.3几个基基本概概念1.4弹性力力学基基本方方程第二章章弹弹性性力学学平面面问题题2.1平面应应力问问题2.2平面应应变问问题2.3平面问问题的的基本本方程程第三章章弹弹性力力学问问题求求解方方法简简述第一章章弹弹性力力学基基本方方程1.1绪论1.2弹性力力学的的基本本假定定1.3几个基基本概概念1.4弹性力力学基基本方方程应力应应变变位位移移弹性体体外界作作用弹性力力学基基本内内容外力温度变变化弹性力力学，又称弹弹性理理论。。是研究究弹性性体由由于外外力载载荷或或者温温度改改变，，物体体内部部所产产生的的位移移、变变形和和应力力分布布等。。为解决决工程程结构构的强强度，，刚度度和稳稳定性性问题题作准准备。弹性力力学的的研究究对象象：是完全全弹性性体，，包括括构件件、板板和三三维弹弹性体体，比比材料料力学学和结结构力力学的的研究究范围围更为为广泛泛。。研究的的内容容：外力作作用下下应应力力、应应变、、位移移1.1弹性力力学绪绪论物体变变形——弹性变变形、、塑性性变形形弹性变变形：：当外力力撤去去以后后恢复复到原原始状状态，，没有有变形形残留留，材材料的的应力力和应应变之之间具具有一一一对对应的的关系系。与与时间间无关关，也也与变变形历历史无无关。塑性变变形：：当外力力撤去去以后后尚残残留部部分变变形量量，不不能恢恢复到到原始始状态态，——即存在在永久久变形形。应应力和和应变变之间间的关关系不不再一一一对对应，，与时时间、、与加加载历历程有有关。弹性：：假定““完全全弹性性”关关系，，是抽抽象出出来的的理想想模型型。完全弹弹性是是指在在一定定温度度条件件下，，材料料的应应力和和应变变之间间具有有一一一对应应的关关系。。应力—应变关关系称称为本构关关系。。材料模模型包包括：：线性弹弹性体体非线性性弹性性体1.2弹性力力学的的基本本假定定连续性性假设设根据这这一假假设，，物体体的所所有物物理量量，例例如位位移、、应变变和应应力等等均成成为物物体所所占空空间的的连续续函数数。均匀性性假设设假设弹弹性物物体是是由同同一类类型的的均匀匀材料料组成成的，，物体体各个个部分分的物物理性性质都都是相相同的的，不不随坐坐标位位置的的变化化而改改变。。在处处理问问题时时，可可以取取出物物体的的任意意一个个小部部分讨讨论。。。3.各向同同性假假设假定物物体在在各个个不同同的方方向上上具有有相同同的物物理性性质，，物体体的弹弹性常常数不不随坐坐标方方向变变化。。像木材材、竹竹子以以及纤纤维增增强材材料等等，属属于各各向异异性材材料，，它们们是复复合材材料力力学研研究的的对象象。4.完全弹弹性假假设应力和和应变变之间间存在在一一一对应应关系系，与与时间间及变变形历历史无无关。。满足足胡克克定理理。5.小变形形假设设在弹性性体的的平衡衡等问问题讨讨论时时，不不考虑虑因变变形所所引起起的几几何尺尺寸变变化，，使用用物体体变形形前的的几何何尺寸寸来替替代变变形后后的尺尺寸。。采用用这一一假设设，在在基本本方程程中，，略去去位移移、应应变和和应力力分量量的高高阶小小量，，使基基本方方程成成为线线性的的偏微微分方方程组组。1.3几个基基本概概念外力一点的的应力力状态态一点的的形变变位移分分量作用于于物体体的外外力可可以分分为3种类型型：体力、、面力力、集集中力力。体力——就是分分布在在物体体整个个体积积内部部各个个质点点上的的力，，又称称为质质量力力。例例如物物体的的重力力，惯惯性力力，电电磁力力等等等。面力——是分布布在物物体表表面上上的力力，例例如风风力，，静水水压力力，物物体之之间的的接触触力等等。集中力力——作用物物体一一点上上的力力。（（在弹弹性力力学中中一般般不用用，而而在有有限元元中经经常出出现））1外力①体力物体任任意一一点P所受体体力的的大小小和方方向，，在P点区域域取一一微小小体积积元素素△V，设设△V的体力力合力力为△F，则△V的平均均体力力为当△V趋近于于0，则为P点的体体力体力是是矢量量：一般般情况况下，，物体体每个个点体体力的的大小小和方方向不不同。。体力分分量：：将体力力沿三三个坐坐标轴轴xyz分解，，用X、Y、Z表示，，称为为体力力分量量。符号规规定：与坐坐标轴轴方向向一致致为正正，反反之为为负。。应该注注意的的是：：在弹弹性力力学中中，体体力是是指单单位体体积的的力。。体力的的因次次：[力]/[长度]^3表示：：F={XYZ}②面力与体力力相似似，在在物体体表面面上任任意一一点P所受面面力的的大小小和方方向，，在P点区域域取微微小面面积元元素△△S，当△S趋近于于0，则为为P点的面面力面力分分量符号规规定：：与坐坐标轴轴方向向一致致为正正，反反之为为负。面力的的因次次：[力]/[长度]^2③集中力力体力与与面力力都是是分布布力，，集中中力则则只是是作用用在一一个点点上，，作用用区域域△V或△S很小，，但数数值很很大，，这种种形式式的力力可以以认为为是集集中力力。集中力力分量量：集集中力力直接接将其其沿三三个坐坐标轴轴分解解，用用X0、Y0、Z0表示，，即集集中力力力分分量。。符号规规定：与坐坐标轴轴方向向一致致为正正，反反之为为负。。体力的的因次次：[力]2一点的的应力力状态态①应力表表示方方法材料力力学中中接触触过斜斜截面面上的的应力力，斜斜截面面上应应力可可以分分成正正应力力、剪剪应力力；复杂物物体任任意截截面上上的应应力可可分为为1个与平平面垂垂直的的正应应力、、2个平面面内剪剪应力力。X面Y面Z面正应力力分量量3个：剪应力力分量量6个：正面负负面X面Y面Z面②应力符符号意意义剪应力力：正应力力：由由法法线方方向确确定作用面面作用方方向符号规规定：正面上上与坐坐标轴轴正向向一致致，为为正；；负面上上与坐坐标轴轴负向向一致致，为为正。。③剪应力力互等等定理理剪应力力不再再区分分哪个个是作作用面面或作作用方方向。。应力分分量：：相等3一点应应变分分量①微分单单元体体的变变形：：微分单单元体体棱边边的伸伸长和和缩短短；正应变变棱边之之间夹夹角的的变化化；剪应变变正应变变分量量3个：剪应变变分量量3个：②应变的的定义义（自学学）设平行行六面面体单单元，，3个轴棱棱边：：变形前前为MA，MB，MC；变形后后变为为M'A'，M'B'，M'C'。③正应变变（小变变形））（自学学）符号规规定：正应变变以伸伸长为为正。。④剪应变变（自学学）符号规规定：正应变变以伸伸长为为正；；剪应应变以以角度度变小小为正正。4位移分分量位移：：由于载载荷作作用或或者温温度变变化等等外界界因素素等影影响，，物体体内各各点在在空间间的位位置将将发生生变化化，位位置移移动即即产生生位移移。位移——刚体位位移、变形刚体位位移——物体内内部各各个点点仍然然保持持初始始状态态的相相对位位置不不变，，由于于物体体整体体在空空间做做刚体体运动动引起起的位位置改改变。。变形——物体整整体位位置不不变，，弹性性体在在外力力作用用下发发生形形状的的变化化，而而改变变了物物体内内部各各个点点的相相对位位置，，引起起位移移。后者与与弹性性体的的应力力有着着直接接的关关系——弹性力力学研研究的的主要要变形形，通通常叫叫位移移。u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）根据连连续性性假设设，弹性体体在变变形前前和变变形后后仍保保持为为连续续体。。弹性体体中某某点在在变形形过程程中由由M（x，y，z）移动动至M’(x’，y’，z’)，这一一过程程也是是连续续的，，为x、y、z的单值值连续续函数数形变和和位移移之间间的关关系：：位移确确定→→形变完完全确确定：：从物理理概念念看，，各点点的位位置确确定，，则微微分线线段上上的形形变确确定。。从数学学推导导看，，位移移函数数确定定，则则其导导数（（形变变）确确定。。形变确确定，，位移移不完完全确确定：从物理理概念念看，，ε、γ确定，，物体体还可可作刚刚体位位移。。从数学学推导导看，，ε、γ确定，，求位位移是是积分分运算算，出出现待待定函函数。。应力应应变变位位移弹性力力学各各个量量之间间的关关系平衡方程程物理方程程几何方程程外力弹性力学学分析过过程中：：通过静力平衡衡、几何何变形和和本构关关系建立起外力、、应力、、应变、、位移之之间相互互关联。再必须根根据已知物理理量，（一般般外力、、结构几几何形状状和约束束条件等等），推导和确确定基本本未知量量（应力、、应变、、位移。。1.4弹性力学学基本方方程平衡方程程（应力力——外力之间间的关系系）2.物理方程程（应变变——应力之间间的关系系）3.几何方程程（柯西方方程））（应变——位移之间间的关系系）4、变形协协调方程程5、边界条条件如果物体体表面的的面力已已知，则则称为应力边界界条件：：第一类边边界条件件如果物体体表面的的位移已已知，则则称为位移边界界条件：：第二类边边界条件件混合边界界条件=第一类+第二类5、边界条条件应力边界界条件：：位移边界界条件：：外法线的的方向余余弦方程数量量：平衡方程程——3个物理方程程——6个几何方程程——6个合计15未知量：：应力分量量——6个应变分量量——6个位移分量量——3个u、v、w合计15空间问题题第二章弹弹性性力学平平面问题题2.1平面应力力问题2.2平面应变变问题2.3平面问题题的基本本方程2.1平面应力力问题1、平面应应力问题题的概念念平面应力力问题讨讨论的弹弹性体为为薄板。。薄壁厚厚度远小小于结构构另外两两个方向向的尺度度。薄板板的中面面为平面面，其所所受外力力，包括括体力均均平行于于中面O-xy面内，并并沿厚度度方向z不变。而而且薄板板的两个个表面不不受外力力作用。。平面应力力问题①几何特征征薄壁厚度度为h远小于结结构另外外两个方方向的尺尺寸等厚度中心层平平直②受力特征征外力平行行于中心心层外力沿厚厚度不变变化根据薄板板的表面面面力边边界条件件，即表表面不受受外力作作用，则则由于板很很薄，外外力沿厚厚度均匀匀分布，，因此应应力分量量也沿厚厚度均匀匀分布，，应力分分量不随随z改变。2、平面面应力问问题的应应力应力分量量应变分量量3、平面应应力问题题应力、、应变1平面应变变问题的的概念弹性体是是具有很很长的纵纵向轴的的柱形物物体，横横截面大大小和形形状沿轴轴线长度度不变；；作用外外力与纵纵向轴垂垂直，并并且沿长长度不变变；柱体体的两端端受固定定约束。。可以认为为柱体是是无限长长的。如如果从中中任取一一个横截截面，则则柱形物物体的形形状和所所受载荷荷将对此此横截面面是对称称的。因因此物体体变形时时，横截截面上的的各点只只能在其其自身平平面内移移动。2.2平面应变变问题几何特征征一个尺寸寸远大于于结构另另外两个个方向的的尺寸中心轴平平直沿中心轴轴截面不不变化受力特征征外力垂直直于中心心轴外力沿中中心轴长长度方向向不变化化平面应变变问题2、平面应应变问题题的位移移沿纵向轴轴的位移移恒等于于零；由于无限限长，所所以任一一个横截截面都是是一样的的，与z轴无关。。只要是x、y坐标函数数应力分量量应变分量量3、平面应应变问题题的应力力、应变变2.3平面问题题的基本本方程平衡方程程（应力力——外力之间间的关系系）2.几何方程程（应变变——位移之间间的关系系）3.物理方程程（应变变——应力之间间的关系系）平面应力力与平面面应变问问题的：：平衡方程程、几何何方程相相同。但物理方方程不同同。从空间问问题推得得。①平面应力力的物理理关系①平面应力力的物理理关系②平面应变变的物理理关系②平面应变变的物理理关系平面应变问题平面应力问题z向应力分量sz=n(sx+

sy)sz＝0z向位移分量w＝0w≠0正应变分量二者主要要不同在在于z向应变，，位移和和正应力力的计算算公式③两种平面面问题的的区别④两种平面面问题的的内在关关系平面应力力平面应变变平面应力力平面应变变平面应变变平面应力力④两种平面面问题的的内在关关系平面应力力平面应变变平面应力力平面应变变4变形协调调方程平面应力力平面应变变由6个简化为为1个调和方程程方程数量量：平衡方程程——2个物理方程程——3个几何方程程——3个合计8未知量：：应力分量量——3个应变分量量——3个位移分量量——2个u、v合计8平面问题题第三章弹性力学学问题求求解方法法简述应力应应变位位移弹性力学学各个量量之间的的关系平衡方程程物理方程程几何方程程外力3.1概述根据几何何方程和和本构方方程可见见：位移、应应力和应应变分量量之间不不是相互互独立的的。假如已知知位移分分量，通过几几何方程程可以得得到应变变分量，，然后通通过物理理方程可可以得到到应力分分量。如果已知知应力分分量，通过物物理方程程得到应应变分量量，再由由几何方方程的积积分求出出位移分分量，不不过这时时的应变变分量必必须满足足一组补补充方程程，即变变形协调调方程。。应力应应变位位移①位移解法法：若以位移移函数作作为基本本未知量量求解，，根据物物理方程程和几何何方程，，应力分分量及平平衡方程程均由位位移分量量表达；；②应力解法法：若以应力力函数作作为基本本未知量量，称为为应力解解法，对对于应力力解法，，应力分分量必须须满足平平衡微分分方程和和变形协协调方程程；③混合解法法

：若以位移移分量和和应力分分量作为为基本未未知量，，通过物物理方程程中消去去应变分分量，表表述基本本方程，，称为混混合解法法。基本方程程的求解解方法弹性力学学是对整整个研究究对象建建立平衡衡方程、、几何方方程、物物理方程程，再根根据外力力作用下下求整体体的应力力、应变变、位移移。解答的途途径有两两大类：：精确解（（解析解解、理论论解法））逆法、半半逆法、、复变函函数法、、级数法、、特殊殊函数法法等2.近似解法法（数值值解法））1位移解法法当位移分量量作为基本本未知函函数求解解时，变变形协调调方程是是自然满满足的。。根据物物理方程程和几何何方程，，可以得得到：以位移表表示的平平衡微分分方程，，称为拉梅（Laméé）方程。。拉普拉斯斯运算符符号，3.2解析解法2应力法主要介绍应力函数法法，称为艾里（（Airy）应力函数数。设设应力表示的的变形协调调方程双调和方程程应力函数（1）．一次次多项式一次多项式式应力函数数对应无应应力的应力力状态。这个结论说说明在应力力函数中增增加或减少少一个x，y的线性函数数，将不影影响应力分分量的值。。（2)．二次多多项式如仅a，b，c≠0，分别表示示单向拉伸伸或者纯剪剪切应力状状态。(3)．三次多多项式如果仅考虑虑d不为零的情情况，即a=b=c=0，其对应于于矩形梁的的纯弯曲应应力状态。。解析解的难难点：弹性力学研研究对象是是弹性体，，形体复杂杂，是偏微分方程程的边值问问题。在数学上上求解困难难重重，除除了少数特特殊边界问问题，一般般弹性体问问题很难得得到解答。。要得到解析析解：1、简化形体体，譬如材料力力学的研究究对象是杆杆件，常微分方程程，可以求解；；平面问题题，忽略次次要因素，，简化应力力状态。2、简化边界界约束条件件，放松某某些限制等等。结果：寻求求解偏微分方程程在特定条件件下的数学学解法，而而造成所得得到的结果果并非实际际问题的真真实状态。。结果误差差很大，甚甚至是错误误的结论。。近似解法（（数值解法法）差分法加权余量法法变分法有限元法（（FEM）边界元法（（BEM）3.3数值解法有限元法与与边界元法法的比较离散化，FEM在区域上，，BEM在边界上；；维数，BEM降维，3D2D；2D1D；通用性，FEM格式统一，，BEM特定问题；；对使用者数数学要求，，FEM低，BEM高；目前应用状状况，FEM一统天下。。1有限元基本本思想2离散化（建建立计算模模型）3位移插值函函数4单元分析5等效结点载载荷6整体分析7有限元方程程求解方法法8应力结果9举例第二篇有限元法基基础应力应应变位位移弹性力学各各个量之间间的关系平衡方程物理方程几何方程外力§1有限元基本本思想应力应应变位位移平衡方程放弃物理方程几何方程外力有限元的基基本思路能量原理只要位移场场确定，就就可得到应应变、应力力。有限元的基基本思想：：在弹性体内内选取足够多、有限个点，假定这些些点的位移移已知，再再用这些假假定的位移移量描述其其它位置点点的位移，，就得到了了用特定点点位移表示示的弹性体体的位移场场。这些选定的的有代表性性的点——结点，（node）结点：代表性——尖点、拐角角、截面改改变处等集中载荷作作用、位移移约束位置置等。位移场：某某个点（非非结点）位位移不是由由所有结点点位移来表表述的，而而是划分成成小区域/小块上的结结点来表示示的，这些些小区域/小块——单元。有限元处理理问题的方方法——连续体剖分分小块（单单元），即即离散体。。有限元法特特点：概念浅显，，容易掌握握，可以在不同同程度上理理解与应用用通用性强，，应用广泛泛，几乎所有领领域；计算格式统统一，便于于编程计算算；大型通用程程序成熟商商业化，无需专门知知识编程先进的前处处理，网格自动划划分，完善的后处处理，可视或动态态显示，直直观形象。误差难估计计§2离散化（计计算模型））单元的形式式是多样的的实体单元模型单元类型维数

主要应用杆单元2-D承受轴向力作用，平面桁架结构3-D空间桁架、网架等梁单元2-D主要承受横向载荷作用，即承受弯矩；也可横向+轴向3-D固体2-D平面应力、平面应变问题：三角形、四边形3-D一般三维（空间）问题：四面体、八面体板壳2-D主要承受横向载荷作用三角形、四边形3-D2.1单元类型与与作用杆单元梁单元二维单元线性单元二次单元三维单元线性单元二次单元板壳单元2.2离散化应注注意的问题题：首要的问题题是根据结结构的几何何特点、受受力特征选选择合理的单单元形式。对称性的利利用，在划分单单元之前，，有必要先先研究一下下计算对象象的对称或或反对称的的情况，以以便确定是是取整个物物体，还是是部分物体体作为计算算模型。取四分之一一作为计算算模型（以平面三三角形单元元为例）共边：覆盖求解区区域，单元元间既不允允许相互重重叠，也不不允许相互互脱开；共点：任意三角形形的顶点必必须是相邻邻单元的顶顶点，不能能为相邻单单元的内点点。边长接近：：单元的边长长尽可能接接近，采用用锐角三角角形数目与精度度兼顾：单元划分细细，计算精精度越高，，但结点数数增加，计计算时间加加长。单元元大小过渡渡，应力梯梯度大的区区域单元尺尺寸小，应应力变化小小的区域，，单元可以以划分大些些。或在初初步计算的的基础上对对于高应力力区，在进进一步细化化网格，进进行二次分分析。适当简化。。不可以可以较差较好节点编号顺顺序在进行节点点编号时，，应该注意意要尽量使使同一单元元的相邻节节点的号码码差尽可能能地小，以以便最大限限度地缩小小刚度矩阵阵的带宽，，节省存储储、提高计计算效率。。平面问题的的半带宽为为B=2(d+1)§3位移模式要求：i、j、m按逆时针排排序单元的结点点位移向量量用来描述单单元内各点点位移变化化规律的函函数，称为为位移模式式三角形单元元的位移模模式假定为为位移模式：：位移模式矩矩阵表达：位移模式通通式——单元内任一点的位移；——单元的结点位移向量；——单元的形函数矩阵。形函数的性性质面积坐标形函数与面面积坐标的的关系三角形的面面积位移模式反映了单元元内任意一一点的位移移与结点位位移之间的的关系。是是有限元计计算精度的的关键。§4单元分析4.1单元上任意意一点的应应变4.2单元上任意意一点的应应力4.3单元的能量量4.4单元刚度矩矩阵的性质质4.1单元上任意意一点的应应变几何方程或写成通式式[B]矩阵叫做单单元几何矩矩阵，反映了单元元内任意一一点的应变变分量与结结点位移之之间的关系系几何矩阵[B]中的每个元元素，均为常数，，它们由结结点坐标确确定。单元元内任意一一点P的应变分量量与坐标（（x，y）无关，说说明单元中中应变是常常量。4.2单元上任意意一点的应应力物理方程[D]——弹性矩阵平面应力问问题平面应变问问题[S]叫做应力矩矩阵4.3单元的能量量1、单元的应应变能一维问题应应变能密度度为平面问题应应变能密度度为称为单元刚刚度矩阵，，简称单刚刚，它反映了单单元应变能能与单元结结点向量之之间的关系系。2、外力势能能(1)、体力势能能(2)、面力势能能(3)、集中力势势能3、单元的总总势能4.4单元刚度矩矩阵的性质质某单元的刚刚度矩阵，，仔细看看看，会发现现该矩阵有有哪些特点点？4.4单元刚度矩矩阵的性质质1、对称性单元刚度矩矩阵是对称称方阵，其其元素都对对称于主对对角线。2、奇异性单元刚度矩矩阵中任意意一行或列列元素之和和为零。其其物理意义义是在没没有给单元元施加任何何约束时，，单元可有有刚体运动动，位移不不能唯一的的确定。3、主对角线线元素恒为为正值主对角线元元素是正值值说明结点点位移方向向与施加结结点荷载的的方向是一一致的。4、单元刚度度矩阵与单单元位置无无关单元刚度矩矩阵与单元元位置无关关，也就是是单元在平平移时，[K]e不变；单元元结点排列列顺序不同同时，[K]e中元素大小小不变，而而排列顺序序相应改变变。§5等效节点载载荷弹性体所受受外力包括括体积力、、表面力、、集中力。。分别作用用在弹性体体内部、物物体表面上上、物体的的一个点上上。载荷列阵{R}，是由弹性体体的全部单单元的等效效节点力集集合而成，，是将全部部载荷转移移到单元的的节点上，，它们的作作用位置发发生了变化化——载荷移置。。它们的作用用效果是等等效的，故故称等效节节点力向量量{R}e。各种载荷分分别移置置到节点上上，再逐点点加以合成成求得单元元的等效结结点载荷。。1、体力等效效结点载荷荷自重情况下下：y0xijmy0xijm2、面力等效结点点载荷6.1结构的结点点位移向量量假设弹性体体被划分为为N个单元和n个节点，整整个弹性体体的节点位位移向量{}2n×1整个弹性体体的载荷列列阵{R}2n×1§6整体分析矢量——有方向性，，外力、应应力，不能能直接相加加标量——没有方向，，只有大小小，可以相相加。弹性体的能能量是标量量，可以直直接相加。。6.2结构的总势势能单刚的扩充充为了实现上上述运算扩展——结构的总刚刚度矩阵——结构总的体体力列阵——结构总的面面力列阵——结构总的集集中力列阵阵结构的总势势能6.3整体刚度矩矩阵形成方方法123421q图5组装总刚[k]的一般规则则：1.当[krs]中r=s时，该点被被哪几个单单元所共有有，则总刚刚子矩阵[krs]就是这几个个单元的刚刚度矩阵子子矩阵[krs]e的相加。2.当[krs]中rs时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩阵[krs]就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵[krs]e的相加。3.当[krs]中r和s不同属于任任何单元时时，则总体体刚度矩阵阵[krs]=[0]。下面，我们们考查一个个组装总刚刚的实例：：1.整体刚度矩矩阵及载荷荷列阵的组组集根据叠加原原理，整体体结构的各各个刚度矩矩阵的元素素显然是由由有关单元元的单元刚刚度矩阵的的元素组集集而成的，，为了便于于理解，现现结合图5说明组集过过程。图中有两种种编码：一一是节点总总码：1、2、3、4；二是节点点局部码，，是每个单单元的三个个节点按逆逆时针方向向的顺序各各自编码为为1，2，3。图中两个单单元的局部部码与总码码的对应关关系为：单元1：1，2，3 1，2，3单元2：1，2，33，4，1或：单元1：1，2，3 1，2，3单元2：1，2，31，3，4单元e的刚度矩阵阵分块形式式为：整体刚度矩矩阵分块形形式为：其中每个子子块是按照照节点总码码排列的。。通常，采用用刚度集成成法或直接接刚度法来来组集整体体结构刚度度矩阵。刚刚度集成法法分两步进进行。第一步，把单元刚度矩阵扩大成单元的贡献矩阵，使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子块填充。第二步，以单元2为例，局部码1，2，3对应于总码3，4，1，按照这个对应关系扩充后，可得出单元2的贡献矩阵。总码1234234312局部码用同样的方法可得单元1的贡献矩阵。第三步，把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加，即可得出整体结构的刚度矩阵，如（42）式。在这里应该指出，整体刚度矩阵中每个子块为阶矩阵，所以若整体结构分为n个节点，则整体刚度矩阵的阶数是。

总码1234

123（42）123局部码

至于整体结构的节点载荷列阵的组集，只需将各单元的等效节点力列阵扩大成2n行的列阵，然后按各单元的节点位移分量的编号，对应相叠加即可6.4整体刚度矩矩阵的性质质⒈刚度矩阵[K]中每一列元元素的物理理意义为：：欲使弹性性体的某一一节点在坐坐标轴方向向发生单位位位移，而而其它节点点都保持为为零的变形形状态，在在各节点上上所需要施施加的节点点力。⒉正定性性，刚度矩矩阵[K]中主对角元元素总是正正的。⒊刚度矩阵[K]是一个对称称矩阵，即即[Krs]=[Ksr]T。⒋刚度矩阵[K]是一个稀疏疏矩阵。如如果遵守一一定的节点点编号规则，，就可使矩矩阵的非零零元素都集集中在主对对角线附近近呈带状状。5.奇异性。刚刚度矩阵[K]是一个奇异异矩阵，在在排除刚体体位移后，，它是正定定阵。半带存储半带宽B=（相邻节点号号的最大差差值D+1）*2§7有限元方程程及求解方方法7.1有限元方程程结构的总势势能最小势能原原理，对于线弹性性体，某一一变形可能位移状态为真实位移状态的必要要和充分条条件是，此此位移状态态的变形体体势能取最最小值。。结构总势能能泛函对结点位移移的变分为0.结构有限元元方程它是一个2n阶的线性代代数方程组组。因为该该方程中[K]是结构的总总刚度矩阵阵，{F}是外荷载列列阵，都通通过计算求求得，因此此可以根据据有限元方方程可以确确定结点位位移。7.2位移移边边界界条条件件的的处处理理由于于总总体体刚刚度度矩矩阵阵是是奇奇异异的的，，物物理理意意义义是是结结构构中中存存在在刚刚体体位位移移，，不不能能直直接接求求解解。。必必须须引引入入限限制制结结构构刚刚体体位位移移的的位位移移边边界界条条件件，，即即位位移移约约束束条条件件，，消消除除总总体体刚刚度度矩矩阵阵的的奇奇异异性性，，才才能能求求解解结结构构有有限限方方程程。。位移移边边界界条条件件是是指指结结构构的的某某些些区区域域位位移移已已知知，，对对于于离离散散体体来来说说，，位位移移约约束束条条件件是是某某些些结结点点的的位位移移分分量量受受到到限限制制，，包包括括位位置置限限制制和和方方向向限限制制两两个个方方面面。。具具体体哪哪些些结结点点受受到到限限制制，，受受限限制制结结点点哪哪个个方方向向位位移移分分量量受受到到限限制制，，要要根根据据结结构构受受力力后后变变形形特特征征来来确确定定。。处理理的的方方法法，，主主要要有有三三种种：：降阶阶法法（（紧紧缩缩法法））置大大数数法法改1法1.降阶阶法法降阶阶法法也也称称紧紧缩缩法法或或直直接接代代入入法法，，该法法是是将将结结构构有有限限元元方方程程中中已已知知结结点点位位移移的的自自由由度度全全部部消消去去，，得得到到一一组组降降阶阶的的修修正正方方程程，，用用以以求求解解其其它它未未知知的的结结点点位位移移。。如果果给给定定的的位位移移均均为为零零位位移移，，则只需需将将总总刚刚[K]、荷荷载载列列阵阵{F}中与与该该位位移移所所对对应应的的行行和和列列全全部部划划去去即即可可。。如果果给给定定的的位位移移不不为为零零位位移移，，也只只保保留留了了待待定定的的结结点点位位移移作作为为未未知知量量，，但但需需对对右右端端荷荷载载列列阵阵进进行行相相应应的的修修正正。。2.置大大数数法法将结结构构总总刚刚度度矩矩阵阵中中与与被被约约束束的的位位移移分分量量相相对对应应的的主主对对角角线线元元素素赋赋予予一一个个大大数数A，如如取取A=10e30或更更大大。。再将将右右端端荷荷载载列列阵阵对对应应的的荷荷载载值值换换成成已已知知的的位位移移值值与与该该大大数数的的乘乘积积。。设结结点点位位移移分分量量r为已已知知，，则则有有限限元元方方程程变变为为：：经过过修修改改后后第第r个方方程程的的为为方程程两两边边同同时时除除以以A，除除第第r项外外，，其其余余各各项项均均为为微微小小量量可可略略去去。。3.对角角元元素素改改1法当给给定定的的位位移移值值为为零零时时，，将将总总刚刚中中与与之之相相对对应应主主对对角角线线元元素素改改为为1，相对应的行行和列中其余余所有元素改改为0，荷载列阵对对应的元素也也改为0即可。应力应应变变位位移物理方程几何方程外力有限元方程计算模型中：：位移场已经经确定，就可可得到应变、、应力。§8应力结果网格化——模型8.1单元应力计算算步骤有限元方程求求解之后，得得到了所有结结点的位移，，单元应力计算算对每个单元元循环；对于于任一单元①根据结点i、j、m的实际编号，，从结构结点位移向量量中选出单元结结点位移向量量②计算单元的的应变分量，，③计算单元的的应力分量：：8.2应力分析以上分析得到到了所有单元元的应力分量量，为了强度分析析，进一步计计算主应力或或等效应力。。主应力取“＋”号为为最大应力，，取“－”号号为最小应力力最大应力与x轴的夹角MISES应力由应力分量表表示的三维MISES应力由主应力表示示的三维MISES应力由应力分量表表示的二维MISES应力8.3应力显示x应力mises应力确定根据工程程实际情况确定问题的力力学模型，并按一定比比例绘制结构构图、注明尺尺寸、载荷和和约束情况等等。将计算对象进进行离散化，即弹性体划划分为许多三三角形单元，，并对节点进进行编号。确确定全部节点点的坐标值，，对单元进行行编号，并列列出各单元三三个节点的节节点号。④计算载荷的等效节点力。。③单元分析，由由各单元的相相关参数，计计算单元的几何矩矩阵、刚度矩矩阵。组集整体刚度矩阵阵，即形成总刚刚的非零子矩矩阵。组装各单元的的等效结点载载荷，形成总总的外载荷向向量。有限元分析的的实施步骤处理约束，消除刚体位位移，求解线性方程程组，得到节点位位移。计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要要计算主应力力和主方向。。整理计算结果果（后处理部部分）。图1所示为一厚度t=1cm的均质正方形薄板，上下受均匀拉力q=106N/m，材料弹性模量为E，泊松比，不记自重，试用有限元法求其应力分量。123421x图2y2myxq=106N/m图1例1§9计算实例解：１.力学模型的确确定２.结构离散由于此结