语篇分析概要读书报告2200字

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语篇分析概要作者：黄国文篇章语言学也称话语语言学，是一门年轻的学科，它是50年代以后才发展起来的；作为独立的学科，它直到70年代才有比较快的进展。篇章语言学的研究对象是比句子更大的语言单位，包括书面语言和口头语言。语篇的结构、句子的排列、句际关系、会话结构、语篇的指向性、信息度、句子间的语句衔接和语句连贯等等，都是篇章语言学的研究内容。篇章语言学与语法学、文体学、语用学、语义学等学科关系十分密切，这些领域的研究通常都涉及篇章语言学的研究内容。Chapterone篇章语言学（textlinguistics）作为一门学科是50年代以后才发展起来的。语篇分析通常指的是对比句子/话段（sentence/utterance）更大的语言单位所作的语言分析，目的在于解释人们如何构造和理解各种连贯（coherent）的语篇。早期的语篇研究：在英美国家最早进行语篇分析应首推哈里斯（Harris）和米切尔（Mitchell）。哈里斯在19xx年发表的“话语分析”一文中第一次使用了“话语分析”这一术语。19xx年，西德语言学家魏因里希（Weinrich）提出了篇章语言学（textlinguistik）。在我国讨论篇章结构的论著首推刘勰的《文心雕龙》：夫人之立言，因字而生句，积句而成章，积章而成篇。什么是语篇？语篇通常指一系列连续的话段或句子构成的语言整体。它可以使独白、对话，也可以说众人交谈；可以是文字标志，也可以是诗歌、小说。还可以是讲话，也可以是文章。语篇特征（texture）：cohesionandcoherentChapterTwo衔接：衔接是语篇特征的重要内容,它体现在语篇的表层结构上。语法手段（如照应、替代、省略等）和词汇手段（如复现关系、同现关系）的使用，都可以表现结构上的粘着性，即结构上的衔接。衔接是语篇的有形网络。连贯：连贯指的是语篇中语义的关联，连贯存在于语篇的底层，通过逻辑推理来达到语义连接。它是语篇的有形网络。句子：句子是语法的最高一层的单位，它是人们交际的最基本的语言单位。一句话不论长短，如果能表达相对完整的意义，用一定的语调，末尾有较长的停顿，那它就是句子。在书面语中每个句子的末尾都有句号、问好或感叹号。句组（sentence-group）:句组由两个或更多的独立的句子构成，是具有句法上的组织性和交际上的独立性的一段话，它大于句子，但通常小于段落或等于段落，它是一组按照逻辑句法规则组成的相对完整的超句统一体，它通常处在由句到篇的过渡性位置上。一般来说，句组中的句子之间存在句际关系。句组与段落：段落通常介乎于句子和语篇之间的语言单位。段落与句组既有联系又有区别。段落是从篇章的结构的角度划分出来的文章组成部分，而句组则是交际的单位。段落是由句子（或句子和句组）构成的。语篇：语篇是篇章结构中的最高层次，句子是最低层次。句际关系的类别：并列关系；对应关系；顺序关系；分解关系；分指关系；重复关系转折关系；解释关系；因果关系。语篇的结构：语篇的结构是有条理、上下连贯、前后一致的有机的语言整体。较大的语篇通常都有开头、中间、结尾等部分。不同的语体的语篇通常用不同的结构形式表示开头、中间、结尾等部分。ChapterThree语境与与语篇分析：语境指的是言语活动在一定的时间和空间里所处的境况。语言是人们交流思想的工具，语言交际总是离不开交际的参与者、谈话的主题、时间、地点等情景。因此，一定的语言活动总是处于一定的语境中。语篇的含义主要依赖于语境，语篇与语境相互依存，相辅相成。语篇产生于语境，又是语境的组成部分。语言性语境与非语言性语境：语言性语境通常指的是上下文。非语言性语境通常指语段或句子的意义所反映的外部世界的特征。非语言语境有时可以告诉我们句子所陈述的内容是以哪种言外之力（illocutionaryforce）来表达的。语篇的指向性：时间、地点、真实性和参加者的关系（timeplacefactualityandparticipantrelations）书面语篇的表现形式：如果语篇是书面形式，就需考虑其书写形式和其版面的安排问题，这关系到语篇的交际效果。ChapterFour信息与语句排列：语言的线性表现这一特点决定了发话者在传递信息时必须考虑语言结构的排列。一般来说，在语言结构的安排上，要遵循从已知到未知，从确定到不确定的原则。同时还要考虑句末中心(end-focus)和句末重心（end-weight）原则。实义切分法：（actualdivisionofthesentence）最早由布拉格学派的创建者马泰休斯提出的。它是一种意义分析法，从句子的交际功能的角度来分析句子的结构，分析句子的结构如何表达句子所要传递的信息，如何揭示语篇在一定的语境中的直接、具体的意义。一个句子可以从交际功能的角度划分为两个语义组成部分：主位（theme）和述位（rheme）。主位往往是句子的第一个成分，说明谈话的主题，从而成为句子其余部分叙述内容的起点，因此主位是叙述的出发点、对象或基础；述位则是对主位的叙述、描写和说明，它是叙述的核心内容。主位通常都传递交际双方已经熟悉或由所闻的内容，即已知信息，述位则通常传达受话者未知的内容，即新信息。

第二篇：《现代分析基础》读书报告16600字《现代分析基础》读书报告《现代分析基础》读书报告赵海林学习本学期的《现代分析基础》主要包括泛函分析（FunctionalAnalysis）和点集拓扑学（PointSetTopology）有关的知识。在学习《现代分析基础》之前，需要有扎实的《实变函数》和《点集拓扑》知识。大学期间，曾用一年时间学习过高等教育出版社《实变函数与泛函分析基础》，前半年学习了实变函数，后半年学习了泛函分析基础，而点集拓扑所学甚微，在进入研究生学习阶段，《现代分析基础》作为数学研究生的基础理论课程，是必修学位课。本学期学完该门课后的读书报告主要写泛函分析，可能存在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《现代分析基础》的感受和认识。该读书报告主要的框架结构：1）了解泛函分析是什么，泛函的发展史；2）把空间的理论知识肤浅的系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用；3）学习泛函分析的实际应用。摘要泛函分析理论是为克服黎曼积分理论的缺陷而创立的新积分理论，Lebsgue积分是黎曼(Riemann)积分的完备化，在数学分析中,Riemann积分的概念与理论是十分重要的一部分.它的威力在数学分析的后续课程———常微分方程、复变函数论、概率论以及力学课程中,已经相当充分地表现出来了.但是Riemann积分有一个很大的缺点,就是Riemann可积函数列的极限并不一定是可积的,或者说Riemann可积函数类对极限运算是不封闭的，所以学习泛函分析具有必要性。其基础是集合与测度理论，所以也可以称为测度与积分理论。它是数学专业特别是将来从事与分析数学有关系的科技工作者的必备工具。一、泛函分析的概念以及发展史1、泛函分析的概念所谓的泛函，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是二十世纪三十年代形成的一个数学分支，隶属于分析学。从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。其研究的主要对象是函数构成的空间，主要研究无限维空间（具有各种拓扑）的结1/19《现代分析基础》读书报告构、它们之间的映射以及映射的微积分。另外，也研究各种子集的解析结构、几何结构和拓扑结构。泛函分析是一门综合性很高的数学分支,在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。它的诞生和发展受到数学的抽象化、公理化以及量子物理的推动。由于它的高度抽象化,其概念和方法广泛地渗透和应用到数学的各个分支以及自然科学和技术科学。经典的泛函分析综合运用函数论、几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作数学分析、高等代数和解析几何到无限维向量空间的推广，被认为是无限维空间上的数学分析和高等代数的综合。Banach是经典泛函分析理论的一个主要奠基人;数学家、物理学家Volterra对泛函分析的广泛应用有重要贡献。现代泛函分析已演变成一个庞大的数学体系。仅就Hilbert空间上算子的研究而言，其上算子结构和性质的研究形成算子理论、其上由算子生成代数的研究又形成算子代数，就这两个密切相关的研究领域，掌握和了解这两个领域的进展和方法已变得十分困难。2、泛函分析的发展史十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理2/19《现代分析基础》读书报告论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。二、泛函分析的空间理论知识1、度量空间我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。数学分析中定义R中点列xn的极限是x时，我们是用|xn?x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn?x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n??而趋于0，即limd(xn,x)?0。n??于是人们就想，在一般的点集X中如果也有“距离”，那么在点集X中也可借这一距离来定义极限，而究竟什么是距离呢？1.1度量空间的定义定义1.1设X为一非空集合。若存在二元函数d:X?X?R，使得?x,y,z?X，均满足以下三个条件：（1）d(x,y)?0,且d(x,y)?0?x?y（非负性）（2）d(x,y)?d(y,x)（对称性）（3）d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)（三角不等式），则称d为X上的一个距离函数，（X,d）为度量空间或距离空间，d(x,y)为x,y两点间的距离。注意：若（X,d）为度量空间，Y是X的一个非空子集，则（Y,d）也是一个度量空间，称为（X,d）的子空间。我们可以验证：欧式空间Rn，离散度量空间，连续函数空间C[a,b]，有界数列空间l?，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间Lp[a,b](p?1)，均满足距离空间的性质。Appendix：p次幂可积函数空间Lp[a,b](p?1)介绍Lp[a,b]?{f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可积}，在Lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数。Lp[a,b]有下列重要性质：（1）对线性运算是封闭的。即若f,g?Lp[a,b]，则?f?Lp[a,b],f?g?Lp[a,b]，其中?是常数。（2）Lp[a,b]?L[a,b](p?1)。设f?Lp[a,b]，令A?E(|f|?1)，B?E(|f|?1),E?[a,b]，则?|f|dm??|f|dm??|f|dmaABb??|f|pdm?(b?a)A??|f|dm?(b?a)???abp3/19《现代分析基础》读书报告故f?L(a,b)。（3）?f,g?Lp[a,b]，定义1p?b?dp(f,g)???|f(t)?g(t)|dm??a?则dp是一个距离函数。称(Lp[a,b],dp)为p次幂可积函数空间，简记为pLp[a,b]。1.2度量空间有重要的定理定理1对度量空间(X,d)有（1）任意个开集的并集是开集;有限个开集的交集是开集;（2）任意个闭集的交集是闭集;有限个闭集的并集是闭集;（3）X与?既是开集又是闭集.定理2设(X,d)是度量空间,x0?X,E?X,则x0是E的聚点的充要条件是存在E中点列?xn?(xn?x0),使d(xn,x0)?0(n??).定理3设(X,d)是度量空间,E?X,x?E,则下面的三个陈述是等价的:(1)x?E;(2)x的任一邻域中都有E的点;（3）有点列xn?E,使d(xn,x0)?0(n??).定理4设(X,d)是度量空间,E是X的非空子集,则E为闭集的充要条件是E??E.定理5闭集套定理：设X是完备的，并且非空闭集套F1?F2?F3????满足diamFn?supx,y?Fnd(x,y)?0，则存在唯一的点y?nFn.称X的一个子集E是疏朗的(也称无处稠的)，如果E的闭包E不含任何开集。易见一个开集O在X中稠当且仅当O的补集Oc是疏朗的；一个闭集F是疏朗的当且仅当Fc是周密的开集。度量空间的一个子集称为第一纲的，如果它能表为可列个疏朗集之并；否则称为第二纲的。完备的度量空间享有一个深刻的结构定理－Baire纲定理。定理6Baire纲定理：完备的度量空间是第二纲的。在微积分的发展历程中，一个重要问题是讨论函数间断点集的特征。读者容易验证定义在闭区间[0,1]上的函数4/19《现代分析基础》读书报告1p有理数x?是不可约形式;qqr(x)?{0x是无理数;1x?0.y?x在有理点是间断的，在无理点是连续的（验证当0?x?1,limr(y)?0.）一个自然的问题是：是否在闭区间上存在一个函数h使得它在有理点连续，无理点间断。注意到[0,1]中的无理数集是第二纲的，下面的命题表明这样的函数是不存在的。命题：设X是完备的度量空间，f是[0,1]上的实函数，Cf?{x:f在x点连续｝，若Cf在X中稠密，那么Df是第?{x:f在x点间断｝一纲。定理7Banach不动点定理：完备度量空间X上的压缩映射A有唯一的不动点,即存在唯一的x?X满足Ax?x.2、映射的连续性与一致连续定义2.1设X，Y是度量空间，f是X到Y的一个映射。x0?X如果对任何??0，存在??0当?(x,x0)??时，有?(fx,fx0)??则称f在x0连续。又若f在X中每一点都有连续，则称f是X上的连续映射。若对任何??0，存在???(?)?0，只要x1,x2?X，且d(x1,x2)??，就有?(f(x1),f(x2))??成立，则称f在X上一致连续。定理2.1设(X,d)，(Y,?)是度量空间，f:X?Y,x0?X,则下列各命题等价。(1)f在x0连续；(2)对于fx0的任一邻域B(Tx0,?)，都存在x0的一个邻域B(x0,?)使得f?B(x0,?)??B(Tx0,?)；(3)对于X中的任意点列{xn}，若xn?x0(n??)，则f(xn)?f(x0)(n??)。定理2.2设(X,d)，(Y,?)是度量空间，f:X?Y。则f是连续映射的充分必要条件是，对Y中的任一开集G，其原象f?1(G)??xx?X,f(x)?G}是开集。定义2.25/19《现代分析基础》读书报告设(X,d)，(Z,?)是两个度量空间，f:X?X?Z，点(x0,y0)?X?X，若对任意??0，都存在?(x0,y0,?)?0，使得当(x,y)?X?X，且d(x,x0)??，d(y,y0)??时，恒有?(f(x,y),f(x0,y0)??成立，则称二元映射f在(x0,y0)点是连续的。若f在X?X上每点都连续，则称f是X?X上点连续二元映射。若上述?与点(x0,y0)无关，则称f在X?X上一致连续。定理2.3度量空间(X,d)中的距离函数d(x,y)是X?X上的连续二元函数。3、稠密性（掌握概念）设A,B是距离空间X的两个子集，则（1）A称为X中的稠集，若A?X；（2）A称为B的稠子集，若A?B?A；（3）A称为在B中稠密，若B?A.4、完备性实数空间R具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数。现在我们将这些概念引到一般距离空间中来。4.1完备性概念定义4.1设?xn?是距离空间X中的一个点列，若对任何??0，存在N，当。m,n?N时，有?(xm,xn)??则称?xn?是X中的一个基本列（或Cauchy列）如果X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的距离空间。如:C?a,b?是完备的距离空间；空间Lp[a,b](p?1)是完备的距离空间。定理4.1设(X,d)是度量空间，则（1）收敛点列是基本列；（2）基本列是有界的；（3）若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，其极限即该子列之极限。我们知道，有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用。对于一般的距离空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用。那么是否对于任一不完备的距离空间都可以添加一些点使之成为完备的距离空间呢？答案是肯定的。下面给出空间完备化的定义与结论。设X，Y是距离空间，T:X→Y,如果对任何的x1,x2∈X,都有?(Tx1,Tx2)??(x1,x2)则称T是X到Y上的等距映射，并称X与Y等距。可以证明，对于每一个距离空间X，必存在一个完备化的距离空间X0，使得X等距于X0中的一个稠密子空间X′，如果除去等距不计，X0还是唯一确定的。6/19《现代分析基础》读书报告5、可分性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性。同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数。现在我们将这些概念引到一般距离空间中来。定义5.1设X是距离空间，A?B?X，如果对任何x?B，总存在。又xn?x(n??)，则称A在B中稠密（或A是B的稠密子集）?xn??A,使若B=X，通常称A在X中处处稠密。定理5.1设(X,d)是度量空间，A在B中稠密与下列各命题互相等价，（1）B?（其中?A?{A的聚点}称为A的闭包）。（2）对任何x?B及??0,N?(x)（x的邻域）内都含有A的点。（3）任取一个??0,?S(x,?)x?A??B。即由以A中每一点为中心?为半径的开球组成的集覆盖B。另外，稠密集还有如下性质：若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密。定义5.2距离空间X叫做可分的，是指在X中存在一个稠密的可列子集。A?X叫做可分的，是指存在X中的可列子集B，使B在A中稠密，即?A。欧氏空间Rn是可分的，因为坐标为有理数的点组成的集构成Rn的一个可列稠密子集。空间C?a,b?是可分的，可以证明：具有有理系数的多项式的全体P0在C?a,b?中稠密，而P0是可列集还可以证明空间Lp[a,b],lp等都是可分的。存在着不可分的距离空间。考虑l?中的子集A?{x?(x1,x2,?,xn,?)xn?0或1}则当x,y?A,x?y时，有?(x,y)?1。因[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A与[0,1]一一对应，故A不可列。1假设l?可分，即存在一个可列稠密子集A0，以A0中每一点为心，以为3半径作开球，所有这样的开球覆盖l?，也覆盖A。因A0可列，而A不可列，则必有某开球内含有A的不同的点，设x与y是这样的点，此开球中心为X0，于是1121??(x,y)??(x,x0)??(x0,y)???333矛盾，因此l?不可分。6、范数与范数的等价性验证范数的三条公理：ⅰ正定性?f??，有7/19《现代分析基础》读书报告f?0；f?0?f??；ⅱ齐次性???R，f?sup{x?0?f(x)x??sup{x?0f(x)x??f；ⅲ三角不等式定义6.1设||.||1和||.||2是线性空间X上的两个范数，若?｛xn｝?X，lim||xn??n||1?0?lim||xn||2?0，n??则称||.||1与||.||2是等价的。定理6.2（等价范数定理）线性空间X上的两个范数||.||1与||.||2等价的充分必要条件是：?C1,C2?0，使得?x?X,有C1||x||1?||x||2?C2||x||1证必要性：设||.||1与||.||2等价，若不存在C2?0，使得?x?X，均有||x||2?C2||x||1，1则?n?N,?xn?X,使得||xn||2?n||xn||1，记yn?xn，则当n??时，||xn||2||yn||1?11||xn||1＜?0||xn||2n7、赋范线性空间与Banach空间、Hilbert空间定义7.1设X是实（或复）线性空间，如果对于X中每个元素x按照一定的法则对应于一个实数x，满足：（1x?0,x?0的充分必要条件是x?0;(2)?x??x(???);(齐次性）（3x?y?x?y,(三角不等式）或简称X为赋范线性空间。则称x是x的范数，称（.）为赋范线性空间，设X是赋范线性空间，对于x,y?X及??K令?(x,y)?x?y,那么从范数的定义可以验证??x,y?满足距离的所有条件，我们称这样得到的距离为由范数||?||诱导出的距离，这时X构成一个距离空间。已知赋范线性空间是特殊的距离空间，如果??x,y?是范数所诱导出来的距离，那么这种距离和线性运算之间存在着以下关系。对任何x,y?X及??K有8/19《现代分析基础》读书报告(1)?(x?y,?)??(x,y);(2)?(?x)???(x).反之，设X是线性空间，又其上有距离?(x,y)，满足上述条件（1）和（2），我们定义x??(x,?)可以验证它满足范数条件，并且由这个范数诱导出来的距离即原来的距离?(x,y)。这就是说，对于具有线性运算的距离空间，如果它的距离与线性运算之间满足条件（1），（2），即可成为赋范线性空间。既然任何一个赋范线性空间都可以看成是距离空间，那么距离空间中的邻域、开集、闭集、可分性与完备性、列紧性与紧性等概念都可以相应定义。下面给出赋范线性空间中的收敛概念。定义7.2：设X是赋范线性空间，，若xn?x?0(n??),则称点列?xn?依范数收x，x（,2,3,?）nn?1敛于x，记作limxn?x，有时简记为xn?x(n??)。n??定义7.3完备的赋范线性空间称为Banach空间。（1）设?是Rn(或Cn）中的一个紧子集。C(?)表示?上连续函数全体，定义f?maxf(x).x??容易验证C(?)是一个Banach空间。（2）Lp(?)空间:设?是Rn的一个有界开集。?i?当1?p??,定义Lp(?)?{f是Lebsguefp?(??f(x)dV)??}.?p1p?ii?当p??,定义L?(?)?{f是Lebsguef????supf(x)??}.x??使用HOlder不等式，可以证明Lp(?)是Banach空间。定义7.4Hilbert空间:设H是复数域上的一个线性空间，如果泛函??,??:H?H?C满足?i??ax?by,z??a?x,z??b?y,z?,[对第一个变量线性]?ii??x,y???y,x?,[共轭对称性]?iii??x,x??0,若<x,x??0,则x?0.[正定性]称这样的H为一个内积空间。内积空间自然是一个赋范空间，其范数为x??x,x?。若在此范数下，内积空间是完备的，称129/19《现代分析基础》读书报告为Hilbert空间。Hilbert空间的一个核心概念是正交性。如果?x,y??0,称它们正交的，记为x?y。8、线性算子与线性泛函从一个线性赋范空间X到另一个线性赋范空间Y中的映射，亦称算子．如果Y是数域，则称这种算子为泛函．事实上，我们对算子和泛函的概念并不陌生，例如微分算子D?d就是从连续可微函数空间到连续函数空间上的算子；dx积分算子(黎曼积分)?af(x)dx就是连续函数空间上的泛函．保持两个线性赋范空间代数运算的简单算子：线性算子和线性泛函．定义8.1算子设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，若T是X的某个子集D到Y中的一个映射，则称T为子集D到Y中的算子．称D为算子T的定义域，或记为D(T)；并称Yb的子集TD?{yy?T(x),x?D}为算子T的值域．对于x?D，通常记x的像T(x)为Tx．注1：当X?Y?R时，算子T为函数；若Y?R，算子T为实泛函．定义8.2连续算子设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，x0?D?X，T为D到Y中的算子，如果???0，???0，当x?x0??，有?Tx0??，则称算子T在点x0处连续．若算子T在D中每一点都连续，则称T为D上的连续算子．注2：f(x)在x0点连续??{xn}?D，若xn?x0，则有f(xn)?f(x0)．定义8.3线性算子设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，D?X，T为D到Y中的算子，如果?x,y?D，??,??K，有T(?x??y)??T(x)??T(y)，则称T为D上的线性算子．容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：T(??ixi)???iTxi。ii定义8.4线性有界算子设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，D?X，T:D?Y为线性算子，如果存在M?0，?x?D，有?Mx，则称T为D上的线性有界算子，或称T有界．注3：上述的有界与数学分析中的函数有界不同：例如函数f(x)?x是实数域R上的无界函数，即不存在M?0，使得f(x)?M，但是f(x)?x?Mx(M?1)可见，无界函数可能是线性有界泛函．10/19《现代分析基础》读书报告T:D?Y的有界的等价刻画：（1）?k?0,?x?D，有Tx?kx;或（2）T映D中的有界集为Y中的有界集。若T?L(D,Y)，则对任给的x?D有Tx?x注3：范数定义的几种等价形式（i?supTxx?1（iiT?supTxx?1（iiiT?inf{k?0:Tx?kx(?x?D).下面是几个线性算子．例1(1)恒等算子I恒等算子I：X?X定义为，?x?X，Ix?x．(2)零算子0零算子0：X?Y定义为，?x?X，0x??．(3)微分算子D设C(1)[a,b]是[a,b]上所有一阶导函数连续的函数组成的空间，微分算子D：C(1)[a,b]?C[a,b]定义为，?x(t)?C(1)[a,b]，Dx?dx(t)．dt(4)积分算子T积分算子T：C[a,b]?C[a,b]定义为，?x(t)?C[a,b]，Tx??x(?)d?at，t?[a,b]．(5)矩阵算子T设矩阵A?(aij)m?n，aij?R，矩阵算子T：Rn?Rm定义为，?x?(x1,x2,,xn)?Rn，Tx?Ax?y其中y?(y1,y2,,yn)?Rm．定理8.1设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，D?X，T:D?Y为线性算子，则T在D上连续?算子T在某点x0?D处连续．定理8.2设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，D?X，T:D?Y为线性算子，则T在D上线性有界?算子T把D中的任何有界集映射成Y中的有界11/19《现代分析基础》读书报告集．定理8.3设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，D?X，T:D?Y为线性算子，则T在D上连续?T在D上线性有界．对于线性算子T:D?K有T线性有界?T连续?T在某一点处连续开映射定理，一致有界原理和Hahn-Banach延拓定理被认为是泛函分析的“三大基本定理”。除此之外，由这些基本定理派生的Banach逆算子定理，闭图像定理，范数等价定理以及闭值域定理常常为应用带来方便。开映射定理:设X,Y是Banach空间，T:X?Y是有界线性算子。如果T是满的，则T是开映射,即将开集映为开集。Banach逆算子定理：设X,Y是Banach空间，T:X?Y是可逆的有界线性算子，则其逆T?1也是有界的设X,Y是赋范空间，T:X?Y是一个线性算子，T的图像定义为{(x,Tx)|x?X}，它是X×Y的一个线性子空间,这里X×Y的范数定义为。(x,y)?x?X,y?Y.称T是闭算子，如果T的图像是X×Y的闭子空间。容易检查T是闭的当且仅当它满足：若xn?x0,Txn?y0,则有y0?Tx0.闭图像定理：设X,Y是Banach空间，T:X?Y是闭线子，则T是有界的。一致有界原理，也叫共鸣定理或Banach?Steinhaus定理。一致有界原理：设X是Banach空间，Y是赋范空间,T?:X?Y,???是一族有界线性算子，若对每个x?X,supT?x??则???supT?x??.???事实上，下面几个定理是等价的；开映射定理?Banach逆算子定理?闭图像定理?一致有界原理12/19《现代分析基础》读书报告8.2线性泛函对一个赋范空间X，其上的函数称为泛函，这样的称呼源自于其自变量x?X可能是很抽象的，如取X?Lp(?),自变量是函数。研究赋范空间X上一般的泛函是不可能的，就像研究Rn上一般的函数一样。Rn上最简单的函数是线性函数，即满足：f(ax?by)?af(x)?bf(y),这时f必有形式f(x)?a1x1?…+anxn.显然，Rn上的线性函数是连续的。考虑复的赋范空间X上的线性泛函f:X?C,即满足：f(ax?by)?af(x)?bf(y).下面的例子表明线性泛函未必是连续的。设?是复平面上复多项式全体,p??,定义p?maxp(z).那么?是一个赋范空间。z?Dzn容易验证线性泛函p?p(1)是不连续的。事实上，取pn(z)?，n''那么pn?0,但pn(1)?1、对线性泛函f:X?C,定义其范数f?supf(x)x1如果f??，称f是有界的，此时，f将有界集映为有界集。下面是等价的：1.f是有界的；2.f在X上连续；3.f在原点x?0处连续;4.kerf是闭的。X*表示X上连续线性泛函全体，在上述范数下，X*是一个Banach空间，称为X的对偶空间。定义给定K上的赋范空间X，约定X*?L(X,K)，称其为X的对偶空间（X*为Banach空间）。称每个u?X*为X上的有界线性泛函。注：（1）因有界线性泛函是有界线性算子的特殊情况，故关于一般有界线性算子的概念与结论，均适应于有界线性泛函。（2）对u?X*，有13/19《现代分析基础》读书报告u?supx?0u(x)x?supu(x)?supu(x)?min{k?0:u(x)?kx(?x?X)}。x?1x1（3）u(x)?ux（4）对X上的线性泛函u，u有界?u连续。定义对0?f?X*与c?K，称f?1(c)?{x?X:f(x)?c}为X中由f决定的超平面，也记为{f?c}。注：过原点的超平面f?1(0)?N(f)是X的闭子空间。命题8.2.1设A?X是一子空间。则以下两条件等价：（1）有0?f?X*，使得A?N(f)；除一个常数因子的差别外，f由A惟一决定。（2）存在拓扑直和分解X?A?Kx0，此处x0?0,Kx0?{?x0:??K}是X中的由x0生成的1维子空间。推论若0?f?X*,f(x0)?0，则X?N(f)?Kx0。9、线性赋范空间的共轭空间线性泛函是一类特殊的线性算子，设X为一线性赋范空间，X上的全体有界线性泛函组成的集合记为X*，即X*?{ff:X?R,f为线性有界泛函}．(1)X*是线性空间．*?x?X，定义?(x)?0，显然零泛函?是X上的线性有界泛函，即??X，X*??．其次定义X*上的加法和数乘如下：?f,g?X*，??R，定义(f?g)(x)?f(x)?g(x)，(?f)(x)??f(x)易验证X*是线性空间．(2)X*是线性赋范空间．?f?X*，存在M?0，使得?x?X，有f(x)?Mx，当x?0，可得f(x)x?M，于是数集{范数为f(x)xx?X,x?0}为一有界集，即它的上确界存在．因此可在X*上定义f?sup{x?0,x?Xf(x)x．14/19《现代分析基础》读书报告称线性赋范空间X*为X的共轭空间注1：当f?X*，x?X时，有f(x)?f?x．注2：对于f?X*，由范数的定义知f?x?0f(x)x?sup{f(x?0x)}x?sup{f(yy?1?sup{f(yy1?sup{f?yy?1?fsup{y?fy1因此f?x?0f(x)x?sup{f(x?sup{f(x．□x?1x?1可见所谓“泛函”就是“函数”的“函数”．定理9.1设X为线性赋范空间，则其共轭空间X*是Banach空间．定义9.2设X为线性赋范空间，如果在线性等距同构意义下X自共轭空间．注3：进一步可证明(Cn)*?Cn；对于1?p???及??1，有(lp)*?lq，(Lp[a,b])*?Lq[a,b]；?X*，则称X是1p1q特别地，(l2)*?l2，(l1)*?l?,(L2[a,b])*?L2[a,b]．还可以证明(C[a,b])*?V0[a,b]．可见Rn、Cn及l2的共轭空间是它们本身(称其为自共轭空间)，而且可知线性连续泛函fa?(Rn)*可用内积来表示，即fa(x)?(a,x)10、可测集与可测函数10.1可测集定义10.1.1设X是基本空间，R是X上的??代数，且X?E?RE，则称(X,R)是可测空间(measurablespace)，R中的元素E是(X,R)上的可测集(measurableset)。特别地，当X?R1，R?L时，称(R1,L)是Lebsgue可测空间；Lebsgue可测空间上的可测集称为Lebsgue可测集；当X?R1，R?S(R0)=B时，称(R1,B)是Borel可测空间；Borel可测空间上的可测集（即：Borel集）称为Borel可测集.注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在??代数R上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。15/19《现代分析基础》读书报告定义10.1.2设(X,R)是可测空间，E?X，f是定义在E上的有限实函数。若对一切实数c，集E(c?f)?{xc?f(x),x?E}都是(X,R)上的可测集（即：E(c?f)?R），则称f是E上关于R的可测的函数，简称E上的可测函数(measurablefunction)。特别地，当(X,R)?(R1,L)时，称f是E上关于L的Lebsgue可测函数；当(X,R)?(R1,B)时，称f是E上关于B的Borel可测函数。定理10.1.1设(X,R)是可测空间，f是定义在E?X上的有限实函数。则f是E上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数c,d，集E(c?f?d)是可测集。10.2可测函数定理10.2.1设(X,R)是可测空间，f是定义在E?X上的有限实函数，则(1)若f是E上的可测函数，则E必是可测集；反之不然。(2)若f是E上的可测函数，E1?E可测，当f作为E1上的函数时，f是E1上的可测函数；(3)设E1E2??,E1E2?E，若E1,E2是可测集，则f是E上的可测函数的充分必要条件是：f是E1,E2上的可测函数。(4)集E是可测集的充分必要条件是：集E的特征函数?E(x)是X上可测函数。定理10.2.2设(X,R)是可测空间，f是定义在E?X上的有限实函数，则下面三个条件中的任何一个都是f是E上的可测函数的充分必要条件：(1)对任意实数c，E(c?f)是可测集；(2)对任意实数c，E(f?c)是可测集；(3)对任意实数c，E(f?c)是可测集。定理10.2.3设(X,R)是可测空间，E?X，f,g都是E上的可测函数，则(1)对任意实数?，?f是E上的可测函数；(2)f?g是E上的可测函数；(3)f?g及fg（对?x?E,g(x)?0）是E上的可测函数；(4)max(f,g),min(f,g)都是E上的可测函数。推论1设(X,R)是可测空间，E?X，f1,f2,任意实数?1,?2,,fn都是E上的可测函数，则对,?n，?1f1??2f2???nfn是E上的可测函数。推论2设(X,R)是可测空间，E?X，f是E上的可测函数，则f是E上的16/19《现代分析基础》读书报告可测函数。Infact由f?max(f,?f)知：f是E上的可测函数。11、Lebsgue积分及其性质定义11.1设(X,R,?)是测度空间，E是一个可测集，?(E)??，f是定义在E上的可测函数，设f是有界的（即：存在实数c,d，使得f(E)?(c,d)），在[c,d]中任取一分点组D:c?l0?l1?记?ln?1?ln?d.?(D)?max(l?li?1),1?i?niEi?E(li?1?f?li)，并任取?i?[li?1,li?1](i?1,2,,n)，作和式S(D)???i??(Ei)，i?1n称它为f在分点组D下的一个“和数”.若存在数s，它满足如下条件：对???0,???0，使得对任意分点组D，当?(D)??时，有S(D)),S(D)?s??(即：s??(limD)?0则称f在E上关于测度?是可积（分）的，并称s是f在E上关于测度?的积分，记作s??fd?.E特别地，当测度空间(X,R,?)是Lebsgue测度空间(R1,L,m)，f关于测度m可积时，称f是Lebsgue可积函数；称s是f在E上关于测度m的Lebsgue积分，记作(L)?fdx.通常就简记E作?fdx.E当E?[a,b]时，Lebsgue积分又记作?fdx.ab定理11.1设(X,R,?)是测度空间，E?R，且?(E)??，则E上的一切有17/19《现代分析基础》读书报告界可测函数f（关于测度?）必是可积的。定义11.2