2020人教版八年级数学上册教案含教学反思

第第页共147页第2课时含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．（重点）2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．（难点）一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质［类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长T）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是斜边AB上的高，AD=3cm,则AB的长度是（）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm解析：在Rt^ABC中,vCD是斜边AB上的高，•上ADC二90°,「./ACD二ZB二30°.在Rt^ACD中，AC二2AD二6cm,在Rt^ABC中，AB二2AC二12cm..°.AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用呦2【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用呦2如图,ZAOP=ZBOP=15°,PC〃0A交0B于C,PD丄0A于D,若PC=3,则PD等于（）A．3B．2C．1.5D．1解析：如图，过点P作PE丄0B于E,「PCllOA,.zAOP二ZCPO,.zPCE=ZBOP+ZCPO二ZBOP+ZAOP二ZAOB二30°.又TPC二3,「・PE二*PC二*X3二1.5.TZA0P二ZBOP,PD丄OA,「.PD二PE二1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．解析：由条件先证△AED^^BED，得出ZBAD二ZCAD二ZB，求得ZB二30°,即可得到CD=#DB.解：CD=2dB.理由如下：TDE丄AB,・・・ZAED=ZBED=90°.・・・DE是ZADB的平分线，.°.ZADE=ZBDE.又°.°DE=DE,.°.AAED今△BED(ASA),・.AD=BD,ZDAE=ZB.°.°ZBAD=ZCAD=2zBAC,・.ZBAD=ZCAD=ZB.°.°ZBAD+ZCAD+ZB=90°,・.ZB=ZBAD=ZCAD=30°.在RtAACD中,VZCAD=30°,ACD=2aD=2bd,即CD=*DB.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC=50m,AB=40m,ZBAC=150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD丄CA交CA的延长线于点D.在RtMBD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即AABC的高•运用三角形面积公式计算面积求解.解：如图所示，作BD丄CA于D点.VZBAC=150°,AZDAB=30°.°.°AB=40m,・.BD=2AB=20m,/.S^AB^2x50X20=500(m2).已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积.三、板书设计含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．第2课时含30°角的直角三角形的性质教学目标1.探索一发现一猜想一证明直角三角形中有一个角为30°的性质.2•有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学过程I•提出问题，创设情境我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质.大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．「由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小

关系？你能证明你的结论吗？II.导入新课用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形(1)(1)其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD竺AACD，所以AB=AC，又因为Rt^ABD中，ZBAD=60°，所以ZABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图（1）中，ZB=ZC=60°,ZBAC=ZBAD+ZCAD=30°+30°=60°，所以ZB=ZC=ZBAC=60°，即△ABC是等边三角形.由此能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？你能证明它吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.求证：BC=^AB.2分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D,使CD=BC，连接AD.证明：在厶ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°，则ZB=60°.

延长BC至D,使CD=BC,连接AD（如下图）VZACB=60°,・・・ZACD=90°.•・・AC=AC,•••△ABC竺AADC(SAS).・・・AB=AD（全等三角形的对应边相等）.△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.BC=iBD=-AB.22［例］右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m,ZA=30°，立柱BD、DE要多长?分析：观察图形可以发现在RtAAED与Rt^ACB中，由于ZA=30°，所以DE=-AD,BC=-AB，又由D是AB的中点，所以DE=-AB.224解：因为DE丄AC,BC丄AC,ZA=30°，由定理知BC=-AB,DE=-AD,22所以BD=-X7.4=3.7(m).2又AD=-AB,2所以DE=-AD=-X3.7=1.85(m).22答：立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,ZABC=ZACB=15°,CD是腰已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,ZABC=ZACB=15°,CD是腰AB上的高.求：CD的长．分析：观察图形可以发现，在Rt^ADC中,AC=2a,而ZDAC是厶ABC的一个外角，•则ZDAC=15°X2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD.解：・.・ZABC=ZACB=15°,•ZDAC=ZABC+ZBAC=30°.

・・・CD=2AC=a（在直角三角形中’如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）．皿•随堂练习1.RtAABC中，ZC=90°,ZB=2ZA,ZB和ZA各是多少度？边AB与BC・之间有什么关系？答案：ZB=60°,ZA=30°,AB=2BC.2.已知：如图，AABC中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°.求证：BD=-AB.4证明：在Rt^ABC中，ZA=30°,ABC=-AB.2在Rt^BCD中，ZB=60°,・・・ZBCD=30°.ABD=-BC.2・•・BD=-AB.4已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段.求证：其中一条是另一条的2倍.已知：在Rt^ABC中，ZA=90°,ZABC=2ZC,BD是ZABC的平分线.

求证：CD=2AD.证明：在Rt^ABC中，ZA=90°,ZABC=2ZC,・・・ZABC=60°,ZC=30°.又VBD是ZABC的平分线,AZABD=ZDBC=30°.?.AD=1BD,BD=CD.2・CD=2AD.W・课时小结这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用.V.课后作业n板书设计含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中,有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.13.4课题学习最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用感悟转化思想.（重点）利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.（难点）能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用感悟转化思想.（重点）利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.（难点）一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】两点的所有连线中■线段最短如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？（画出图形，做出说明）*4解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB交直线a于点P,此时桥到这两村庄的距离之和最短.理由:两点之间线段最短./?方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【类型二】运用轴对称解决距离最短问题呦2呦2在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小.解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点.

解：如图所示：⑴作点B关于直线l的对称点B'；⑵连接ABf交直线l于点M；⑶点M即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.（1）若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）?（2）若要使厂址到A,B两村的水管最短，应建在什么地方？AA凡TOC\o"1-5"\h\z■•EFEF'I)㈢解析：⑴欲求到AB两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；（2）利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A'，再连接AB交EF于点N,即可得出答案.解：⑴作出解：⑴作出AB的垂直平分线与EF的交点M,交点M即为厂址所在位置;（2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A，,再连接A，B交EF于点N,点N即为所求.［类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题如图所示，A,B两点在直线l的两侧，在l上找一点C,使点C到点A、B的距离之差最大..4■解析:此题的突破点是作点A（或B）关于直线l的对称点A，（或B，）作直线AB（AB，）与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A，,A，B的连线交l于点C,则点C即为所求.理由：在直线l上任找一点C，（异于点C），连接CA,C，A,C，A，,C，B.因为点A,A，关于直线l对称，所以l为线段AA，的垂直平分线，则有CA=CA，,所以CA-CB=CA，-CB=A，B.又因为点C，在l上，所以C，A=C，A，.在AA，BC，中，CA—CB=CA'-CB<A'B,所以CA'-C'BvCA—CB.:护'R.V方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．三、