船舶结构力学-虚力原理的应用

第十九讲虚虚力原理理的应用对应教材§6-6和§6-6本讲主要内内容2022/10/27船舶结构力力学讲义-虚力原理1一、虚力原原理二、余位能能驻值原理理三、应力能能原理四、单位载载荷法五、最小功功原理六、小结与与练习一、虚力原原理2022/10/272原理表述结构在外力力作用下保保持平衡；结构受到的的外力发生生虚变化（（虚力：不破坏静静力平衡和和静力边界界条件，且且使结构变变形协调））；外力的虚余功必等于结构构的虚余能。公式表述虚余功（外外力虚变化化用δP表示）：虚余能（虚虚力对应的的虚应力用用δσ表示）：虚力原理：：船舶结构力力学讲义-虚力原理一、虚力原原理2022/10/273虚力原理证证明——以受分布载载荷两端自自由支持梁梁为例。必要条件：：若结构变变形协调，，则δW*=δV*。外力虚变化化δq，内力虚变变化δM和δN。虚力满足静静力平衡条条件：虚力满足静静力边界条条件：若结构变形形协调，则则需符合变变形协调条条件：梁的挠度连连续：梁的几何边边界条件：：q(x)l,Iδv船舶结构力力学讲义-虚力原理一、虚力原原理2022/10/274虚力原理证证明——以受分布载载荷两端自自由支持梁梁为例。必要条件：：若结构变变形协调，，则δW*=δV*。根据梁的变变形协调条条件构造等等式：对其中微分分项进行积积分：带入构造等等式并化简简：q(x)l,Iδv船舶结构力力学讲义-虚力原理命题得证一、虚力原原理2022/10/275虚力原理理证明——以受分布布载荷两两端自由由支持梁梁为例。。充分条件件：若δW*=δV*，变形协调调和几何何边条满满足。外力虚变变化δq，内力虚虚变化δM和δN。虚余功为为：虚余能为为：虚力原理理表示为为：船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理q(x)l,Iδv二、余位位能驻值值原理2022/10/276余位能驻驻值原理理说明余位能驻驻值原理理与位能能驻值原原理对偶偶。虚力原理理的应用用，等效效于力法法中的变形连续续条件。假设外载荷不发生变变化，常常用于计计算结构构的支座反力力。弹性体稳稳定平衡衡时，总总余位能能将取极小值。余位能驻驻值原理理内容弹性结构构的平衡衡状态对对应于总总余位能能取驻值值。总余位能能Π*定义：结构余能能V*与反力余余位能-U*的和：Π*=V*-U*反力余位位能-U*：船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理支座处位位移支座反力力二、余位位能驻值值原理2022/10/277余位能驻驻值原理理公式令支座反反力有虚虚变化δRi：则支反力力所做的的虚余功功为：根据虚力力原理：：余位能驻驻值原理理公式：：对比位能能驻值原原理公式式：对于不能能发生位位移的支支座：总余位能能等于余余能：船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理二、余位位能驻值值原理2022/10/278余位能驻驻值原理理算例利用余位位能驻值值原理解解静不定定桁架。。解：长度为l截面为A的拉杆的的余能：：该桁架杆杆长如图图，截面面积均为为A，各杆的的余能为为：利用节点点力的平平衡条件件：桁架的余余能为：：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理二、余位位能驻值值原理2022/10/279余位能驻驻值原理理算例利用余位位能驻值值原理解解静不定定桁架。。解：结构没有有发生位位移的支支座，桁桁架的总总余位能能为：根据余位位能驻值值原理：：解得杆的的拉力：：ΔlPθθ123PTT′T′船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理二、余位位能驻值值原理2022/10/2710余位能驻驻值原理理算例利用余位位能驻值值原理解解静不定定桁架。。讨论：由余位能能驻值原原理：得到的公公式：分析各项项含义：：变形协调调方程：：ΔlPθθ123PTT′T′船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理三、应力力能原理理2022/10/2711应力能原原理若发生力力的虚变变化δPi，余能的的变分形形式为：：根据虚力力原理：：比较两个个等式：：得到应力力能原理理公式：：卡氏第二二定律若结构仅仅力Pk变化，其其余的力力保持不不变：对于线性性体系，，应变能能等于余余能：V*=V船舶结构构力学讲讲义-虚力原理理三、应力力能原理理2022/10/2712最小余能原理理和最小功原原理结构余能是外外力及多余约束反力的函函数。内约束：使结结构位移与支支座位移协调调的约束。外约束：使结结构位移为零零的约束。根据应力能原原理，对外约约束有：结构余能可分分为梁的余能能和弹性支座座余能：对内约束X2有：P1P2PnX1Xr船舶结构力学学讲义-虚力原理用于计算静不不定结构多余余约束反力。。X2Δ2三、应力能原原理2022/10/2713最小余能原理理和最小功原原理最小余能原理理：稳定平衡的静静不定结构；；结构满足外约束为零且内约束处位移协调；；多余约束反力使结结构的余能取取最小值。最小余能原理理公式：最小功原理：：线性体系中结结构应变能对对约束反力的的偏导数等于于零。最小功原理公公式：船舶结构力学学讲义-虚力原理应变能V应使用力的表达达式用于计算静不不定结构多余余约束反力。。四、单位载荷荷法2022/10/2714单位载荷法原原理虚力原理表达达式为：假设结构某处处有一单位虚虚力：单位虚力引起起的虚应变为为：单位位移法的的公式表述为为：单位载荷法可可以用来求结结构某一点的的位移。莫尔积分对于弯曲梁，，由单位载荷荷法可以求得得梁上某点的的位移：M为真实外力引引起的弯矩；；M0为在i处单位外力引引起的弯矩。。船舶结构力学学讲义-虚力原理五、最小功原原理的例题2022/10/2715例一：静不定定曲杆刚架结结构。解：假设曲杆可以以用杆的弯曲曲应变能公式式：根据最小功原原理：多余约束反力力为水平方向向力H：设直杆段局部部坐标s1，杆件断面弯弯矩为：且有：HHR=P/2RPPrds1船舶结构力学学讲义-虚力原理五、最小功原原理的例题2022/10/2716例一：静不定定曲杆刚架结结构。解：设曲杆段局部部坐标s2，杆件断面弯弯矩为：且有：对于整个刚架架：求得水平力H为：步求杆件断面面弯矩M(s1)和M(s2)；最大弯矩为拱拱形的顶点处处：HHR=P/2RPPrds1s2φ船舶结构力学学讲义-虚力原理rq五、最小功原原理的例题2022/10/2717例二：受均布布压力作用的的等断面圆环环。解：圆环对称，截截面无剪力。。取半环，该处处截面弯矩M0和轴向力T。由静力平衡：：圆环任意截面面弯矩为：根据最小功原原理：故圆环截面无无弯矩：