小学奥数 整除问题

小学数学整除问题一、相关概念对于整数a和不为零的整数13,如果2除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a。a就是b的倍数，b是a的约数。0是任何自然数的倍数，1是任何整数的约数二、一些数的整除特征被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数被5整除的特征：数的个位上是0、5被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数被7、11、13整除的特征：数的末三位与末三位以前的数字所组成的数，两者的差是7、11、13的倍数一个整数既能被2整除又能被3整除，那这个数就能被6整除一个整数既能被2整除又能被5整除，那这个数就能被10整一个整数既能被3整除又能被5整除，那这个数就能被15整除三、整除的应用（一）简单应用题型例1,期末考试六年级某班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班有多少名学生？解析：总分二平均分义人数，即□95□是90的倍数，而90=2X5X9,□95□也应为2、5、9的倍数，根据相关数的整除特征，B5口的个位数一定是0,而□+9+5+0的和也一定是9的倍数，所以千位上的口一定是4,总分一定是4950,学生人数=4950:90=55（人）例2．一位马虎的采购员买了36套桌椅，，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：D3.□□元，总价：1D24.5□元。你能帮忙算出单价和总价吗？解析：先不考虑小数点.总价=单价X数量，即1D245□应是36的倍数，而36=4*9,1口245□也应为4、9的倍数，根据相关数的整除特征，5□应为4的倍数，即个位上的□只能是2或6,同时，1+口+2+4+5+□应是9的倍数.如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52^36=39.57,与题不符所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56♦36=28.46，与题不符.所以总价应为1924.56元，单价=1924.56：36=53.46元例3.水果店运来苹果和桔子共六筐,分别重15,16,18,19,20,31千克,两天已卖出其中五筐.卖出的五筐中苹果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?解析:因为五筐中苹果是桔子重量的2倍,说明这五筐的总重量应是3的倍数.六筐的总重量是15+16+18+19+20+31=119千克，119：3=39…2,由于其中5筐总重量是3的倍数,除以3没有余数,也就是说剩下的那筐重量除以3后,余数是2.在六筐中,20除以3的余数是2,所以,剩下那筐重20千克.例4.希望小学有11个兴趣小组,各小组人数如下表:组别钢琴手风琴古筝摄影足球乒乓球二胡绘画书法声乐舞蹈人数6791519161925213530一天下午,学校同时举办写作、数学两个讲座，已知有10个小组去听讲座，其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在讨论问题，这一组是哪个小组？解析：由“其中叫写作讲座的人数是听数学讲座人数的6倍”可知：听讲座的人数一定是7的倍数，除以7肯定没有余数，而总人数除以7必得一余数，再看表中哪组人数除以7得到的余数，与上面那个余数相同，该组就是去参加讨论的那组例5．小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。规则是：每个人报出的数不能超过8，也不是0，把两人报出的数加起来，谁报数后加起来是100，谁就获胜。小亮先报，并且第一次都报1，以后不管小兵报几，最后小亮准赢。这是为什么？请说明理由？解析：因为小亮总是先报1，那么剩下的和就只能是99，又因每次报的数在0至8之间，99：9=11,没有余数，不管小兵报几，小亮就报9减去小兵报的数的差，这样，加起来是100的数一定是小亮报，所以小亮准赢。（二）复杂应用题型例1．在1至100的整数中，能被2整除或能被3整除的整数共有多少个？解析：由于100：2=50,能被2整除的有50个100：3=33、、、1,能被3整除的有33个以上这些数中，包括了既能被2整除也能被3整除，即能被6整除的数，共有100：6=16、、、4,有16个，是重复计数的，要扣除所以，符合题目要求的数有50+33-16=67个例2．从1、3、5、7、、、、97、99中最多可以选出几个数，使它们当中的每一个数都不能另一个数的倍数。解析：题中全部是奇数，在考虑倍数时，首先把数字1排除，最小的倍数应是3倍由于3X33=99,3X35=105超过99,因此从35开始，以后每一个奇数都不可能是另一个数的倍数，1—99有50个奇数，1—33有17个奇数,所以最多可以选出50-17=33个数,使它们当的任一个数都不会是另一数的倍数。例3．在1、2、3、、、29、30这30个数中,最多可能取出多少个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数。解析：我们把这30个数按照除以7的余数分组，分别有整除、余1、余2、、、余6这七组，每组中的数分别有4个，5个、5个、4个、4个、4个、4个，要想和不是7的倍数，整除的这组只能取一个；取了余1这组的一个数，就不能从余6这组再取，取了余2这组中的数，就不能从余5这组中取数，取了余3这组中的数就不能再从余4组中取数。要想取的数最多，我们可以把余1、余2、余3中的数全部取出来，再从整除组中取一个，即符合题目要求，共可取5+5+4+1=15个例3．某住宅区有12家住房，他们的门牌号分别是1、2、3、、、、12，他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。这一家的电话号码是多少解析：两个整数甲和乙，如果甲能被乙整除，那么甲与乙的差仍能被乙整除。由于每家电话号码能被门牌号整除，所以电话号码与门牌号的差也能被门牌号整除。电话号码是12个连续的自然数，门牌号也是1、2、3、、、12这12个连续的自然数，每家的电话号码与门牌号的差是同一个整数。它能被1、2、3、、、12这12个数整除，因此它是1、2、3、、、12这12个数最小公倍数的倍数，即27720的倍数，可以写成：27720义某个整数。门牌号是9的这一家，电话号码是：27720义某个整数+9。因为它能被13整除，9除以13的余数是9,那么27720义某个整数除以13的余数应该是4,而27720=13X2132+4,27720义某个整数二(13X2132+4)*某个整数，说明4义某个整数除以13的余数是4,那么某个整数除以13的余数应该是1，这样的整数可能是1、14、27、、、、由于这家的电话号码首位小于6,经尝试，27720X14+9=388089符合题意.所以,这家电话号码是388089例4．如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除,那么这个整数中的1的个数最少有多少个。解析：33333=3X11111,说明这个数既能被3整除，也能被11111整除能被3整除,说明这个数中1的个数应该是3的倍数个能被11111整除,说明这个数中的1的个数应该是5的倍数个即这个数中1的个数应该是15的倍数个,所以,最少有15个1例5.41位数55、、、55口99、、、99(5和9分别有20个)能被7整除,中间方格代表的数是几？解析：牢记111111=3X7X11X13X37,所以555555=5X111111,999999=9X111111,这两个数肯定能被7整除。这样18个5和18个9分别组成的数也能被7整除。原式二555、5500、、00（18个5和23个0）+55口99+99、、99（18个9）上面三个数中，第一个和第三个能被7整除，由于原数能被7整数，所以中间一个数55口99肯定也能被7整除把55口99拆成两个数的和：55A00+B99,其中□二A+B因为55300能被7整数，399能被7整数，所以口=3+3=6后记：除了要牢记111111=3X7X11X13X37,还要牢记1001=3X11X13,在解题中很有用的。例6.甲、乙两人进行下面的游戏。两人先约定一个整数N,然后由甲开始，轮流把0、1、2、、、、9这10个数字之一填入□□□□□□的任一格中，每一方格只填一个数字，数字可以重复，填满后就形成了一个六位数。如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果不能，就算甲胜。假设N小于15,那么当N取哪几个数时，乙才能取胜。解析：由于甲先取，N如果是偶数，只要甲在最右边方格中放入一个奇数，就能使这个六位数不能被N整除，乙不能获胜。如果N=5,甲可以在最右边方格中填入一个不为0或5的数，乙也不能获胜。如果N=1,随便怎么取，乙必胜；如果N=3或9,乙在放入最后一个数时,总能把这6个数之和凑成3的倍数或9的倍数,乙也能胜；如果N=7、11、13时。我们注意到1001=3X11X13,举个例子1001*123=123123,我们把格子从左到右配好对了，第1格和第4格，第2格和第5格，第3格和第6个配对，甲在任意一对格子中放入一个数,乙就在这对格子的另一个格子中放入同样的数,那样这六位数肯定能被1001整除,也就能被7整除,乙获胜。所以，当N=1、3、7、9、11、13时，乙才能获胜例7.一个四位数AB12加上9能被9整除，加上8能被8整数,求满足条件的最大数。解析：如果整数甲和乙,能被丙整除,那么甲和乙的和或差也能被丙整除四位数人812加上9能被9整除，说明四位数人812也能被9整除,即是9的倍数四位数AB12加上8能被8整数，说明四位数AB12也能被8整数,即是8的倍数根据被8整除特征，四位数中的末三位812能被8整除，8可能是1、4、5、7、9根据被9整除特征,各个数字和是9的倍数,即A+B+1+2=A+B是39的倍数，当B=1、3、5、7、9时，对应地A=5、3、1、8、6要想这四位数最大，A=8,B=7符合要求。例8．4名同学做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字(不为0)拿到这个数的最左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267。结果中哪一个可能是正确的，为什么？解析：仔细分析，原六位数与新六位数对比，发现，其中五位数字是相同的，另一个数字是位置不同。假设原六位数的个位数是X,去掉个位数后的五位数是Y,那么原六位数可以表示为：10Y+X,新六位数可以表示为：100000X+Y。这样这两个数的和就是：10Y+X+100000X+Y=100001X+11Y=11X(9091X+Y),这个得数应该是11的倍数，根据被11整除的特征，很容易找到只有620708是正确的。例9．从0、1、4、7、9中选出4个数字，可组成若干个四位数，把其中