全国高考理科数学试题含标准(新课标卷)

全国高考理科数学试题含标准答案(新课标卷)全国高考理科数学试题含标准答案(新课标卷)全国高考理科数学试题含标准答案(新课标卷)2011年一般高等学校招生全国一致考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。(1)复数2i的共轭复数是（）12i（A）3i（B）3i（C）i（D）i55（2）以下函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递加的函数是（）（A）yx3(B)yx1（C）yx21(D)y2x（3）执行右侧的程序框图，若是输入的N是6，那么输出的p是（）（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）1（）1（C）2（D）33B342（5）已知角的极点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2=（）（A）4（B）3（C）3（D）45555（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（）2011年全国1卷数学理试题和答案第1页共10页（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）（A）2（B）3（C）2（D）3a5（8）2x1的张开式中各项系数的和为2，则该张开式中常数项为（）xxx（A）-40（B）-20（C）20（D）40（9）由曲线yx，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（）（A）10（B）4（C）16（D）633（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有以下四个命题（）P1:ab10,2P2:ab12,33P3:ab10,3P4:ab1,3其中的真命题是（）（A）P1,P4（B）P1,P3（C）P2,P3（D）P2,P4（11）设函数f()sin(x)cos(x)(0,)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则x2（）（A）f(x)在0,单调递减（B）f(x)在,3单调递减244（C）f(x)在0,单调递加（D）f(x)在,3单调递加244(12)函数y1的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于（）1-x（A）2(B)4(C)6(D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必定做答。第22题～第24题为选考题，考生依照要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分。（13）若变量x,y满足拘束条件32xy9,则zx2y的最小值为。6xy9,2011年全国1卷数学理试题和答案第2页共10页（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为2。过F1的直2线L交C于A,B两点，且，那么的方程为。VABF2的周长为16C（15）已知矩形ABCD的极点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为。（16）在VABC中，B60o,AC3，则AB2BC的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6.（Ⅰ)求数列an的通项公式；（Ⅱ）设bnlog3a1log3a2......log3an,求数列1的前n项和.bn(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表示质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优良品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，获取下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优秀品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为2011年全国1卷数学理试题和答案第3页共10页从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学希望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20）（本小题满分12分）uuuruuruuuruuuruuuruur在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MAABMBBA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30。x1x（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若是当x0，且x1时，f(x)lnxk，求k的取值范围。x1x请考生在第22、23、24题中任选一题做答，若是多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m、AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x2cos为参数）y（22sinuuuvuuuvC2M是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于32011年全国1卷数学理试题和答案第4页共10页极点的交点B，求AB.(24)(本小分10分)修4-5：不等式函数f(x)xa3x,其中a0。（Ⅰ）当a1，求不等式f(x)3x2的解集；（Ⅱ）若不等式f(x)0的解集x|x1，求a的。2011年一般高等学校招生全国一考理科数学卷参照答案一、（本大共12小，每小5分，共60分）（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二、填空（本大共4小，每小5分，共20分）（13）-6（14）x2y21（15）83（16）27168三、解答（17）解：（本小分12分）（Ⅰ）数列{an}的公比q，由a329a2a6得a329a42因此q21。19由条件可知a>0,故q3分。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31由2a13a21得2a13a2q1，因此a1。3故数列{an}的通式an=1n。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3（Ⅱ）bnlog3a1log3a2...log3an(12...n)n(n1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2故122(1n1)bnn(n1)n111...12((11)(11)...(11))2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分b1b2bn223nn1n1因此数列{1}的前n和2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分bnn12011年全国1卷数学理试题和答案第5页共10页(18)解：（本小分12分）（Ⅰ）因DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD3AD从而BD2+AD2=AB2，故BDAD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又PD底面ABCD，可得BDPD因此BD平面PAD.故PABD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分解法二：取AB中点E，接DE,因DAB60,AB2AD，故AD=AE，VADE是等腰三角形，∵AE=EB=DE,∴AEDEBDBDE2EBD600,即ADB900,故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD因此BD平面PAD.故PABD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）如，以D坐原点，AD的位，射DAx的正半建立空直角坐系D-xyz，A1,0,0,B0，3,0,C1,3,0,P0,0,1。uuuvuuv(0,3,uuuv1,0,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分AB(1,3,0),PB1),BC(nuuur0,AB平面PAB的法向量n=（x,y,z），uur0,nPB即x3y03yz0因此可取n=(3,1,3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分uurmPB0,平面PBC的法向量m，uuurmBC0,可取m=（0，-1，3）cosm,n42711分7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯272712分故二面角A-PB-C的余弦⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7（19）解（本小分12分）（Ⅰ）由果知，用A配方生的品中的平率228，因此用A配方生的品的品率100的估。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分由果知，用B配方生的品中品的率3210，因此用B配方生的品的品率的100估⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）用B配方生的100件品中，其量指落入区90,94,94,102,102,110的率分，,054,2011年全国1卷数学理试题和答案第6页共10页，因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分即X的分布列X的数学希望EX=-2×0.04+2×0.54+4×⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分(20）解：（本小分12分）(Ⅰ)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).uuuruuuruuur因此MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分uuuruuuruuur再由意可知（MA+MB）?AB=0,即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.因此曲C的方程式y=1x2-2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分4(Ⅱ)P(x0,y0)曲C：y=1x2-2上一点，因y'=1x,因此l的斜率1x0422因此直l的方程yy01x0(xx0)，即x0x2y2y0x020。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2O点到l的距离|2y0x02|.又12，因此dx024y04x0212d2x04124)2,x02(x0442x024当x02=0取等号，因此O点到l距离的最小2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（21）解：(本小分12分)(x1lnx)b（Ⅰ）f'(x)x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分1)2x2(x1f(1)1,由于直x2y30的斜率，且点(1,1)，故即2f'(1)1,2b1,a1b1a1,解得，6分b。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯222011年全国1卷数学理试题和答案第7页共10页（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx1，因此x1xf(x)lnxk)11(2lnx(k1)(x21))(x1xx2x。考函数h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，x(k1)(x21)2xh'(x)x2。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分(I)k0，由h'(x)k(x21)(x1)21，h'(x)0。而h(1)0，故x2知，当x当x(0,1)，h(x)0，可得1h(x)0；1x21当x（1，+），h（x）<0，可得h（x）>01x2从而当x>0,且x1，f（x）-（lnx+k）>0，即f（x）>lnxx1xx1（ii）0<k<1.由于当x（1，1），（k-1）（x2+1）+2x>0,1k

k.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分x故h'(x）>0,而1h（1）=0，故当x（1，1k

1），h（x）>0，可得1x2h（x）<0,与矛盾。⋯⋯⋯⋯⋯10分（iii）k1.此h'（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+），h（x）>0，可得1h（x）<0,与矛1x2盾。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分合得，k的取范（-，0]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22）（本小分10分）解：I）接DE，依照意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC,2分即ADAEACAB

.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB因此C,B,D,E四点共。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）m=4,n=6，方程x2-14x+mn=0的两根x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分取CE的中点G,DB的中点F，分G，F作AC，AB的垂，两垂订交于H点，接DH，因C，B，D，E四点共，因此C，B，D，E四点所在的心H，半径DH.2011年全国1卷数学理试题和答案第8页共10页由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5，DF=1(12-2)=5.2故C,B,D,E四点所在的半径52⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（23）（本小分10分）解：（I）P(x,y),由条件知M(x,y).由于M点在C1上，因此22x2cosa,x4cosa2y即4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分2sinay4sina22从而C2的参数方程x4cos参数）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分y（44sin（Ⅱ）曲C1的极坐方程4sin，曲C2的极坐方程8sin。射与C1的交点A的极径13射与C2的交点B的极径23

4sin，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分38sin。⋯⋯⋯⋯