建模算法及部分源代码-预测方法

第十一 技第一 概立，不预则废”“人无远虑，必有近忧”，可以说是对重要性所作的经测如升学考哪一所理想的学校最有可能被录取？要在规定的时间到达指定的场所，如何选择去的方式和路线等都涉及到．在现代化管理方面，更是不可缺少的一个重要，是计划和决策的前提，通常要有对经济指标的，对技术进步趋势及方向的，市场、科技开发计划的等．，在卫生事业管理领域，各种各样的方法已广泛应用于人口、疾病流行趋势、的预后、人才、医疗机构床位及和经费的、药品需求的等．如何使做到科学有效，除要求信息资料准确，管理、预测素质较高以外方法的选择至关重要．随着科学技术的发展和各种预测实践经验的积累，作为一门综合性科学已发展成为一门比较完善的学科，现在方法已近二百种（最常用的有十几种，但每种方法都有一定的使用范围，它们往往是相互补充的，实际时也常常是几种方法一起用．，系，若根据的性质，大体可将分为定性和定量两类．定性是一种直观，一般采用研究的方式进行，这种虽有数向．常用的定性方法有：头脑风暴法：通过之间直接的信息交流，相互启发，充分发挥专特尔斐法：在背靠背的情况下，对意见采取有控制的反馈，从而取得一组的最可靠的意见具有性反馈性和统计性三个基本特征．概率法：利用者的知识和经验对事件的未来进行估计或定量的特点是偏重于利用统计资料借助于数学方法建立数学模型进行，是以数学模型为主的方法．又可分为因果和时间序列．因果是以相关原理来分析对象与有关因素的相互关系并以此关系时间序列是根据对象时间序列的变化特征来研究事物自身的发展规律和探讨未来发展趋势的对于时间序列的比较简单的方法是时间序列平数学模型描述一组依赖于时间的随量相互之间所具有的自相关性以表征预时间序列的还可用以下三节介绍的方法．第二 增长型曲线外运用某种函数曲线拟合对象的历史统计数据从而建立起能描述其发展拟合及外推方法．在卫生管理的实践中常常会发现有些对象的发展过程有增长某类适当的增长曲线（growthcurve）进行外推．增长曲线一般是非线性函数，它有许多类型．下面介绍常用的几种增长曲线模型．一、增长型曲线的基本类型和特 yta0a1ta2t2amtm

上式中a0,a1,amt为自变量（在时间序列中为时间变量yt为指标值．若m不超过3，则参数a0,a1,a2,a3有明显的物理意义，a0t0yta1a2a3描述（11-yta0

dytay 11-1

（11-yta0a1ta2t

11-111-1一次多项式曲线11-2二次抛物线曲线

dyt

2a是t

d2ytdt

速度增加或等加速度减少的事物发展过程．如果参数a20，抛物线开口向上，抛物线有最小值；如果a20，抛物线开口向下，抛物线有最大值．一阶差 u(1)uy (aa)2a t

d2

ut12a2

dt类似地对三次多项式，计算其三阶差分u(3)u(2)u(2uut

d3dt

t简单指数曲 简单指数曲线（simpleexponentialcurve）的表达式为ytab

其中a,b为模型参数，t为自变量，yt为指标值．当a0时，若b1，那么增长曲线yt随t的增加地增大，在t趋向于负无穷时yt趋向于零；0b1

ytttytyty11-3增长曲线（11-4）A=lga，B=lgb

lgytA11-3指数曲线lgyt线性地依赖自变量t，在半对数坐标纸上是一条直线．此外，这种曲线还有另外一种特征，即差分utyt之比ut

ytyt1

1yt

1b修正指数曲 修正指数曲线（modifiedexponentialcurve）模型为ytkab

规律，其中kykyt的渐近线，当a0yt以ka<0yt以k为上方渐近线．综合ab的值，得到曲线的四种11-4所示．11-4这种曲线的主要特征是lgut线性地变化．事实上，由（11-5）utytyt1abt1(b

(b1可见lgut为t的线性函数（若0b1，用ut代替utGompertz曲线（Gompertz）是英计学家和数学家，他提tykabt

式中ab,kk又称为极限参数．Gompertz曲线（Gompertzcurve）层指数，所以又称为双指数曲线．根据ab11-511-5Gompertzlg

lgkbtlg

(lgyt)bt(lga)ln(lgyt)bt(lga)(ln

b

(lgyt)0，lgyt和(lgyt)增长曲线yt是凹的，说明目标值随t的增大而增加，参见图11-当0b 0a1时，(lgyt) (lgyt)0，说明lgyt是t的tk为其极限值．参见11-5Ⅰ．当b

0a1，或0b

a1时，均有(lgyt)0yt由式（11-7，lgytGompertz曲线的增长变化特征是lg(lgytlgyt1tLogistic曲线蒂曲线（Logisticcurve）是比利时数学家维哈尔斯特（P·F·Verhulst）首先发现的一种特殊曲线．由于皮尔（R·Pearl）和里Pearl-Reed曲线．其模型为：yt

1

式中kab为参数，kyt处于饱和状态时的值．其图形11-6所示．11-6Logisticb

k）为中心对称，当t

0，当tytkyky0Logistic曲线的增长变化特征，将（11-8）11a 1 为修正指数曲线，从而有

t

yt

yti

t二．增长型曲线的识别方对于在实际工作中收集到的按时间序列变化的实测值y1，y2 yn目估法目估法也称图形识别法，它通过时间序列的散点图或趋势图来12.57(b)点大致在一条直线上，可初步选配指数曲线为该科室业务收入的增长模型11-7(a)业务收入散点 这种方法是以残差平方和最小作为识别增长曲线

y2,

ynˆ1,ˆk，从而有

ˆ2

ˆnykˆk

k 2, 称ek

Qnkk1线的模型识别中，用这种方法识别的曲线就不一定是“最优”的．因为，任何n个实测点构成的序列至少可以构造一个n1次多项式曲线此曲线可通过已知的n个实测点，从而有残差平方和等于零．按残差平方和最小识别准则，它是最而不能说明它的未来发展趋势因此这种曲线 的前提下不一定是最优的增长特征 （即差分的变化特性与增长曲线的相应特征作比较来识别曲线的法其目标是选择增长曲线在理论上的变化规律与实列的实际变化规律最接近的具体步骤如下：tykt 2p

2p1称为滑动时段长，其大小由实际经验确定，通常加长滑动时段可降低对随yt的影响也被削弱了．计算序列的平均增长（即平均差分ppkyttuktppkk

p1

uyt1 p2p3

u2yt2yt1yt12 u3yt32yt2yt1yt12yt2 是以时间原点作为序列的中心点进行计算的（此时t0．直线方程是：yabppbtpptt别实列属于何种增长曲线类型为消除随机干扰的影响序列值yt以经过滑yt代替，序列的差分ut以平均差分ut表11-

uutuut

yt1

大致相 直线性变 二次抛物线性变 三次抛物大致一 简单指数曲线性变 修正指数曲线性变 Gompertz曲

ytyt1

线性变 Logistic曲例11-2 表11-2是某医院连续12年的病床需求数试用增长特征法选择合表11- 123456789 解（1）在公式（11-9）p=1

yt

yt1yt3yt12分别计算utyt、lgut、lglgytlgyt1、

ytyt1)时 观

表11- y平均 y

长量

t1

lg ytyt —————3456789

11-3中可以看出，lgut、lglgytlgyt1、ytyt1均有线性变化特征，在这种情况下，究竟选择哪条曲线，应根据者与t的相关程度而定，即分别计算lgut、lglgytlgyt1、

ytyt1与t相关系数，然后取相关系数绝对值较大的相应曲线 曲线模型设有数据(t1,

(t2,y2),

(tn,yn(tkt)2(yky)2r(tkt)2(yky)2

其中t为tyy到n11-3中lgut、lglgytlgyt1、y的值，求得lgut与tr

ytyt1（11-lglgytlgyt1与t

r

ytyt1与t

r比较知，lg(utytyt1)与t的线性关系最密切，故选取Logistic曲线为三．增长曲线的参数估当选择好模型后接下来的问题是如何确定模型参数这涉及到法从而参数的估计值并不唯一若利用参数的选取应使值与实际值的（1rtzLogistic曲线因不可线优选法等方法来估计其参数．Gompertz（（11-6Logistic（（11-8lg

lgkbtlg

11a

ytk的构造相同．所以，下 以修正指数曲线为例介绍三和法y0

y1,

yn,

y2n,

y3n1（33的倍数；时序也可从t=1开ytkab

（t=0，1，

3n1对第一段（前n个）

(kab0)(kab1)(kabnka(1bnk

bnb

nbn123

nknk

b12nbnb1

(bn2yt1yt

b

3yt2

n(bnb

bn3yt22yt1

nn3yt22yt1b a2

b1 (bn1)2

nnk yt

bnb1

k1y

y2k 1 3 2 n1yt3yt22yt

公式（时序从t=1开始的估计公式有少许差别，可自己推导）将（11-12）式与修正指数曲线比较可得Gompertz

kabt

bn3n3lgyt2lg2lgyt1lglga

lg

yt

b1(bn1)2

1

lgylg

lg

lgk

n1lgyt3lgyt22lgyt同样，比较（11-13）式与修正指数曲线函数式知，对Logistic曲线y

1

1 a

tebyt

k，a,b 1

k,

b的估计值

D2 kn

11 D1

D1D2b n D2

aC

D2 D1

1enbyyyy上三式中，D1 ，D2 yyyy

，C1eb例11- kg1998年的销售量．表11- (时序t解由销售量散点图（图11-8）

k

(a

0b1)近似，以此为模型，下面利用三和图图11- 2

50.060.068.03

202123，得n3ytn3yt22yt13218.3a

b1 (212.4178.0)0.5556122.2722 4k4

t(bn

(0.55563

模型为ˆt

ˆt令t91998ˆ9此模型1997年的销售量ˆ8

与1997年的实际销售量73.2千克比较误差为0.23千克相对误差为 Logistic曲线为例介绍此法．Logistic曲线模型：yt

1其中

a,by0y1y2（际距离均为ny0y

1k

1y

132，有

akenbknblnknbln(ky0)lny0lny1ln(ky1ny2(1ae2nb)

将enb

ky2y21a 1最后将a

ay1 (ky1 y21k

0y2 1化简上式得到一个关于k的二次方程，解这个二次方程可以得k的两个根，取其中较合理者代入（11-33）式和（11-35）式，便可得到a和b的估计值． 计．采用最小二乘法直接估算不可线性化的曲线参数，数学计算程序又非常Gompertz曲线为例介绍此法．tykt

其中kab为待估参数，已有观测值为(t1,y1，(t2,y2，…，(tn,ynk的值，则（11-37）可以线性化．事实上，将（11-37）变形 yt

k令Z

yt

kBlgZtABt

A,B的估计值，则可得原模型（11-37）的参数ab的估计值：ab因此，问题归结为参数k的选择问题．现介绍选择k的优选方法．优选的标准是使值与实测值之差的平方和最小，即以残差平方和最小为准则．步骤如下根据对象的发展规律及参数k的实际意义估计k的取值范围．k0kk的第一个估计值k1k1的值代入（11-39）并由实测数据(t1y1(t2y2(tn,yn算出Zt的序列值Z1Z2,…,Zn，再由新的数据序列(t1,Z1)(t2,Z2)(tn,Zn按线性A,B从而得出ab的第一次估计值a1b1．计算残差平方和Q1ntn1Q(1

(1)

n(n

k

bt t

1t 0.618法的步骤，继续对k2（2，求出Q2：2

btQ2(t

ˆ

)(ytt

a22Q1Q20.618Q1<Q2

k2，只用考虑区间[k2

若1，则去掉区间

k1]11-11-11-11-0.618法的优选步骤，在留下的区间内，继续优选k的值，直到选出一个使残差平方和最小的k0,a0b0为止．四、增长型曲线外推的应11-411-51985年~1995年的出院人次、入院人次和门诊人次，试建立合适的模型进行外推（引自：等.医院年门诊和住院工作量方法的探讨.数理学杂志.1999，12(1)：78-80表11- 时 出院人

123456789分别绘出时序与出院人次（Yt(1)、入院人次（Yt(2、门诊人次（Yt(3)）的11(c)图11- 表11-5数据散点(a)出院人次散点 （年的数据用来检验模型效果分别建立了三次抛物线模型改进的三次抛线模型三次指数平滑模型和灰色模型（11等四种模型其中的长型曲线三次抛物线模型为：tttYˆ(2)7089.500ttYˆ(3)245162.5199186.9t39186.37t22358.46tt其拟合优度R2分别为0.8503、0.9326、0.9572，拟合效果比较理想，但当模型用和明模型的外推效果较差n 值an，并将n,an作为第九组观察值与前八组数据一起建模，得tttttYˆ(3)292617.6147063.8t24842.2t21254.1tt个模型（GM（1，1）模型例11-5 36.92、39.54、33.83、32.90、27.65（单位1/10万（引自：王锡武，马宁.指数曲线模型在我区乙型肝炎发病中的应用.中国卫生统计.2003，20（4211．从散点图及数据对数散点图（见图11-12(a)和图11-12(b)）看出，图11- 数据散点 (b)对数散点王锡武等将数据取自然对数利用线性模型方法，求 模型为ˆt

e0.06168t外推2002年（即t=7）的年为27.99/10万，与实际第三 夫夫法是应用概率论中夫链（Markovchain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此其未来变化趋势的一种技一、夫链的基本原情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随量Xn便可以了，但要描t∈TT是参数集}{Xt}{Xn}的参数为非负整数，Xn为离散随量，且{Xn}具有无后效性（或称说，就是如果把Xn}n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现NnijP(Xn1

j|Xni)pij

i,j1,2,,npij(0pij(1pij(npij（称过程是平稳的

p1NP p2N

pp pp

N

pN

NN例11-6设某抗药销售情况分为“畅销”和“滞销”两种，以“1”代表“畅销2”代表“滞销Xn表示第n个季度的销售状态Xn可以取值1或2．若未来的抗药销售状态，只与现在的市场状态有关，而与以前的市场状态无关，则抗药的市场状态{Xn，n≥1}就构成一个马氏链．设p11

p120.5

p21

p22

P

p110.5p120.5表示由畅销转入滞销的可能性，p210.6表示由滞销转入畅销的可能性，p220.4状态转移的情况也可以用状态转移图来表示（11-13图图11- 状态转移（1）pij

i,j12,NN（2）pi

i1,2,N如果考虑状态多次转移的情况，则有过程在n时刻处于状态i，n+kjkP(X

j|Xni)p(k)

i,j1,2,,iinp(iip(k p(k p(k) 1Np(k p(k p(k)P(k) 2

p(k p(k p(k)N N NNikp(kiip(k)i

i,j1,2,,N

ii

p(k)

i1,2,,N例11- 求例11-6中抗药的销售状态{Xn}的二步转移矩阵P解11-6P

若本季度抗药的销售处于畅销（即处于状态“1”，那么，经过两个21p(2)表示抗药的销售由畅销经两次转移后仍然是畅销的概率由概率计p(2)P(X31|X1P(X21|X11)P(X31|X21)P(X22|X11)P(X31|X2 p(2)p11p12p12 p(2)p21p11p22p210.60.50.40.6p(2)p21p12p22p220.60.50.40.411-7

p

p(2)

p11p11p12

p11p12p12p22

12 p p(2)

p21p11p22

p21p12p22p22 22

p12p11p22

P2p22Pkp(k p(k p(k) 1Np(k p(k p(k)P(k)

2N

p(k p(k p(k)N N NN二、状态转移概率的估表11- 某抗药24个季度的销售情11畅销7283945615个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和可得到下面的市场状态转移情况表（11-7表11- 市次数场1（畅销2（滞销1（畅销772（滞销72

连续出现畅销的次数

151241．

畅销转入滞销的次数

p

滞销转入畅销的次数7 出现滞销的次

连续滞销的次数2 出现滞销的次数

p12

0.5Pp

22 P11-p11p12p21p22

7777727由此，推广到一般情况 得到估计转移概率的方法：假定系统有mˆi次数状态…次数状态………nn…n…ˆi…

nijnikk1

i,j1,2,,

……S1S2S39表11- 状 解44，得ˆ11

615

0.2，ˆ12

615

0.5，ˆ13

615

ˆ21

414

0.2，ˆ22

414

ˆ

ˆ31

33

0.3

ˆ32

33

0.3

ˆ33

33

三、带利润的马氏

P

畅销，每次转移不是就是亏本．假定连续畅销时盈r11元，连续滞销时亏本r22元，由畅销转为滞销r12元，由滞销转为畅销r21元，这种随着系统

p1NP

p2N

N N NNrij（i，j=1，2，…，N

R

r2N

N N NN为系统的利润矩阵，rij＞0称为，rij＜0称为亏本，rij=0称为不亏不盈．1概率决定例如从抗药的销售状态的转移矩阵得到一步利润随量x(1)12x(1)2xx1 x2 其中p11p121，p21p22i首先，定义v(n)为抗药现在处于i(ii

2，经过ni i

ri

ri

i其中E(x(1))是随量x(1)的数学期望 v(2)E(x(2))

v(1)]

v(1)]

v(1)]

i

i

i ii其中随量x(2)（称为二步利润随量）的分布为iP(x(2) v(1))p

j1, i i

3P

R 则抗药销售的一步利润随量xx193 x23- 抗药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为v(1)E(x(1))r11p11r12p1290.530.5 v(1)E(x(1))r21p21r22p2230.470.6 二步利润 量为xx13- x2-7- 抗药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为v(2)E(x(2))[r11v(1)]p11[r12v(1)] (96)0.5(33)0.5

E(x(2))[r21v(1)]

6) i一般地定义k步转移利润随量x(k)(i1,2,N)的分布为iP(x(k) v(k1)) j1,2, i iiik步转移后所得的期望利润v(k)iNv(k)E(x(k))

v(k1)) ij ijN r

Nv(k1)

v(1)

Nv(k1)

ijij

i

j ijik=1时，规定边界条件v(0)0iv(1)q i1,2,N 四、市场占有利用夫链，可以进行市场占有率的．例如，A、B、第一步进行市场．主要以下两件事：目前的市场占有情况．如在该药的总共1000家对象（力相当的医院、药店等）A、B、C400家、300家、300家，那么11-10．表11- 顾客订货情况 合ABC来A自BC第二步，模型的步长（即转移一步所需的时间那么根据表11-10可以得模型的转， Ppp1

矩阵中的第一行（0.4，0.3，0.3）A40%ABC厂的顾客下季度的流向．由P可以计算任意的k步转移矩阵，如三步转移矩阵 从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况．如从第二行（0.504，0.252，0.244）知，B50.4%A25.2%B厂的，24.4%C厂的药．第三步进行．设S(k)(p(k),p(k),p(k))表示对象k季度以后的市场占有率初始分 则为S(0)(p(0),p(0),p(0))，市场占有率的模型 S(k)S(0)PkS(k1)

现在，由第一步，有S(0)

)，由此，可任意期A、B、C三厂家的市场占有率．例如，三个季度以后的值为S(3)(p(3),p(3), ( 0.2496k大致上，A厂占有一半的市场，B厂、C厂各占四分之一．模型（11-47）N个状态的情形：k

p1N

(0)

,(0()0)

p22

p2N（11-

N N k大到一定的程度，S(k)将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为Sp1,p2,p3)p1p2p31．以A、B、C三家的情况为例，当市场出现平衡状态时，从公式（11-47）可S=SP，即

(p1,p2,p3)(p1,p2,p3)

p1p2p31

.3.00.6p10.6p20.6p3

0.7p

0.1p30.3p10.1p20.7p3p1p2p3，上方程组是三个变量四个方程的方程组三个方程中只有二个是独立的，任，p1

p20.25

p3A、B、C一般N个状态的稳定市场占有率（稳态概率）Sp1,p2pN

p1N (p,

,

)(p,p

22

2N

pNpp

pppkk

N

pN

NN求得，而（11-49）NN-1五、期望利表（表11-12．由此，来建立数学模型．表11- 销路转移状能性1212销路转移表说明连续畅销的可能性为50%，由畅销转入滞销的可能性也是50%，由滞销到畅销为40%，连续滞销的可能性为60%．利润表说明的是连续畅700PR表11- 利润变化表（单位：百万元状i润1219323

p12

P

p22

3Rr

22 P和R便构成一个有利润的马氏链．由前面所述的基本原理及公式（11-46）得

v(1) r

i1, ijijk

ik)(

k

k

将数据代入上公式则可各时期的期望利润值．如q190.530.5q230.470.6300

v(2)7.511v(3)8.5511

v(2)22v(3)22144六、应用举例11- Markov模型在流行病监测中的应Markov模型是用于描述时间和状态都是离散的随机过程的数学模型．应用198019952.9539.70、33.59（引自：等.龙泉市肾综合征热发病趋势的.浙江预防医学,1997,02：44．下面进行建模．首先根据资料将划分为四个状态统计各数据的状态归属及各状态出现的频率（初始概率11-1311-14．表11- 某市HFRS流行状(1/10万(1/10万141324141424444411-12342 2P1 0000 可认为HFRS下一年的只与当年有关，而与过去的无（4/16，2/16，1/16，9/16型来HFRS未来的情况．

Pn或解方

p1,p2,p3,p4)( 得模型的极限概率分布（稳态分布（0，0，1/9，8/9分析由于95年处于状态4比较P的第4行的四个数字知，p44 四步转移矩阵知依然是状态4转入状态4的概率最大所以1996年至1999年该市的HFRS将持续在大于30/10万（高发区）水平，这提醒应该如果转移概率矩阵始终不变，从极限分布看，最终HFRS将保持在高转移概率矩阵一般也会发生变化．所以Markov模型主要适用于短期．在用Markov模型进行的过程中，无后效性和平稳性是最基本的要求，分可能会得到不同的结果通常根据有关对象的专业知识和数据的多少在卫生管理事业中用Markov模型还可医疗器械药品的市场占有率，第四 灰色系一、灰色理灰色系统及灰色灰色系统（greysystem）理论是我国学者邓聚龙统信息并充分利用信息进行分析数列：对某个事物发展变化的大小与时间进行季节性灾变：对发生在每年特定时区的事件和命题作定的多组数值建立GM（1，1）模型群，根据结果构造出整个波形．GM（1，1．生成数灰色模型是将随机数经生成后变为有序的生成数据，然后建立累加生成：累加生成（accumulatedgeneratingoperation，简记为AGO）x(0): k

n

x(0AGOx(0x(1) k

n

其中(1)(k)x(1)(k1)x(0) 称(1x(01—AGO．x(0)2—AGOx(2)x(2)=AGOx(1)．x(0rAGOx(r)x(r)=AGOx(r1例11- 设x(0){ 4.5}，

0())(()4((1)=AGOx(0){

7,

}．

x(2)

AGOx(1){

9,

}．累减生成：累减生成（inverseaccumulatedgenratngoperatinI的数据序列．累减生成可将累加生成还原为非生成数列，在建模中获得增量信息．即：IAGOx(1)例11-

72,,10,

14.510{

二、GM（1，1）模（order，1model0()

x(0k为原始序列，x(1)AGOx(0)z(1k)0.5x(1k0.5x(1k1)x(1)x(0的发展态势；b称为灰作用量，它的大小反映z(1)z(12),z(13,z(1nz(1kx(1kx(1kz(1MEANx(1

z(1)MEANdx(1)

ax(1)

x(11x(0(1x(1)(t)x(0)(1)bea(t1)aa aa 该式用于时称为时间响应函数，表示ˆ(1)(k1)x(0)(1)beak

aa aa

ˆ(0)ˆ)ˆ)

设建模序列

50，有

x(0)(2)az(1)(2)x(0)(3)az(1)(3)

yN

(0)Nz(1) z(1) aB

Pb z(1) 于是由最小二乘法可求得参数包P的矩阵辨识算式aPb

B)1BT

（11-N其中T为B的转置矩阵，(BTB)1为BTB的逆矩阵． Nnz(1)(k)nx(0)(k)(n1)nz(1)(k)x(0)2ak k k 2

（11-n

(n1)k

k

(k)nx(0)(k)nz(1)(k)2nz(1)(k)nz(1)(k)x(0)2bk k k k 2

（11-n

(n1)k

k

(k)nCk

Dk

x(0)(k)nEk

z(1)(k)x(0)(k)

Fnz(1)(k)2k55aCD(n(n1)FCb DF(n1)FCGM（1，1）a参数与级比(k可容区及界区通过GM（1，1）abGM（1，1）模型，（1，1aa的可容区为（-2，+2x(0的级比0(kGM（1，1）建模的可行性．(0(k的定义为：

(k)

x(0)(k,x(0)

k(0(kx(0)的平滑情况或指数律的符合情况，若(0(k值．GM（1，1）建模希望的是0(k的取值区间长度（覆盖的测度）接近于零（0．1353，7．389，即(0)(k)

（11（11n据的个数，则有：aa2

2；n n 20(k的界区：(0(ken1

en1．模型检 2x(0GM（1，1）建模可行性检验，若0(ken1

en1，则认为x(0)是可作GM（1，1）建模的．事后检验是度检验，其中一x(0) (,(()0()ˆ(0)ˆ(0)则称(k)x(0kˆ(0(k(k)

x(0)(k)ˆ(0)x(0)

n(avg)n

n|(k)

kp*(1GM（1，1）的建模精度，则(kp*一般要求(k<20%p*>80%；最好是(k<10%p*后验差检验：设S1x(0S

x(0)

nx(0)n1n1n(x(0)(k)x(0)nk设S2为残差序列{(k

k1n((k)nk1n((k)nkn nk则后验差比（均方差比

CPP{|(k)|即落入区间[ 0.6745S1]的(k)的频率越大越好一般模型精CP好一样，定义模型级

(k)(k)

x(0)(k,x(0)ˆ(0),ˆ(0)

kkk无关（因为{ˆ(0)(k)}符合指数律1

ka(k)

100%110.5a1

x(0)(kx(0)一般要求|(k|20，最好|(k|10三、应用举例11- 从中国预防医学流行病学《甲乙类传染2.744，2.307，2.022，2.082．试建立GM（1，1）模型，疟疾的流行情况．解(0)(2),(0)(5),x(0){2.744,2.702,2.630,2.307,2.022,第一步级比检验（建模可行性检验

(k

(k)

x(0)(kx(0)

({),

(4),

{1.016,1.027,1.14, n=6 2

2

现0(ke7

模型．若有(0)(k)第二步GM（1，1）(1)x(0x(1)=AGOx(0x(1k)