复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答写出以下复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(此中,R,为实常数)2(cosπisinπ（1）13)；（3）1cosisin；3i；（2）3（4）e1i；（5）eiRsin；（6）ii（1）实部－1；虚部3；模为4π2kπ,k0,1,2,L4π答案2；辐角为3；主辐角为3；4π4πi4π原题即为代数形式；三角形式为33；指数形式为2e3．5π5π5π2[cosisini33],2e（2）略为3[2sin()]eiarctan[ctan(/2)]（3）略为24）略为eei;e(cos1isin1)5）略为：cos(Rsin)isin(Rsin)6）该复数取两个值22(cosisin)22ei,arctan(12);略为22(cosisin)22ei,πarctan(12);计算以下复数1011）1i3；2）1i3；13π/42kπik0,1,2；答案1）512i5123；2）26e3计算以下复数（1）aib；（2）3i；2[a2b2aia2b2a]答案（1）22）ei(/62n/3)已知x为实数，求复数12ixx21的实部和虚部．【解】令12ixx21piq,(p,qR)，即p,q为实数域(Real).平方获得12xix21(p2q2)2xyi，依据复数相等，所以p2q21pqxx21px,qx2112ixx21(xx21i)即实部为x,虚部为x21说明已考虑根式函数是两个值，即为值．假如|z|1,试证明对于任何复常数|azb|1a,b有bza【证明】由于|z|1,zz1z1/z，所以|azb||(azb)z(azb)1|azb||1||azb|||bzzz|1bza(bza)zazbazzbaz假如复数aib是实系数方程Pza0zna1zn1an1zan0的根，则aib必定也是该方程的根．证由于a0，a1，，an均为实数，故a0a0，a1a1，，anan．且zkkz，故由共轭复数性质有：PzPz．则由已知Paib0．两头取共轭得PaibPaib00即Paib0．故aib也是Pz0之根．注本题仅经过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其自己即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式起码有一个实零点．证明：|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2),并说明其几何意义．若(1i)n(1i)n，试求n的值.i)nnisin4)nn(cosn4(122(cos422isin【解】由于(1i)nnisin4)nn(cosn422(cos422isin

n4n4

))nnn0nk,n4k,(k0,1,2,L)所以sin4sin4即为sin4所以4将以下复数表为sin,cos的幂的形式（1）cos5；（2）sin5(1)cos510cos3sin25cossin4答案(2)5cos4sin10cos2sin3sin5证明：假如w是1的n次方根中的一个复数根，可是w1即不是主根，则必有1ww2Lwn10对于复数k,k，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：nkk|2nk||k|)2nk|2nk|2|(|||k1k1k1k1建立。【证明】对随意n个复数，由三角不等式知nn|kk||k||k|k1k1再由对于实数的柯西不等式得nnnn|kk|2(|k||k|)2|k|2|k|2k1k1k1k1,证毕。sin(n1)sin2;coscos2cos3Lcosn2证明2sin2coscos(n12)sinsin2sin3Lsinn22sin建立．2以下不等式在复数平面上表示如何的点集？1）0Rez1；2）2zz03；3）0argz1；4）0Imzπ；z125）z1（答1）平面上由x0与x1所组成的宽度为1的铅直带形域；2）以z0为心，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）极点在原点，开度为10的角形地区；4）宽度为πy0，y5z0R4的说平带形域，界限为；5）以33为半径的圆以外为心，部地区）指出以下关系表示的点之轨迹或范围；并说明是何种点集？πargzi1）42）z2z25argzπ解1）令zxiiy，由4知Rezix0arctany1πImziy10且x4yx1即x0这样的点为z平面上从点z0i出发（但不含z0点）与实轴倾角为π4的射线．此射线所形成的点集既非开集，也非闭集．2）设zxiy，则原条件即为25z222z225z210z2z2222510z2即z2由模的定义得8x252100z2100x24x4100y22化简得x2y2122532253这是一椭圆，长半轴为2，短半轴为2，中心在原点，它是有界闭集（所有为界限点）．描绘以下不等式所确立的点集，并指出是地区仍是闭地区，有界仍是无界，单连通仍是多（或复）连通.（1）2zi3（2）Reiz2z31（4）1argz1π（3）z2（5）z12z1（6）z1z25（7）z2z21（8）zziziz1解（1）是以i为圆心、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭地区、多连通．（图形略）（2）即y2是下半平面，无界单连通闭地区．（3）z到3的距离比z到2z21，去掉z2一的距离大，所以，它是左半平面2点，是无界的多连通的地区.（4）在直线ykx的上方，此中ktan1．无界单连通地区（5）即z1z14z1z13zz5z5z30x2y225x10或35216xy239是无界多连通地区（6）此不等是焦点在z1和z2初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭地区）．4x24y211（7）这是半支双曲线：x17，2部分是无界单连通地区．（8）不等式即x2y22y1，或x2y120，只有当x0，y1建立，所以，只代表复平面上一个点zi．w1已知映照z，求(1)圆周的象；（2）直线yx的象；（3）地区x1的象．11答案(1)|w||z|||z|22，为圆周（2）直线w11i)1i,u1,v=-1,uvzx(12x2x2xw11iyu1,vy,u2v2u1iy1y21y21y2（3）先看直线x=1的象，而z＝0的象w在圆的外面，所以x1的象是圆的内部即为u2v2u议论以下函数在指定点的极限存在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．fz1zz1）fz2xiy2，z02i2izz，z002)解1）fzux,yivx,y，z0x0iy0则ux,y2x，vx,yy2，x0,y00,2，limux,ylim2x0x,y0,2x,y0,2limvx,ylimy24x,y0,2x,y0,2limfz04i4izz0又注意fz0ux0,y0ivx0,y04ilimfzfz04izz0即fz2xiy2在点z02i处极限存在且连续．2）设zxiy，则fz1zz14ixy2xyux,yivx,y2izz2ix2y2x2y2明显，vx,y0在0,0点极限存在且连续．lim2xy22但注意x,y0,0xy不存在，事实上，令ykx，有lim22xy2lim2k22k2lim2xyx00xyx001k1kx2y2x,y0,0ykxykx，对不一样k值有不一样结果，故知不存在．lim1zz所以，z02izz不存在．由连续与极限的关系知fz在z0处极限不存在、不连续．注这两个问题均经过极限存在的充要条件将问题转变为两个二元实函数在对应点x0,y0处极限存在性的判断问题，这是最常用的方法．在问题1）中，又依据连徐的另一limfzfz0在z02i处不单极限存在，并且在该点连续的等价定义zz0，立刻获得fz结论；在2）中，fz其实是一复变量实值函数，即vx,y0，所以由充要条件只要判ux,yxyy2在0,00,0点极断一个二元实函数x2点的极限存在性．由该二元实函数在限不存在即得fz在z0处极限的不存在性．若函数f(z)在点z0x0iy0点连续，证明1）f(z)在该点连续；2）|f(z)|的模在该点连续．本章计算机编程实践与思虑(说明：读者可参照第五部分计算机仿真编程实践)使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic计算机仿真求解以下复数的实部、虚部;共轭复数；模与辐角；3i;(2)1(3)(23i)(34i)(4)i717(1)i2;2i;i4i1i3i计算机仿真计算：1i;i)6;11(1)(3i)(2)(1(3)(1i)3;(4)(1)613i计算机仿真求解方程z380计算机仿真编程实践：若zl(l1,2,,n)对应为zn10的根，此中n2且取整数.试用计算机仿真编程验1n0,k1(zkzm)证以下数学恒等式

m1(mk)建立.用计算机编程实践方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C