现代控制理论基础：第三章 线性控制系统的运动分析

第三章线性控制系统的运动分析3.1线性定常齐次状态方程的解3.2状态转移矩阵3.3线性定常非齐次状态方程的解3.4线性时变系统状态方程的解3.5线性离散系统状态方程的解3.6线性连续时间系统的离散化

小结教学要求：熟练掌握状态转移矩阵的计算方法。正确理解线性定常系统的运动分析。线性定常系统状态方程的求解方法。重点内容：状态转移矩阵的求解。状态方程的求解。进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。分析分为定量分析和定性分析。定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析：对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等，进行定性分析。状态方程为：运动分析的实质数学：给定初始状态和外输入作用，求解出状态方程的解。分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，为系统的实际运动过程作出估计。由初始状态和外输入作用所引起的响应。3.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统的齐次状态方程可得代入方程

将方程两边系数必相等，即我们定义于是齐次状态方程的解为

例3.1

线性定常系统齐次状态方程为

求齐次状态方程的解

解：3.2状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为状态型状态转移矩阵一般为时变函数矩阵初始状态向量的变换关系变换矩阵几何意义决定运动形态。一、状态转移矩阵的定义二、状态转移矩阵的性质Φ非奇异,必有逆！状态转移矩阵的性质：性质5三、几个特殊的状态转移矩阵则有：(1)若为对角线矩阵则有：约当块若为（2）则有：具有约当块的矩阵若为（3）其中：为约当块有则：(5)若

为则有：(4)若矩阵通过非奇异变换矩阵化为对角线矩阵以上证明从略方法1：直接计算法.由定义近似计算;一般没有解析解;适合计算机求解。四、状态转移矩阵的计算

例3.2

已知系统状态方程为

试求其状态转移矩阵。解：有：方法2：拉氏反变换法

例3.3

已知系统状态方程为

试用拉氏反变换法求其状态转移矩阵。

解：方法3：对角线标准形与约当标准形法其状态转移矩阵可按下式求得特征向量，则可将A化为对角形矩阵。(1)当矩阵A

的个特征值互异或虽有重特征值但仍有个独立的

例3.4

已知系统矩阵

试用对角线标准形法求其状态转移矩阵。解：(2)矩阵A有重特征值。当矩阵A

有重特征值时，一定存在一个变换矩阵Q，可将A化为约当标准形。

若A具有n重特征值，可求得其状态转移矩阵为m1χm1m2χm2方法4.化有限项法A阵的特征多项式是A的零化多项式。(1)

根据凯莱-哈密顿定理(不加证明)：即：可按下式计算。（1）对于A

的特征值为两两相异的情况，(3)

可按下式计算。（2）A

的n个特征值均相同，为SeeP49（3）当A

的n

个特征值有重特征值和互异特征值时,根据以上两种方法求得。

例3.5

已知系统矩阵

试用化有限项法求其状态转移矩阵

解：

这种情形计算较繁杂!

例3.6

已知系统矩阵

试用化有限项法求其状态转移矩阵

解：3.3线性定常非齐次状态方程的解非齐次方程是指系统输入向量不等于零时的方程在输入向量作用下的运动，为强迫或受控运动。一.直接求解法(积分法)系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；

另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。初始状态引起输入为零自由运动零输入响应输入向量引起初始状态为零强迫运动零状态响应选择满足要求(获得所需的最佳轨线)二.拉普拉斯变换法求解以上两种方法求解结果完全相同

例3.7

已知线性定常系统的状态方程为

求系统状态方程的解。解：3.4

线性时变系统状态方程的解线性时变系统：其中，为维状态向量，为维输入向量，为维输出向量，和分别为和的时变实值矩阵。如果的所有元素在时间区间上均是连续函数,则对于任意的初始状态和输入向量,解存在且唯一。解为：一、线性时变齐次状态方程的解系统描述二、线性时变系统的状态转移矩阵的计算和性质级数近似法计算:线性时变系统状态转移矩阵的基本性质：可逆性传递性偏导数

例3.8

线性时变系统齐次状态方程为

计算系统状态转移矩阵(t,0)。解：其中：无穷级数，计算多少项，取决于精度的要求。解为：三、线性时变系统非齐次状态方程的解零输入响应零状态响应直接传输部分输出响应：3.5

线性离散系统状态方程的解一、线性定常离散系统状态方程的解1.迭代法求解（递推的数值解法）零输入响应零状态响应直接传输部分2.Z变换法求解二、离散系统的状态转移矩阵

例3.9求线性定常离散系统

的解。解：1.用迭代法求解可继续迭代下去，直到所需要的时刻为止。2.用Z变换法求解Z反变换得：上式表明，迭代法是一个数值解，Z变换是一个解析解，且两种方法计算结果完全一致！三、线性时变离散系统状态方程的解零输入响应零状态响应直接传输部分3.6

线性连续时间系统的离散化假设：(1)等采样周期T；(3)采样周期的选择满足shannon采样定理一、线性定常连续系统状态方程的离散化对线性定常连续系统：离散化后的状态空间表达式为：零阶保持等效…G(T),H(T)取决于采样周期T；T确定时G,H常阵；T<<1时，G(T)=I____Identitymatrix

例3.10试求线性定常连续系统的状态方程

的离散化方程。解：二、线性时变连续系统状态方程的离散化对线性定常连续系统：离散化后的状态空间表达式为：当采样周期T

较小，在满足所要求精度的前提下，用近似的离散化方程，计算就容易得多，近似方法就是用差商代替微商，即令三、近似离散化连续系统离散化的几点说明：(1)近似离散化是一般离散化的特例(2)定常系统离散化是时变系统离散化的特例(3)一般说来，没有精确离散化(4)离散化是有条件的，“连续化”是无条件的(5)连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，反之则未必小结系统运动分析，也就是给定输入和初始状态求状态方程的解1.状态转移矩阵计算（线性定常）2.线性定