中考数学复习活跃的一次函数

PAGEPAGE4活跃的一次函数一次函数似乎无处不在．它活跃在各类试题中，兹举例说明如下．一、一次函数在平面几何图形中例1如图1，平面直角坐标系中，正△ABC的顶点B，C的坐标分别为B(1，0)，C(3，0)，过坐标原点O的一条直线MN分别与边AB，AC交于点M，N，若OM＝MN，求点M的坐标．分析与思考本题看似简单，但具体做起来却又似乎无从下手．如图1，尝试过点M作MP与AC平行，交x轴于点P．我们的整体思路是，若能求出直线AB的解析式以及直线MP的解析式，进而再求出直线MP和直线AB的交点M的坐标，那么即可顺利解决问题．由于已知OM＝MN，我们又过点M作MP与AC平行，所以OP＝PC．但OC＝3，所以点P的坐标为P(，0)．由于点B，C的坐标已知，且△ABC为等边三角形，容易求得点A的坐标为A（2，）．又点C的坐标为C(3，0)，所以，可得直线AB的解析式为y＝x－，① 直线AC的解析式为：y＝－x＋3． 而直线MP与直线AC平行，所以可以设出直线MP的解析式为y＝－x＋b．但直线M过点P，所以将点P的坐标代入y＝－x＋b中即可求出b的值来，由于点P的坐标为P（，0），即把x＝，y＝0代入y＝－x＋b中，求出b的值为b＝．这样，我们又求得直线MP的解析式为y＝－x＋．②最后要求点M的坐标，只要求出直线AB和直线MP的交点即可．这样，我们由上述的讨论过程中所得的①②联立方程组，即可解得点M的坐标为M(，)．注本例较为经典，解决本例的过程中涉及到的诸多方面的数学知识的综合应用．例2如图2，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿着AM折叠，点B恰好落在x轴上的点N处，则直线AM的解析式是什么？分析与思考仔细分析条件可知，直线AM就是∠OAB的平分线所在的直线，因此只要求出点M的坐标即可，因为点A，B的坐标易于求出来，依据题意可以求得它们分别为A(6，0)，B(0，8)，所以OA＝6，OB＝8，AB＝10，这样，依据题意和折叠性质，得 AN＝AB＝10．MN＝MB．设OM＝x，则BM＝MN＝8－x，ON＝AN－AO＝10－6＝4．在Rt△MON中，由勾股定理，得 OM2＋ON2＝MN2．即得x2＋42＝（8－x）2，解之得x＝3．所以OM＝3，点M坐标为M(0，3)，又A点的坐标为A(6，0)，到此直线AM的解析式就不难求出来了．二、一次函数在格点中例3若直线y＝－2x＋k（k为正整数）与坐标轴围成的三角形内的整点（含有边界）有100个，则k的值为()(A)9 (B)16 (C)18 (D)22分析与思考由于求整数解，所以对于k分奇数与偶数两种情况讨论：(1)当k为偶数时，令k＝2m，则三角形中所包含的整点的个数为：当横坐标x＝0时，三角形内的整点的纵坐标分别为： y＝0，1，2，3，…2m，共(2m＋1)个； 当横坐标x＝1时，三角形内的整点的纵坐标为： y＝0，1，2，3，…(2m－2)，共(2m－1)个； 当横坐标x＝2时，三角形内的整点的纵坐标为： y＝0，1，2，3，…（2m－4），共(2m－3)个； … 当横坐标x＝m时，三角形内的整点的纵坐标为： y＝0，共1个， 所以整点坐标的总个数为： 1＋3＋5＋…＋(2m－1)＋(2m＋1)＝(m＋1)2．依据题意有(m＋1)2＝100，所以m＝9，或m＝－11（舍去），此时k＝18； (2)当k为奇数时，设k＝2m＋1，同理可得整点的总个数为m2＋3m＋2，但此时方程m2＋3m＋2＝100无整数解．故本例正确的答案应选C．例4各边长都是整数，且三边长度的和为50的三角形共有多少个？分析与思考设三角形的三边长分别为x，y，z，由于对称性，不妨设x≤y≤z．依据题意可得x＋y＋z＝50，所以x＝50－x－y，于是我们有y≥x；①由三角形的构成条件，得x＋y>z，即x＋y>25；②又由y≤z得x＋2y≤50．③这样问题转化为：求在上述①②③的条件下的整数解的组数共有多少组？进一步可转化为：求在上述①②③的条件下的所确定的平面区域中的整点的个数．于是在图3所示的平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x，x＋y＝25，x＋2y＝50这三条直线所围成的平面区域．显而易见，由直观可以得到问题的解应为52种．即若各边长都是整数，且三边长度的和为50的这样的三角形共有52个．三、一次函数在实际生活中例5某制衣车间有A、B、C、D共四个组，各组的生产能力如表格所示．现在上衣及裤子要配套生产（一件上衣及一件裤子为一套），问在一周内内（七天）这四个组最多能生产多少套？分析与思考乍一看，似乎无从下手，条件有点不明朗．但我们仔细观察上述表格，我们可以看出A，B，C，D四个组的每天生产上衣与裤子的数量之比分别为：，，，并且有>>>．这样我们可以看出D组做上衣的效率最高，C组做裤子的效率最高，于是，只有让每天生产上衣效率最高的D组做上衣，生产裤子效率最高的C组做裤子才能使得所做的衣服的套数最多，也就是说，D组7天里面一直都做上衣，C组7天里面一直都做裤子．而对于A，B两个组，我们可以分别设出A组7天里面做了x天上衣，其余的(7－x)天做裤子，B组做了y天上衣，其余的（7－y）天做裤子．这样，A，B，C，－D四个组7天总共生产上衣的件数是：6×7＋8×＋9y(件)；生产裤子的总条数是：11×7＋10(7－x)＋12(7－y）（条）．依据题意，上衣与裤子要配套，所以有以下关系式成立，即有42＋8x＋9y＝77＋10（7－x）＋12（7－y），于是我们由此可得y＝9－x（0≤x≤7）．①设W＝42＋8x＋9y＝42＋8x＋9(9