幻方填入规律

幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1,2,3,……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。例如：把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。276951438n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2,n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。1、奇数阶幻方n为奇数(n=3,5,7,9,11……)(n=2*k+1,k=1,2,3,4,5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4,8,12,16,20……)(n=4k,k=1,2,3,4,5……)先

说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1,称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写:12345678910111213141516将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1=4*4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，和制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。下面是8阶幻方的作法：(1)先把数字按顺序填。然后小方阵TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 49 10 11 1217 18 19 2025 26 27 2833 34 35 364142434449 50 51 5257 58 59 60按4*4把它分割成按4*4把它分割成2*2个5 6 7 813 14 15 1621 22 23 2429 30 31 3237 38 39 4045 46 47 4853 54 55 5661 62 63 6492 99 76 83 9092 99 76 83 90TOC\o"1-5"\h\z64 2 3 6195554121747462040262737 132343529412322444915145285859 5，单偶阶幻方

60 6 7 5713 51 50 1621 43 42 2436 30 31 3328 38 39 2545 19 18 4853 11 10 564 62 63 13)(n=4k+2,k=1,2,3,4,n为偶数，且不能被4整除(n=6,10)(n=4k+2,k=1,2,3,4,以n=10为例。这时，k=2(1)把方阵分为A,B,C,D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。ACTOC\o"1-5"\h\z17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9

BD6774515865735557646654566370726062697153616875525942492633409880 82 89 91 48 30 32 39 419880 82 89 91 48 30 32 39 418587 19 21 3 60 62 69 71 538587 19 21 3 60 62 69 71 537981 889597293138454785 87 9496783537444628869310077843643502734(2)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。172415677451586523141673555764661724156774515865231416735557646613202254566370721320225456637072101219216062697153111825616875525910121921606269715311182561687552599299768390424926334092997683904249263340988082899148303239419880828991483032394179818895972931384547798188959729313845478587949678353744462885879496783537444628869310077843643502734869310077843643502734(3)将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。92998 1567 7451 58 659880 7 14 1673 555764 664 6 88 952254 56 6370 7286 93 25 2 9 61 68 75 52 5986 93 25 2 9 61 68 75 52 5998 80 7 14 1698 80 7 14 16；735532 64 66TOC\o"1-5"\h\z17 24 76 83 90 42 49 26 33 4023 5 82 89 91 48 30 32 39 4179 81 13 20 97 29 31 38 45 4710 12 94 96 78 35 37 44 46 2811 18 100 77 84 36 43 50 27 34(4)在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1歹U。(注：6阶幻方由于k-1=0所以不用再作B、D象限的数据交换)一I9299 1 8156774515865III98 80 7 14 1673 55 57 6466III4 68895 22 54 5663 7072II85871921 36062697153II869325 2 96168755259II17 247683 904249 263340II23 58289914830323941II79811320972931384547II101294967835 37444628II11 1810077843643 5027 34III(5)将B象限标出的这些数，和‘D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。92 99 1 8 15：677426 58 654 6 88 95 22 54 56 38 70 724 6 88 95 22 54 56 38 70 72TOC\o"1-5"\h\z85 87 19 21 386 93 25