船舶流体力学大三上-课件c

2.2

迹线和流线上一节主要从数学上描述流体运动。在本节，将讲述流体运动的几何表示。2.2.1

迹线定义：流体质点在连续时间内描绘出来的曲线，就是迹线(pathline)。由于迹线是流体质点运动过程的路径，在Lagrange法中，就是流体质点的位置函数：x

x(a,

b,

c,

t)

y

y(a,

b,

c,

t)z

z(a,

b,

c,

t)2.2.1

迹线2.2.1

迹线2.2.1

迹线一般情况给出的是Euler方法中的速度场，即:V

V(r,t)

V(x,

y,

z,

t)流体质点在

dt

时间内由空间点(x,y,z)移动到空间点(x+udt,y+vdt,z+wdt)，即移动了dr距离，迹线方程为：或写成d

r

V

d

t式中x,

y,z是t

函数。流场中每一点在不同时刻都有流体质点通过，而各个流体质点都有自己的轨迹，因此要求迹线具体形状，必须给出初始条件以确定积分常数。

d

x

u

d

t

d

y

v

d

t

wdt

d

z

d

tdx

dy

dz

u

v

w2.2.1

迹线2.2.2

流线∴其中t

为参变量，积分时作常数处理。定义：速度场的矢量线，就是流线(streamline)，它是一条瞬时曲线，这一曲线上流体速度均与此线相切。在流场中画出一系列假想的曲线，在任一瞬间，使曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质点的速度方向一致，这些曲线就叫做这一时刻流体的流线。根据定义，即V与dr平行，因此流线方程为：V

dr

0dx

dy

dzu

v

wV

dr

02.2.2

流线已知二维速度场1

txu

x

1

;(2)求流线方程，已知条件为x

a,y

1

,

t

0t

02.2.2

流线,v

y，(1)求迹线方程，已知条件为y

bt

0解：(1)迹线方程为：d

y

,d

x

xdt

1

tdt

y积分后可得ln

x

lnt

1

ln

C1,ln

y

t

ln

C2即1x

C

1

t

,22y

C

ex

/

C11y

C

et

,由xy

1

,

t

0

1

，得12C

1,

C

1所以迹线方程为：y

ex1(2)流线方程为1

t

d

x

1

d

yx

y1

t

ln

x

ln

y

ln

Cx1t

Cy积分可得即由

x

yt

0

t

0

a,

b所以在

t

=0

时过(a，b)点的流线方程为：得

C

a

by

b

xa2.2.2

流线流线性质：具有瞬时性。切线方向为速度方向，流线速度高，稀处速度低。流线在流场中不能相交或分叉，

交叉点，则该点速度必为零（驻点），或无限大（奇点）。流线不能在流体内中断。由于流场内各点速度矢量与流线相切，流体不能穿过流线，亦即可将流线视为固壁。2.2.2

流线流管

(streamtube)作一任意封闭曲线C，在C上每一点作出该瞬时流线，这些流线构成的管状曲面称为流管。流管具有类似流线性质，具有瞬时性。当流体作定常运动时，流管形状将不随

t

改变，就象真管子一样。流管横截面积称为流管截面，若一段流管两端的横截面积分别为A1和A2，截面上法向平均流速为v1

、v2

，则根据质量守恒定理，对不可压流有V1A1=V2A2=Q，若A→0，则V→∞，实际流动不可能，因此流管不可能在流场中断，它只能始于及终于流场边界或自行封闭或伸展到无限远。2.2.2

流线体积流量质量流量重量流量S对于封闭曲面S，均取外法线方向为正，此时流量为：2.2.2

流线流量

(flux)：单位时间内通过某一空间曲线面的流体体积（质量、重量）称为体积（质量、重量）流量。Gauss定理Q1

vnds

V

ndsS

SQ

2

v

ndsSQ3

gvnds

V

ndS

VdS

2.3

流体微团的变形和旋转理论力学中，刚体运动可分解为平动和转动两部分：V

V

M

ω

rVMrω参考点M运动速度动点到参考点M矢径旋转角速度在流体力学中，为研究流体运动，在流场中取出一微团，微团上某点M(x,y,z)，其邻近一点为

M

'(x

dx,y

dy,z

dz)，设

M处流体速度为V，则(

2)(

4)(

3

)2

y

x

[

u

u

dx

1

(

u

v

)

dy

1

(

u

w

)

dz

x

2

y

x

2

z

x(1)2

z

x

(

5

)

V

M

x

V

M

y

V

M

z

x

y

zM

'V

VM (

u

u

dx

u

dy

u

dz

)

i

(

)

j

(

)

k

x

y

z

1

(

u

v

)

dy

1

(

u

w

)

dz

]

i

(

)

j

(

)

k2.3

流体微团的变形和旋转(1)

xxzyxyxz(

2

)

(

3

)

(4)

(

5

)

u

x

1

(

v

u

)2

x

y

1

(

u

w

)

w

)2

z

x

1

(

u

v

)2

y

x

1

(

u2

z

x式中：2.3

流体微团的变形和旋转

u

,

x

v

,

yxxyyzz

wz下面对各分项作出物理意释(1)的物理意义2.3

流体微团的变形和旋转只考虑x向直线变形单位长度伸长：x

u

d

x

d

t

/

d

x

udt

x

x单位长度伸长速率：x

u

dt

xxxyyzz同样可说明：

xx,

yy

,

zz

v

,

y

w

z它表示流体微团在x方向上的伸长或缩短的快慢。称为线变形速率。2.3

流体微团的变形和旋转zzx

y

z

xx

yy

u

v

w

V很显然有：

V

是速度的散度(divergence

ofvelocity)，表示单位体积单位时间的体积变化率(volumetric

strain/dilatation

rate,

or

rate

of

changeofvolume

per

unit

volume)。在x方向的体积变化：

V

u

u

x

y

z

t

u

y

z

t

u

x

y

z

tx

x

x

在x方向单位体积单位时间的体积变化：as

x,

t

0V

t

x

y

z

t

xu

x

y

z

t

V

x

x

u2.3

流体微团的变形和旋转同样可得在y和z方向单位体积单位时间的体积变化：as

y

,

z

,

t

0

Vy

Vz

wV

t

V

t

v

,

y

z因此单位体积单位时间的总体积变化：

V

u

v

w

=

Vas

x,

y,

z,

t

0V

t

x

y

z可用速度散度

V

表示流体体积变化率。

V

0

不可压缩流体2.3

流体微团的变形和旋转

V

0,

表示该流体微团不断有流体流出，称为源(source)。

V

0,

表示该流体微团不断吸收流体，称为汇(sink)。

V

0,

不可压缩流体的速度场是一个无源场。2.3

流体微团的变形和旋转

xy

,

xz

,

zy(2)的物理意义x

,

y

,

z(3)的物理意义2.3

流体微团的变形和旋转对一个流体微团，在时间dt内OA的角度变化为：

tg

v

xt

/

x

v

tx

x2.3

流体微团的变形和旋转因此OA的角速度(angular

velocity)为：as

x,

t

0

d

vdt

x同样可以得到OB的角速度：as

y,

t

0

d

udt

y2.3

流体微团的变形和旋转Shanghai

JiaoTong

Universityxy

1

(

v

u

)

1

(

)2

x

y

2表示流体微团中某一直角的角度变

形速率

(rateofangulardeformation)，称为角变形速率或称剪变形角速度。当xy

0

时，表示角度变小，反之，角度变大。yz同样有：

1

(

w

v

)2

y

z

1

(

u

w

)2

z

x

zx2.3

流体微团的变形和旋转z

1

1

v

u

2

2

x

y

表示流体微团的旋转角速率

(rate

of

rotation，angularvelocity)。当z

0

时，流体

微团沿逆时针方向旋转，反之，沿顺时针方向旋转。同样有：

1

(u

w)2

z

xx

1

(w

v

),2

y

zy2.3

流体微团的变形和旋转Dilatation

(3)+(rigid

body

motion)(change

in

volume)Angular

deformation

(4)

(change

in

shape)Translation

(1)

Rotation

(2)

General

motion

=

+

+(1)VM

'

[u

zdy

ydz

xxdx

xydy

xzdz]i(3)(2)

(4)

()j

()k2.3

流体微团的变形和旋转Helmholtz速度分解定理：流体微团的运动(速度)可以分解为四部分，即(a)

平移运动；(b)

旋转运动；(c)线变形运动；(d)

角变形运动。2.3

流体微团的变形和旋转

ujijj

i2

x

x

shear

rate

tensor

E

=

e

1

ui22xx

y

zi

j

k

x

y

zu

v

w

y

z

z

旋转速度

(矢量)

rate

of

rotation

ω

i

j

k

1

ζ

(vorticity)vorticity

ζ

=

Ω

V

(curl

of

velocity)2yx

x

y2z

w

v

i

u

w

j

v

u

k涡量变形率

(张量)

22.3

流体微团的变形和旋转Helmholtz速度分解定理可以写成张量形式：令r

dx

i

dy

j

dz

kV

V0

Er

ω

r有平移速度变形速度旋转角速度2.3

流体微团的变形和旋转2.4

有旋运动和无旋运动定义：如果流场中某一区域内处处有涡量为零，＝0，则流体在这一区域的运动是无旋的(irrotational)，否则，流体的运动就是有旋的(rotational)。Ω

x

,

y

,

z

＝0z

xy

v

u

0,

w

v

0,

u

w

0x

y

y

zz

x例子1已知二维速度场

u

y,

v

x，问流场是有旋运动还是无旋运动，运动流体微团会否发生变形？z解：

v

u

2,

0,

0x

yx

y所以是有旋运动。

yy

zz

0

xz

yz

0

xx

xy由上分析，该运动是有旋，但无变形。区流动。2.4

有旋运动和无旋运动例子2，问流场是有旋运动还是无旋运动，运动流体微团会否发生变形？解：y

x已知二维速度场u

2

x

2，

v

y

2x

22

y

2xyz2

x

y

0

，

1

(

v

u

)

0此流动为有变形、无旋运动，可的

区外运动。2.4

有旋运动和无旋运动xy

y

x2

(

x

2

y

2

)

z

x

0xxyyzz

0,

0

xy

此流动为有变形、无旋运动，可的

区外运动。该运动是有旋，但无变形。用来描述

区流动。2.4

有旋运动和无旋运动例子3xx

yy

zz

011

(vyvx

vmax

y

y

)

h

(1

h)

02

xyzxyx

y

0,

(2

xv

vx

v

max

y

)

h

(1

y

/

h)

0(2

y

y

2

/

h

),

v

0h直线运动u

v

max这是一种有旋、有变形的流动。2.4

有旋运动和无旋运动例子4匀速直线运动

u

u0

const,

v

0xx

yy

zz

0xy

yz

zx

0x

y

z

0是一种既无旋又无变形的运动。2.4

有旋运动和无旋运动例子5平面直角坐标系中的无旋条件为v

u

0x

y试导出平面极坐标系下无旋条件的表达式。解：平面极坐标

(r,

)

与直角坐标(x,

y)之间的关系为：x

r

cos,

y

r

sinx2这里：

r

y2x

arctan(

y

)两坐标系中速度间的关系为：u

vr

cos

v

sinv

vr

sin

v

cos2.4

有旋运动和无旋运动2.4

有旋运动和无旋运动微分算子之间的关系为

x

y

cos

sin

r

x

r

y

r

x

y

x

y

r

sin

r

cos

x

y

x