高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总

随意角与弧度制知识梳理:一、随意角和弧度制1、角的观点的推行定义：一条射线OA由本来的地点，绕着它的端点O按必定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或能够简记成。注意：1）“旋转”形成角，突出“旋转”2）“极点”“始边”“终边”“始边”常常合于x轴正半轴3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。例1、若90135，求和的范围。（0,45）（180,270）2、角的分类：因为用“旋转”定义角以后，角的范围大大地扩大了。能够将角分为正角、零角和负角。正角：依据逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：依据顺时针方向旋转的角。例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3．3、“象限角”为了研究方便，我们常常在平面直角坐标系中来议论角，角的极点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在座标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、30?；390?；?330?是第象限角300?；?60?是第象限角585?；1180?是第象限角?2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）.①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③{第一象限的角}④以上都不对2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（B）A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C例3、写出各个象限角的会合：例4、假如第二象限的角，试分别确立2,的终边所在地点.2解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），2当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；2当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.2∴是第一或第三象限的角.2拓展：已知是第三象限角，问是哪个象限的角3∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜＜90°+k·120°.3①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.3故的终边在第一象限.3②当k=3m+1(m∈Z)时，可得180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).3故的终边在第三象限.3③当k=3m+2（m∈Z）时，可得300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.3故的终边在第四象限.3综上可知，是第一、第三或第四象限的角.34、常用的角的会合表示方法1、终边相同的角：1）终边相同的角都能够表示成一个0?到360?的角与k(kZ)个周角的和。2）全部与?终边相同的角连同?在内能够组成一个会合S

|

k360,k

Z即：任何一个与角

?终边相同的角，都能够表示成角

?与整数个周角的和注意：1、k

Z2、是随意角3、终边相同的角不必定相等，但相等的角的终边必定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不独一。例1、（1）若角的终边与8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相5

4同的角为

。若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5(k为整数)因此有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0时，有2π/5与θ/4角的终边相同的角k=1时，有9π/10与θ/4角的终边相同的角（2）若和是终边相同的角。那么在X轴正半轴上例2、求全部与所给角终边相同的角的会合，并求出此中的最小正角，最大负角：（1）210；（）148437．2例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260．2、终边在座标轴上的点：终边在x轴上的角的会合：|k180,kZ终边在y轴上的角的会合：|k18090,kZ终边在座标轴上的角的会合：|k90,kZ3、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的会合：|k18045,kZ终边在yx轴上的角的会合：|k18045,kZ4、终边相互对称的角：若角与角的终边对于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边对于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：

360k360k180180k角与角的终边相互垂直，则角与角的关系：360k90例1、若k360，m360(k,mZ)则角与角的中变得地点关系是（）。A.重合B.对于原点对称C.对于x轴对称D.有对于y轴对称例2、将以下各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式（1）19（2）3153例3、设会合Ax|k36060xk360300,kZ,Bx|k360210xk360,kZ,求AB,AB.二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制—另一种胸怀角的单位制，它的单位是rad读作弧度定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。BCl=2rr2rad1radArAoo如图：?AOB=1rad，?AOC=2rad，周角=2?rad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角?的弧度数的绝对值l（l为弧长，r为半径）r3、用角度制和弧度制来胸怀零角，单位不一样，但数目相同（都是0）用角度制和弧度制来胸怀任一非零角，单位不一样，量数也不一样。4、在同一个式子中角度、弧度不能够混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的交换关系：∵360?=rad180?=rad1?=rad0.01745rad1801rad18057.305718'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.例1、把6730'化成弧度解：6730'671∴6730'rad6713rad218028例2、把3rad化成度5解：3rad318010855例2、将以下各角从弧度化成角度（1）rad（2）rad?（3）3rad365例3、1?终边在x轴上的角的会合2?终边在y轴上的角的会合3?用弧度制表示：终边在座标轴上的角的会合解：1?终边在x轴上的角的会合S1|k,kZ2?终边在y轴上的角的会合S2|k,kZ23?终边在座标轴上的角的会合S3|k,kZ2三、弧长公式和扇形面积公式lr；S1lR1r222例1、已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是1或4.例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为1，求这连个角的大小分别为。例3、直径为20cm的圆中，求以下各圆心所对的弧长⑴4⑵1654403解：r10cm⑴：()lr103cm3⑵：165165(rad11rad∴1155( )18012126例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度是多少度扇形的面积是多少（2）一扇形的周长为

20cm，当扇形的圆心角

等于多少弧度时，这个扇形的面积最大解（1）设扇形的圆心角是因此扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,

rad，因为扇形的弧长是

r

,∴

=

-2=(

-2)

×

180≈×°≈°≈

65°26′,∴扇形的面积为

S=1r2

=1（

-2）r2.22）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r(0＜r＜10)①1扇形的面积S=lr，将①代入，得S=1(20-2r)r=-r

2+10r=-(r-5)

2+25,2因此当且仅当

r=5

时，S有最大值

25.此时l=20-2

×5=10,

=lr

=2.因此当

=2rad

时，扇形的面积取最大值

.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大最大面积是多少解设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.1R24,（1）依题意，得2R2R10,∴22-17+8=0,∴=8或1.28＞2π,舍去,∴=1.2(2)扇形的周长为40,∴R+2R=40，S=1lR=1R=1R·2R≤1R2R2222442当且仅当R=2R,即R=10,=2时面积获得最大值，最大值为100.（七）随意角的三角函数（定义）1．设?是一个随意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离2y2y20rxx22．比值y叫做?的正弦记作：siny；比值x叫做?的余弦记作：cosxrrrr比值y叫做?的正切记作：tany；比值x叫做?的余切记作：xxyxcoty比值r叫做?的正割记作：secr；比值r叫做?的余割记作：xxyrcscy注意突出几个问题：①角是“随意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应当是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。②实质上，假如终边在座标轴上，上述定义相同合用。③三角函数是以“比值”为函数值的函数r0，而x,y的正负是随象限的变化而不一样，故三角函数的符号应由象限确立三角函数在各象限的符号：⑤定义域：ysinycotycosysecytanycsc4.是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos=2x,则sin=10.44.已知角的终边落在直线sincos2.y=-3x(x＜0)上，则cossin例8、已知?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值y解：x2,y3,r22(3)213ox∴sin?=?31313tan?=?3P(2,-3)2

213cos?=132cot?=?313sec?=2例9、求以下各角的六个三角函数值0⑵?⑶3⑷

csc?=?

13322解：⑴⑵⑶的解答见P16-17⑷当?=时x0,yr2∴sin=1cos=0