研一上学期课程课件-数值分析

数值分析郑权北方工业大学理学院§1

数值分析的对象、作用与特点一、数学科学与数值分析数学是科学之母，科学技术离不开数学。“高科技本质上是一种数学技术”已经越来越为人们所共识。数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与实现.实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计并在上机上计算求出结果第1章数值分析与科学计算引论二、计算数学与科学计算计算数学是各种计算性学科的共性基础，是兼有基础性、应用性的数学学科的一个分支.科学计算继理论研究和科学实验之后成为现代科学发展的第三种

。三、数值分析的基本内容1、数值

近插值法函数 近与曲线拟合数值积分与数值微分2、数值代数线性代数问题(方程组和特征值)非线性方程(组)数值解法3、常微方程数值解法和偏微方程数值解法四、数值分析的特点2ln

2

1

1

vs22x

x

ln(1

x)3ln 2(1

312x3(x

ln

1

x1

x2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性3、良好的计算复杂性4、数值实验Cramer法则

vs

Gauss消去法.1、面向计算机五、如何学好数值分析1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析2、注重实际问题，练习、作业3、积极动手上机实践一、误差来源、分类模型误差观测误差截断误差或方法误差§2

数值计算的误差截断误差：Rn

(x)舍入误差nf

(n)

(0)xn!1!

2!f

(0)

f

(0)f

(x)

Pn(x)

f

(0)

x

2x

(n

1)!R

3.14159

0.0000026.数制转换、机器数.相对误差：,e

**xre

r

r相对误差限：

*

|

e*

|的一个上界..x

*e

**r或e

二、误差、有效数字定义1

绝对误差，简称误差：e*

x

*

x,

其中x

*为准确值x的近似值.误差限：*

|

e*

|的一个上界.例如，毫米尺765

x

0.5例如，x

10

1,

y

1000

5.

0.5%.|

y

||

x

|

x

10%,

*

y

*x

3.1415926

,5

5

5x*

3.1416, |

x*

|

0.0000073

*

0.000008.取三位

x*

3.14,

|

x*

|

0.0015

*

0.002,3

3

3取五位定义2

若近似值x

*的误差限是某一位数字的半个单位,该位到x

*的第一位非零数字共有n位，就说x

*有n位有效数字.即

x*

10m

(a1

a2

101

an

10(n1)

)

(2.1)其中a1

0

.

并且例1

42.195,

0.0375551,8.00033,

2.71828,按四舍五入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.2x

x

*

1

10mn1

(2.2)例2

三位有效数字重力加速度g,若以m/s2为单位,

g≈9.80m/s2,若以km/s2为单位,g≈0.00980m/s2,2g

9.80

1

102

,按(2.1)，m

0,n

3.2g

0.00980

1

105

,按

，m

,

n3

)13.2.而相对误差限相同：121绝对误差限

*

12510

.*2绝对误差限r

*

0.005/9.80

0.000005

/

0.00980

.1210mn1*

102.10(n1)；2a11定理１设近似数x

*

表示为x*

10m

(a1

a2

101

al

10(l1)

)

(2.1)其中a1

0.若x

*具有n位有效数字，则其相对误差限为r

*

10(n1)，则x

*12(a1

1)r反之，若x

*的相对误差限为

*

至少具有n位有效数字.例３要使20的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字三、数值运算的误差估计四则运算，设x1,x2为准确值,x*,x*为近似值，则误差限1

2

(

x*

x*

)

(x*)

(x*

),1

2

1

2

(

x*x*

)

|

x*

|

(x*

)

|

x*

|

(x*),1

2

1

2

2

1.2

1*

21

2|

x2

||

x*

|

(x*

)

|

x*

|

(x*)

(

x*

/

x*

)

1

2一元函数f

(x)，x为准确值,x

*为近似值,由Taylor公式2f

(x)

f

(x*)

f

(x*)(x

x*)

f

(

)

(x

x*)2

,

在x,x

*之间,得f

(x*)的误差限

(

f

(x*))

|

f

(x*)

|

(x*).多元函数f

(x1,,xn

)，x*,,x*为准确值x

,,x

的近似值,1

n

1

n同理得f

(x*,,x*

)的误差限1

nk

(x*

).k

1

xk

n

f

*

(

f

*)

d

l

(s*)

s

(l*)例4误差分析简介概率分析法向后误差分析法§3

误差定性分析、避免误差危害1x

gx

fl

g(a1

1,,

an区间分析法x

[

,

],

y

[

,

],

xy

一、

问题与条件数考虑计算函数值问题,pxf

(

x)f

(

x)

C

,xxf

(

x*)

f

(

x)f

(

x)Cp称为计算函数值问题的条件数.例如f

x

x1(0,)C

p

10

f

,(11,)(f1.

02

1.2)

4,自变量相对误差为2%,函数值相对误差为24%.一般C

p

10认为是

.其他计算问题也要考虑条件数,

考虑是否

.二、算法的数值稳定性考虑初始数据误差在计算中的计误差.101问题.x n

0,,

d并1,估,xnexn例5

计算I

e定义3

一个算法若输入数据有误差,而在计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的,否则是不稳定的.n1

n

,I(

A)I0

0.6321,

n

1

nIn1I0

1

e1.

9I

*

0.0684,(B),

n

1,2,.(

I9

9,

8,2

10

101

1(

0.0)

684)e1三、避免误差危害的若干原则除了分清问题是否

和算法是否数值稳定外,还要考虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则.1.避免‘大数’除以‘小数’例6

仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组1.00

105

x1.00

y

1.001.00

y

2.001.00x1.00

y

1.00

1.00

105

x解：消x得，y

1.00错.为什么,怎么办？x

0001y

999899

(1.00

1.00

105

y

()20.

0

1.

10050)(2)

(1)105

1.00

105

x

1.00

y

1.00

x

0.0*0,

y

1.0*02.避免两个相近数相减例7

求解x2

16x

1

0.例8

计算A

10（7

1

cos

2。）.又如：当x,y接近时，lg

x

lg

y

？x

1

x

？当x,x

*

接近时，f

(x)

f

(x*)?３.防止‘大数’吃‘小数’例9

仿计算机在3位十进制下，100项

100项123

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01123４.减少运算次数（3.4）Pn

(x)

S0.作业

P19，5,

7.S

xS

a

, (k

n-1,,0)k k

1

k减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差.例10

计算多项式的值Pn

(x)

anxn

an1xn1

a1x

a0.秦九韶算法：Sn

an

,§1

引

言一、问题背景y

f

(

x)

?yi

f

(

xi

)

(i

0,1,,

n)求简单P(

x)，满足

P(

xi

)

f

(

xi

)

(i

0,1,,

n)应用：例如程控加工机械零件等。第2章

插值法二、一般概念设函数y

f

(

x)在区间[a,b]上有定义,

且已知它在点a

x0

x1

xn

b上的函数值y0

,

y1

,,

yn

.

若存在一个简单函数P(x)，满足条件P(

xi

)

yi

(i

0,1,,

n)

(1.1)则称P(x)为f

(x)的插值函数，点x0

,x1

,,xn为插值节点.若P(x)是一个次数不超过n的代数多项式P(

x)

a0

a1

x

an

xn

(其中ai为实数)

(1.2)则称P(

x)为插值多项式.

分段插值；三角插值.三、其他几何上、发展和实践上.本章：求出插值多项式,分段插值函数,样条插值函数；P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计.§2

拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如P(

x)

a0

a1

x

anxn的插值多项式的方法有多种.(1.2)(其中ai为实数)1几何意义.

kk,)(

k

11

yxk

L1y.x)(L先

n

时,1假定给定区间

x

xk[k],1

及端点函数值yk

(

),

kk1

ffy(xxk

1

),要求线性插值多项式1()xL，满足yk

1

ykxk

1

xk1k(

x

x

)kL

(

x)

y

已有公式k

1x

xkxk

1

xkxk

1

xkk

11L

(

x)

x

xky

y(2.3)（2.2）x

xkxk

1

xkk

1,

l

(

x)

xk

1

xk则所求线性插值多项式L1(

x)

yklk

(

x)

yk

1lk

1(

x),k

1x

xk令

l

(

x)

(2.3)（2.2）x

xkxk

1

xkk

1,

l

(

x)

xk

1

xk则所求线性插值多项式L1(

x)

yklk

(

x)

yk

1lk

1(

x),其中lk

(x)和lk

1(x)也是线性插值多项式，并满足lk

(

xk

)

1，lk

(

xk

1

)

0，lk

1(

xk

)

0，lk

1(

xk

1

)

1,称为线性插值基函数.几何图示.k

1x

xkl

(

x)

令二次插值多项式k

12

几何意义.k

12

yxk

L1y.

kk,)(k

,)(xL)，( 满足,,xxkkxk1，要求再

n

时,2假定给定插值节点2121(2.4)

0,()()和kk11kk11kk1kk11(kk

1kk11

1.

，llxlxx

，kk

kk(

)0(，)0())1(，)0(k)k01

llxlxx

，

kk11(

)0(，)1()

llx，lxx采用基函数法，基函数lxk

lx1l(x

),并满足是二次函数

.(

x

xk

)(

x

xk

1

)(

xk

1

x1

)(

xk

1

xk

1

)k

1l

(

x)

同理.(

x

xk

1

)(

x

xk

)(

xk

1

xk

1

)(

xk

1

xk

)l

(

x)

(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)

,(

xk

xk

1

)(

xk

xk

1

)k

1kl

(

x)

几何图示.于是，所求二次插值多项式L2

(

x)

yk

1lk

1(

x)

yklk

(

x)

yk

1lk

1(

x),(2.5).也就是,2L

(

x)

y(

x

xk

)(

x

xk

1

)k

1

(

xk

1

xk

)(

xk

1

xk

1

)

y(

x

xk

1

)(

x

xk

)k

1

(

xk

1

xk

1

)(

xk

1

xk

)

y(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)k

(

xk

xk

1

)(

xk

xk

1

)(i,

k

0,1,,

n)

(2.7)一般情况，对于给定的n

1个插值节点x0

x1

xn要求n次插值多项式Ln

(x)，满足Ln

(

xi

)

yi

,

(i

0,1,,

n).

(2.6)仍采用基函数法，求一个n次插值基函数lk

(

x),

满足k

il

(

x

)

0,

i

k1,

i

k可知

lk

(

x)

Ak

(

x

x0

)(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)(

x

xn

),二、拉格朗日插值多项式可知

lk

(

x)

Ak

(

x

x0

)(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)(

x

xn

),(

x

x0

)(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)(

x

xn

)(

xk

x0

)(

xk

xk

1

)(

xk

xk

1

)(

xk

xn

)(k

0,1,,

n)

(2.8)由lk

(xk

)

1得到Ak

,于是,kl

(

x)

从而得到在n

1个节点x0

,x1

,,xn上的n

1个n次拉格朗日基函数l0

(x),l1(x),,ln

(x).(2.9)于是，所求n次插值多项式nn

kkk

0

yxx(lL

)

(

)n

()

称为nx次L拉格朗日插值多项式.需要

…k

0n(,)1,,(2.8)(

xk

x0

)(

xk

xk

1

)(

xk

xk

1

)(

xk

xn

)(

x

x0

)(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)(

x

xn

)也就是,nk

j

xx

x

j

xj

0j

kkl

(

x)

(2.10)n1(

x)

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

xn

)引入记号则得n

1(

xk

)

(

xk

x0

)(

xk

xk

1

)(

xk

xk

1

)(

xk

xn

)于是(2.11)n1(

x)nk

0knL

(

x

)

yk

(

x

xk

)n

1(

x

)定理1在次数不超过n的多项式集合Hn中,满足条件(2.6)的插值多项式Ln

(x)

Hn是存在唯一的.由定理1得,m

0,1,,

n.nm

mk

kx

l

(

x)

x

,k

0n

lk

(

x)

1k

0练习

给定数据表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值多项式L3(x).解：在（2.9）中，取n

3并代入数据表值得L3

(

x)

0

l0

(

x)

1

l1(

x)

5

l2

(

x)

14

l3

(

x)

0

1

x(

x

2)(

x

3)

5

x(

x

1)(

x

3)

14

x(

x

1)(

x

2)1

(1)

(2) 2

1

(1) 3

2

1x(

x

1)(2

x

1).

x(2

x

2

3

x

1)

16

6j

0j

kjk

x

xx

x

jn或(

xk

x0

)(

xk

xk

1

)(

xk

xk

1

)(

xk

xn

)(

x

x0

)(

x

xk

1

)(

x

xk

1

)(

x

xn

)Rn

(

x)

f

(

x)

Ln

(

x)

其中

(a,b),

且依赖于x.(2.14)(n

1)!f

(n1)(

)定理2

设f

(n)(

x)在[a,b]上连续,

设f

(n1)(

x)在(a,b)内存在,Ln

(

x)是f

(

x)在n

1个节点a

x0

x1

xn

b上的满足条件(2.6)的插值多项式,

则对于任何x

[a,b],

插值余项n(

x

x

j

),j

0三、插值余项与误差估计(2.16)Mn1(n

1)!若

max

|

f

(n1)(

x)

|

Mn1

,则a

xbn1|

(

x)

|,n|

R

(

x)

|(2.17)

[

x0

,

x1

],2

2当n

1时,线性插值余项0

11

2R

(

x)

1

f

(

)

(

x)

1

f

(

)(

x

x

)(

x

x

),6当n

2时,抛物插值余项1

2

0

22

0R

(

x)

1

f

(

)(

x

x

)(

x

x

)(

x

x

),

[

x

,

x

],

(2.18)例1

已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,

sin0.36=0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.解：sin

0.3367

L1(0.3367)

y0

0.330365.0(0.3367

x

)1

0x1

x0y

y|

(

x

x0

)(

x

x1

)

|,2|

R1(

x)

|2M

0.3335

0.0167

0.003312M2

max

|

f

(

x)

|

sin

x1

0.3335,5

0.92

10

.1|R

(0.3367)

|x0

x

x1例1

已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,

sin0.36=0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.sin

0.3367

L2

(0.3367)

0.330365.(

x

x1

)(

x

x2

)2

(

x0

x1

)(

x0

x2

)1

(

x1

x0

)(

x1

x2

)20

(

x0

x1

)(

x0

x2

)解：L

(

x

)

y

y

y(

x

x1

)(

x

x2

)

(

x

x0

)(

x

x2

)166|

R2

(

x)

|6

0.828

0.0167

0.0033

0.0233

0.178

10

.2|

R

(0.3367)

|0

1x

)(

x

x2

)

|,

M3

cos(

x0

)

0.828,|

(

x

x

)(

x

3M作业

P48,

2.§3

差商与牛顿插值多项式一、插值多项式的逐次形成拉格朗日插值优缺点….当n

0时,令P0

(x)

a0,要使P0

(x0

)

f0只需a0

f0.当n

1时,令P1(x)

P0

(x)

a1(x

x0

)，.1

0x1

x011

1

11

0

0P

(x

)

f

只需a

已满足P

(x

)

f

,要使f

f

x2

x0

x1

x0

.当n

2时,令P2(x)

P1(x)

a2

(x

x0

)(x

x1)，已满足P2

(x0

)

f0和P2

(x1)

f1，要使P2

(x2

)

f2只需f2

f0

f1

f0x2

x12a依次递推。一般地，Pn

(x)

a0

a1(x

x0

)

a2

(x

x0

)(x

x1)

an

(x

x0

)(x

xn1),其中

01,,,

aaan为待定系数，由插值条件),

(0,1,,P)

fxni确定.为写出系数ak的一般表达式,引进差商定义.为函数f

(x)在两点xi

及xj的一阶差商.f

[

x

j

]

f

[

xi

]x

j

xif

[

xi

,

x

j

]

定义2

称为f

(x)在三点xi

,x

j

,xk的二阶差商.f

[

xi

,

x

j

,

xk

]

称jf

[

xi

,

xk

]

f

[

xi

,

x

]xk

x

j一般地，称(3.2)f

[

x0

,

x1

,,

xk

]

xk

xk

1为f

(x)在k

1点x0

,x1

,,xk的k阶差商(也称为均差).0k]

f

[

x

,,

x

]k

1f

[

x0

,,

xk

2

,

x二、差商及其性质.f

(x

j

)f

[x0

,,

xk

]

(1)

差商可以表示为函数值的线性组合，如:kj0k(3.3)jj1j1

jj

0

j)(x

x)(x

x

)(x

x

)(x

xf

[x

]f

[x

]

,命题成立.证明:数学归纳法.0

1当k

1时,

f

[

x

,

x

]

f

[x1]

f

[x0

]

0

1x1

x0

x0

x1

x1

x0差商的基本性质m2

mj0j

m1j

j1

j

j1设k

m

1时,命题成立,即mj

mj0jm1j

j1

j

j1

x

)(x

x

)(x

x

)(x

j

x0

)(xf

(x

j

)j

0m1f

(x

j

)0,

x

]

f

[x

,,

x0

x

)(x

x

(x)(x

x

)

x

)(xm1f

[x

,,

x

]

和1xm

xm1,

xm

]

f

[x0

,,

xm1]f

[x0

,,

xm

]

f

[x0

,,

xm2由m阶差商定义和上面两式知111f

(xm

)

1(xm

x0

)(xm

xm2

)

xm

xm1f

(xm1)

1(xm1

x0

)(xm1

xm2

)

xm

xm1

m2j

m

x

j

xm1x

xf

(x

j

)j0

(x

j

x0

)(xj

x

j1)(x

j

x

j1)(xj

xm2

)

xm

xm1于是，当k

m时命题成立.归纳法完成.f

(x

j

)mmj0

(x

x

)(x

x

)(x

x

)(x

x

)j

0

j

j1

j

j1

jf x0

xi

x

j

xk

f x0

x

j

xi

xk

],,,,,(2)

差商与所含节点的次序无关，称为差商的对称性，如:(3.4)f

[

x0

,

x1

,,

xk

]

(3)

差商还可表示为01kxk

x0]

f

[

xk

1,,

x

]f

[

x

,,

x,

[,a]bn!f

()n

()[,,]0

fxxn

(4)

如果

在含有

01

n(的,),区[,,]间

上具有an阶xb导xfx数x,则在此区间内至少有一点

,

使得(1)(2)(3.5)f

(x)

Nn

(x)定理由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一阶差商

二阶差商

三阶差商

…0x0f(x0)1x1f(x1)f[x0,x1]2x2f(x2)f[x1,x2]

f[x0,x1,x2]3x3f(x3)f[x2,

x3]

f[x1,x2,x3]

f[x0,x1,x2,x3]4┆x4┆f(x4)┆f[x3,x4] f[x2,

x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]

…┆

┆

┆由差商的定义,

可推出n次代数插值多项式的另一种形式:f

[

x]

f

[

x0

]

(

x

x0

)

f

[

x,

x0

]f

[

x,

x0

]

f

[

x0

,

x1

]

(

x

x1

)

f

[

x,

x0

,

x1

]f

[

x,

x0

,

x1

]

f

[

x0

,

x1

,

x2

]

(

x

x2

)

f

[

x,

x0

,

x1

,

x2

]

f

[

x,

x0

,,

xn1

]

f

[

x0

,,

xn

]

(

x

xn

)

f

[

x,

x0

,,

xn

]

f

(

x)

f

[

x0

]

(

x

x0

)

f

[

x0

,

x1

]

(

x

x0

)(

x

x1

)

f

[

x0

,

x1

,

x2

]

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

xn1

)

f

[

x0

,

x1

,,

xn

]

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

xn

)

f

[

x,

x0

,

x1

,,

xn

]三、牛顿插值多项式Nn

(

x)

f

[

x0

]

(

x

x0

)

f

[

x0

,

x1

]

(

x

x0

)(

x

x1

)

f

[

x0

,

x1

,

x2

]

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

xn1

)

f

[

x0

,

x1

,,

xn

]En

(

x)

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

xn

)

f

[

x,

x0

,

x1

,,

xn

]f

(

x)

Nn

(

x)

En

(

x).N

(i

0,1,,

n)

Nn

(

x)

Ln

(

x),

En

(

x)

Rn

(

x),f

(1n)()fx[xx,

n,

]

,

n

1)(!

,

(,ab

).0并有性质(4)再次得证.N1(

x)

f

[

x0

]

(

x

x0

)

f

[

x0

,

x1

]N2

(

x)

N1(

x)

(

x

x0

)(

x

x1

)

f

[

x0

,

x1

,

x2

],Nk

1(

x)

Nk

(

x)

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

xk

)

f

[

x0

,

x1

,,

xk

].练习

设当xi

1,2,3,4,5时,

f

(

xi

)

1,4,7,8,6.

求四次牛顿插值多项式.kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0111243237303481-1-1/3456-2-3/2-1/61/24N4

(x)

1

(x

1)

3

(x

1)(x

2)

0

(x

1)(x

2)(x

3)

(

1)

(x

1)(x

2)(x

3)(x

4)

(

1

)3

24

1

x4

9

x3

83

x2

33

x

124

12

24

12例2

给定f

(x)的函数表，求四次牛顿插值多项式，计算f

(0.596)的近似值，估计误差.做出差商表，得到N4

(

x)

0.41075

1.116(

x

0.4)

0.28(

x

0.4)(

x

0.55)

0.19733(

x

0.4)(

x

0.55)(

x

0.65)

0.03134(

x

0.4)(

x

0.55)(

x

0.65)(

x

0.8),f

(0.596)

N4

(0.596)

0.63192,R4

(

x)

(

x

x0

)(

x

x1

)(

x

x4

)

f

[

x,

x0

,

x1

,,

x4

],|

R4

(

x)

||

f

[

x0

,

x1,,

x5

]5

(0.596)

|

3.63

109.或由x

0.596和f

(x)

0.63192,得f

[x,x1,,x4

]的近似值.上节

任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分．差分及其性质已知f

(x)在n

1个等距节点xi

x0

ih(i

0,1,,

n)上的函数值f

(xi

)

fi

,

这里h为常数，称为步长.定义3

向前差分:

Δfk

fk

1

fk

,向后差分:

fk

fk

fk

1,,和分别称为向前,向后和中心差分算子.1212k k

k

中心差分:f

f

f

,四、差分形式的牛顿插值多项式利用一阶差分可定义二阶差分2

fk

fk

1

fk

fk

2

2

fk

1

fk

.一般地可定义m阶差分m

fk

m

1

fk

1

m

1

fk

;m

fk

m

1

fk

m

1

fk

1

.二阶中心差分:

2

fk

fk

1

fk

1

.2

2

fk

fk

1

,一阶中心差分:

fk

1

fk

1

fk

,

fk

12

2引进不变算子I：Ifk

fk

,

移位算子E

:

Efk

fk

1

.Δ

E

I

.则Δfk

Efk

Ifk

(E

I

)

fk

,可得到

E1

/

2

E

1

/

2

.同理，

I

E

1

,差分的基本性质:(1)

差分可用函数值表示，如：n

fk

(E

I

)n

fk

nj0nk

j

jknj0

j

(1)

j

n

f

,

(1)

j

n

En

j

f(2)

函数值可用差分表示，如：

nj0

kj

f

.

jk

n

j0

j

n

j

fkfnk

En

fk

(I

)n

fn,kj0k

jnnj0n

jkkn

f

(I

E1)n

f

(1)n

j

n

f

j

(1)n

j

n

E

jn

f,f

[

xk

,

xk

1,

xk

2]

]

fk

1

fk

fk

,(3)

差商与差分关系，如：f

[xk

,xk

12

fk2h2f

[

xk

1

,

xk

2]

f

[

xk

,

xk

1]xk

1

xkx

xk

2

k1hkm

f

.kk

mf

[

x

,,x

]

一般地，f

[

xk

,,xk

m

]

km!hm1m!hmm

f

.n

fk

hn

f

(n)

(),

(xk

,xk

n

).以及差分表:kfk∆

()∆2

(2

)∆3

(3

)4

(4

)…0f0∆f0(f1)∆2f

(2

f2

)0∆2f

(2

f3

)1…(2

f4

)∆2f2┆3

f0

(3

f3

)3

f1(3

f4

)┆4

f0

(4

f4

)┆1f1∆f1(f2

)2f2∆f2(f3

)3f3∆f3(f4

)4f4┆┆┆(上)1,的,等距节点插值公式已知f

(x)在n

1个等距节点xi

x0

函数值f

xi

fi

,

当)(

x

x0

th

t

1)时0(

，牛顿前插公式.0

02!

n!Nn

(x0

th)

f0

tf

t

t

1)(2

f

t

t

tn

f0

,

n

11)()(k

1t(t

1)(t

k

)h

,k

1

(

x)

kj

0j(

x

x

)

0n00110

(

)x(fxxNx)f[x,x,]xx0x1f0x1x2xx

n))([,,,]

011

fxxxxxnxxxx

([)])([,](

)(

m!h

mf[x,x]k,km

1

mfk

,.(n

1)!(n1)f

(

)Rn

(x)

(x

x0

)(x

x1)(x

xn

)

f

[x,

x0

,

x1,,

xn

],

f

[x,

x0

,,

xn

]

xx01]x1

nnn

nnnxxnnfnx1

]x,x[)f(x]N[)(xxnnxn2f1x],x,[x)x(

n

)(

n1(

n

)(

n1

xx01,x,则,,在牛顿插值公式点次序为(),((1n

)!(1)()

tttn

hfnn1(1)0

nx

,x

),nRx()2!当

xnx

th

t

(01时),nn!

fn

,tttn

1)(1)(n1)(

2

fnnnnxN

th)(

tff

ttn))([n,,,],fxxx01x

n

)(

n

()(

0n1

1.5845

107.用牛顿后插公式得到，N4

(0.566)

0.84405.5!|

sin

0.6

|例3

给出f

(

x)

cosx的在xk

kh,

k

0,1,,6,

h

0.1处的函数值，用四次等距插值公式计算f(0.048)及f(0.566)的近似值，并计误差.做出差商表，用牛顿前插公式得到N4

(0.048)

0.99885.5|

0.48

(0.48

1)

(0.48

4)

|

(0.1)4R

(0.048)

1.7064

107.(0.1)5!|

sin

0.6

|5|

0.34

(0.34

1)

(0.48

4)

|

4R

(0.566)

作业P48,1，6，8.§4

埃尔米特插值不少插值问题不仅要求在节点上函数值相等,而且要求在某些节点上对应的的导数值甚至高阶导数值相等.这种插值问题称为埃尔米特(Hermite)插值问题.

(,i)

fxHnifxH(4.01),21n

i

(

i

,

)

21n

i超过

n

1次2

的多项式i

i

i

(()0,,1ff)f,,x,fxni要求一个次数不21n

()xH满足i和着重 一种情况

在n

1个:

节点a

x

x10

xn

b上已知

采用基函数法，插值基函数

j

(x)和

j

(x)(j

0,1,,n)都是2n

1次多项式，且满足(

j,

k

0,1,,

n)

(4.2)

j

(

xk

)

0,

j

(xk

)

jk.

j

(

xk

)

jk

,

j

(xk

)

0;(4.3)nj0

H

2n1(x)

[

f

j

j

(x)

f

j

j

(x)]

.令

j(x)

(axj(4.4)1l

(x).jnjjk

j

2

x

)x

xk

jk

0

(x)

1

2(x令

j(x)

A(x

x

j

)l

2(x),j(4.5)j

j

(x)

(x

x

j

)l2

(x).唯一性，.R(x)

f

(x)

H2n1(x)

其中(a,b),

且依赖于x.2

(x),

(4.6)n1f

(2n2)

()(2n

2)!若f

(x)在插值区间(a,b)内有2n

2阶导数f

(2n2)

(x),

则插值余项为12

2

n

j0

nj0jj

j(x

x

)l

(x)

f

.nk

jk

0j k

j

x

l

j

(x)

f

j

x1

2(x

x

)nH2n1(x)

[

f

j

j

(x)

f

j

j

(x)]j0当n

1时，应用广泛的三次埃尔米特插值多项式：2

x1

x0

x0

x1

x

x

2

(x

x0

)

1

f12x0

x1

x1

x0

x1