计算机图形学

自由曲线曲面第七章曲线分为规则曲线与不规则曲线两类。规则曲线--具有确定描述函数的曲线。不规则曲线--由离散点构造函数来描述，称为拟合曲线或自由曲线。工业产品的几何形状也大致可以分为两类：规则曲面--用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。不规则曲面--由离散点构造函数来描述形状，称为拟合曲面或自由曲面。7.1基本概念

7.1.2曲线与曲面的表示形式

曲线曲面有表示有两种形式

1.参数形式

2.非参数形式表示：显式表示与隐式表示。，为曲线的起点；当t＝1时，设曲线上任一点的位置矢量为p，可以表示为参数t的函数。曲线的矢量参数表示形式为当t＝0时，，为曲线的终点。曲线的矢量参数表示法曲面是一个二元函数，根据线动成面的原理将曲线的矢量参数表示法进行二维拓展得到曲面的矢量参数表示法，即

使用参数形式表示法来描述曲线、曲面的优势：（1）可以满足几何不变性的要求，变换后仍保持几何形状不变。（2）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（3）规格化的参数变量，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。（4）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。（5）对参数形式表示的曲线曲面可以对其参数方程直接进行几何变换。7.1.3插值、逼近与拟合型值点——指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。控制点——指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。7.1.3插值、逼近与拟合插值（Interpolation）当用一组型值点来指定曲线或曲面的形状时，曲线或曲面精确地通过给定的型值点且形成光滑的曲线或曲面时，称为曲线或曲面的插值。当用一组控制点来指定曲线或曲面的形状时，曲线或曲面被每个控制点所吸引，但实际上并不经过这些控制点，称为曲线或曲面的逼近。Bezier曲线和B样条曲线属于逼近曲线，Bezier曲面和B样条曲面属于逼近曲面。逼近(Approximation)：逼近曲线拟合（fitting）：插值与逼近统称为拟合。7.1.3连续性条件

零阶参数连续性（C0）。指相邻曲线在结合点处具有相同的坐标。

一阶参数连续性（C1），指相邻曲线在结合点处具有相同的一阶导数。

二阶参数连续性（C2），指相邻曲线在结合点处具有相同的一阶导数和二阶导数。1.参数连续性2.几何连续性

零阶几何连续性，记作G0，相邻两段曲线在结合点处有相同的坐标。

一阶几何连续性，记作G1，指相邻两段曲线在结合点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。

二阶几何连续性，记作G2，指相邻两段曲线在结合点处的一阶导数和二阶导数成比例，即曲率一致，但大小不一定相等。7.1.3连续性条件

参数连续性传统意义上的、严格的连续几何连续性只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例，不必完全相等，是一种更直观、易于交互控制的连续性。7.1.3连续性条件

7.2Bezier曲线

BezierDeCasteljau

Bezier曲线由法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的deCasteljau于1959年发明，后来又由法国雷诺（Renault）汽车公司的工程师Bezier于1962年独立提出了Bezier曲线曲面。

1.Bezier曲线由控制多边形惟一定义。2.Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上。

3.改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。

7.2Bezier曲线

给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2……n），称为n次Bezier曲线定义为

7.2.1Bezier曲线的定义t∈[0，1]

Bernstein基函数Bi,n(t)是Bernstein基函数，其表达式为：

当n＝1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。1.一次Bezier曲线写成矩阵形式为t∈[0，1]一次Bezier曲线是连接起点P0与终点P1的直线段。，t∈[0，1]其中，Bernstein基函数为2.二次Bezier曲线当n＝2时，Bezier曲线是二次多项式。二次Bezier曲线是一段抛物线。t∈[0，1]写成矩阵形式为，t∈[0，1]其中，Bernstein基函数为，，，二次Bezier曲线是一段起点在P0，终点在P2的抛物线。P1P2二次Bezier曲线的3段基函数二次Bezier曲线P02.二次Bezier曲线三次Bezier曲线是自由曲线。

3.三次Bezier曲线写成矩阵形式为，t∈〔0，1〕当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。

t∈〔0，1〕（7-7）其中Bernstein基函数为图7-12三次Bezier曲线的4段基函数图7-13三次Bezier曲线7.2.2Bezier曲线的性质1.端点性质Bezier曲线的起点与终点分别位于控制多边形的起点P0与终点Pn上。2.一阶导数Bezier曲线的起点与终点的切线方向位于控制多边形的起始边与终止边的切线方向上。3.凸包性质说明Bezier曲线位于控制多边形构成的凸包之内。7.2.2Bezier曲线的性质4.对称性

说明Bezier曲线在控制多边形的起点和终点具有相同的性质。

5.几何不变性

Bezier曲线的位置和形状与控制多边形的顶点Pi（i＝0，1，2……n）的位置有关，而不依赖于坐标系的选择。

6.仿射不变性对Bezier曲线所做的任意仿射变换(包括平移、比例、旋转、反射和错切变换)，相当于先对控制多边形顶点做变换，再根据变换后的控制多边形顶点绘制Bezier曲线。7.2.2Bezier曲线的性质7.2.4Bezier曲线的拼接

假设两段三次Bezier曲线分别为其控制多边形的顶点分别为P0、P1、P2、P3和Q0、Q1、Q2、Q3。两段三次Bezier曲线的拼接

（a）＝0.5（b）＝1（c）＝2比例系数对拼接位置的影响对三次Bezier曲线的拼接一般不要求满足G2连续性。因为每段三次Bezier曲线仅有4个控制点，若二阶连续，则只能留下一个控制点调整曲线的形状。7.3.1Bezier曲面的定义

m×n次Bezier曲面的定义为：（u，v）∈〔0，1〕×〔0，1〕

依次用线段连接点列Pi,j（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n）中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格，当m＝3，n＝3时由4×4＝16个控制点构成控制网格，其相应的曲面称为双三次Bezier曲面。7.3Bezier曲面双三次Bezier曲面及其控制网格几种不同形状的双三次Bezier曲面如图所示。

不同形状的Bezier曲面

使用MFC绘制的Utah茶壶光照模型的透视投影图。

(a)状态1(b)状态2双三次Bezier曲面片拼接的茶壶光照模型7.4B样条曲线

1、确定了控制多边形的顶点个数为n+1个，也就确定了曲线的次数为n次；2、控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差；3、曲线不能局部修改，调整任何控制点的位置，将会引起整条曲线的改变；4、Bezier曲线的拼接比较复杂。Bezier曲线虽然有许多优点，但也存在不足之处：1、比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易达到C2连续性）。2、多项式的次数可根据需要指定，而不像Bezier曲线多项式的次数是由控制点的个数来确定。3、增加了对曲线的局部修改功能，控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。4、广泛应用于交互式自由曲线曲面设计。B样条曲线优点7.4B样条曲线

7.4.1B样条曲线的定义

给定m+n+1个控制点Ph（h＝0，1，2，…，m+n）

，n次B样条曲线段的参数表达式为：其中，为B样条基函数，其形式为i=0,1,2,…,m；k=0,1,2,…,n

7.4.4B样条曲线的性质

1.连续性二次B样条曲线只能达到C1连续性。二次B样条曲线的连续性图7-28三次B样条曲线的连续性三次B样条曲线可达到C2连续性。一般地，n次B样条曲线具有n-1阶导数的连续性。2.局部性质在B样条曲线中，n次每段B样条曲线受n+1个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分曲线形状保持不变。二次B样条曲线局部顶点修改三次B样条曲线局部顶点修改7.5B样条曲面

B样条曲面是B样条曲线的二维推广，给定(m＋1)×(n+1)个控制点Pi,j(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)，m×n次B样