概率论和数理统计期末考试试题

2005~2006学年第一学期《概率论和数理统计B》期末试卷（A卷）考试时间：注意：答案一律要写在答题纸上！！！一、选择题(本大题分5小题,每题3分,共15分)设A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有(A)P(BA)0(B)P(AB)P(A)(C)P(AB)0(D)P(AB)P(A)P(B)某人花费买了A、B、C三种不一样的奖券各一张.已知各样奖券中奖是互相独立的,中奖的概率分别为p(A)0.03,P(B)0.01,p(C)0.02,假如只需有一种奖券中奖这人就必定赚钱,则这人赚钱的概率约为(A)（B）(C)（D）(3)X~N(,42),Y~N(,52),p1P{X4},p2P{Y5}，则(A)对随意实数,p1p2（B）对随意实数,p1p2(C)只对的个别值，才有p1p2（D）对随意实数，都有p1p2(4)设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)f(x),F(x)是X的散布函数，则对随意实数a建立的是a1a（A）F(a)1f(x)dx（B）F(a)f(x)dx三、解答题（共65分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的结合概率密度为k(6xy),0x2,0y4f(x,y)，其余求：（1）常数k（2）P(XY4)3、(10分)设X与Y两个互相独立的随机变量，其概率密度分别为1,0x1;ey,y0;fX(x)fY(y)0,y0.0,其余.求:随机变量ZXY的概率密度函数.4、（8分）设随机变量X拥有概率密度函数x8,0x4;2（C）F(a)F(a)（D）F(a)2F(a)1

fX(x)

0,其余，二维随机变量(X,Y)听从二维正态散布，则X+Y与X-Y不有关的充要条件为（A）EXEY(B)EX2[EX]2EY2[EY]2(C)EX2EY2(D)EX2[EX]2EY2[EY]2二、填空题(本大题5小题,每题4分,共20分)(1)P(A)0.4,P(B)0.3,P(AB)0.4,则P(AB)___________.4x3,0x1(2)设随机变量X有密度f(x),则使P(Xa)P(Xa)0其余的常数a=(3)设随机变量X~N(2,2)，若P{0X4}0.3,则P{X0}设两个互相独立的随机变量X和Y均听从N(1,1)，假如随机变量X-aY+25知足条件D(XaY2)E[(XaY2)2]，

求：随机变量YeX1的概率密度函数.5、（8分）设随机变量X的概率密度为：1xf(x)ex，求:X的散布函数．6、(9分)假定一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获收益10万元；发生一次故障可获收益5万元；发生二次故障所获收益0元；发生三次或三次以上故障就要损失2万元，求一周内希望收益是多少7、(10分)设X~N(0,1),Y~N(0,1)，且互相独立UXY1,VXY1，求:（1）分别求U,V的概率密度函数；2）U,V的有关系数UV；则a=__________.(5)已知X～B(n,p),且E(X)8,D(X)4.8,则n=__________.2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计B》试卷（A）标准答案和评分标准一、选择题（5×3分）题号12345答案CBABB二、填空题（5×4分）1、2、1、4、35、20342三、计算题（65分）1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的”易见B1,B2,B3是的一个区分-----------------------------------------------------------------------------------2分33(1)由全概率公式，得P(A)P(ABi)P(Bi)P(ABi)25%5%35%4%40%2%0.0345.-------------------5分i1i1(2)由Bayes公式有：P(B1A)P(AB1)P(B1)25%5%25分30.0345-----------------------------------------------------1069P(ABi)P(Bi)i12412、解：（1）因为1，因此fxydxdydxk(6xy)dy1，可得k----------------------------------------------5分(,)240024x1(612(1x28（2）dxxy)dy6x16)dx10分0024240293、解：由卷积公式得fZ(z)f(x,zx)dx，又因为X与Y互相独立，因此fZ(z)fX(x)fY(zx)dx3分当z0时，( )fX()fY()0;5分fZzxzxdx( )( )()z(zx)1z;当0z1时，fZfYedxe------------------------------------------------------7分0z1( )( )()1(zx)z(1);当时，fZfXedxeezYzxdx00z0因此fZ(z)fX(x)f(zx)dx1ez0z1-----------------------------------------------------------10分Y;ez(e1)z14、解：YeX1的散布函数FY(y).P(Yy)P(eXln(y1)FY(y)1y)P(Xln(y1))fX(x)dx-----------------------------------------------------2分0,y0;1ln2(y1),0ye41;-----------------------------------------------------------------------6分16e41,1y.于是Y的概率密度函数fY(y)dFY(y)ln(y1),0ye41;--------------------------------------------------8分dy8(y1)其余.0,x5、解：F(x)f(t)dt当x0,F(x)1xt1et3分2edt2当x0,F(x)1[0xtdt]11et----------------------------------------------------------------------8etdte分2026、解由条件知X~B(5,0.2)，即P{Xk}50.2k0.85k,k0,1,,5------------------------------------------------------3分k10,X0;Yg(X)5,X1;6分0,X2;2,X35EYEg(X)g(k)P{Xk}k010P{X0}5P{X1}0P{X2}-----------------------------------------------------------9分2[P{X3}P{X4}P{X5}]100.32850.41020.0575.216(万元)7、解：（1）因为X~N(0,1),Y~N(0,1)，且互相独立，因此UXY1,VXY1都听从正态散布，EUE(XY1)EXEYE11DUD(XY1)DXDY2--------------------------------------------------------------3分1u2因此U~N(1,2)，因此fU(u)e44同理EVE(XY1)EXEYE11DUD(XY1)DXDY2因此V~N(1,2)，因此fV(u)1e4（2）EUVE(XY1)(XY1)E(X

245分-----------------------------------------------------------------2Y22X1)EX2EY22EX1DX(EX)2(DY(EY)2)2EX11-------------------------------------------8分因此EUVEUEV010分UVDV--------------------------------------------------------------DU2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计B》试卷（B）标准答案和评分标准﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉一、选择题（5×3分）题号1答案D

2B

3B

4A

5D二、填空题（5×4分）1、2、13、4、205、342三、计算题（65分）1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的”易见B1,B2,B3是的一个区分2分33(1)由全概率公式，得P(A)P(ABi)P(Bi)P(ABi)25%5%35%4%40%2%0.0345.-------------------5分i1i1(2)由Bayes公式有：P(B2A)P(AB2)P(B2)35%4%8-----------------------------------------------------10分30.034523P(ABi)P(Bi)i1241----------------------------------------------2、解：（1）因为f(,)1，因此dxk(6xy)dy5分002424x2(1x2（2）dx1(6xy)dy16x16)dx8----------------------------------------------------------10分0024240293、解：F(x)xf(t)dt当x0,F(x)1xtdt1e3分2e2当x0,F(x)0xtdt]1181[etdte分2024.解：YeX1的散布函数FY(y).FY(y)P(Yy)P(eX1y)P(Xln(y1))ln(y1)fX(x)dx-----------------------------------------------------2分10,y0;ln2(y1),0ye41;6分161,e41y.于是Y的概率密度函数fY(y)dFY(y)ln(y1),0ye41;--------------------------------------------------8分dy8(y1)其余.0,5解：由卷积公式得fZ(z)f(x,zx)dx，又因为X与Y互相独立，因此fZ(z)fX(x)fY(zx)dx3分当z0时，( )fX()fY()0;5分fZzxzxdx( )( )()z(zx)1z;当时，fZfYedxe------------------------------------------------------7分0z1( )( )()1(zx)z(1);当时，fZfXedxeezYzxdx00z0因此fZ(z)fX(x)fY(zx)dx1ez;10分-----------------------------------------------------------0z1ez(e1)z16、解：（1）因为X~N(0,1),Y~N(0,1)，且互相独立，因此UXY1,VXY1都听从正态散布，EUE(XY1)EXEYE11DUD(XY1)DXDY2--------------------------------------------------------------3分1u2因此U~N(1,2)，因此fU(u)e44同理EVE(XY1)EXEYE11DUD(XY1)DXDY21u2因此V~N(1,2)，因此fV(u)e45分4（2）EUVE(XY1)(XY1)E(X2Y22X1)EX2EY22EX1

1DX(EX)2(DY(EY)2)2EX1-------------------------------------------8分因此UV

EUVEUEVDUDV

0---------------------------------------------------------------10分7、解由条件知X~B(5,0.2)，即P{10,X0;5,X1;Yg(X)X2;0,2,X3

Xk}50.2k0.85k,k0,1,,5--------