数学分析万物皆数

万物皆数121.

自然数系自然数—自然数是人类文明最早形成的观念。—

用表示全体自然数的集合。34自然数的序结构—自然数可以比较大小。—自然数之间的大小关系

满足：1. One

of

a

b,

a

b,

b

a

is

true,

a,

b

2. a

b,

b

c

a

c,

a,

b,

c

—以上使得整数集具有良好的序结构。—自然数集有最小数，但无最大数。5自然数—自然数可以按从小到大的顺序排成一个无限长的队列。1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,8,

9,10,11,12,13,14,15,16,17,自然数—自然数有加法的概念，任两个自然数可以相加，得到另一个自然数。—自然数的加法满a

b

b

a,换律和结合律。a,

b

(a

b)

c

a

(b

c),

a,

b,

c

6自然数—当一个自然数比另一个自然数大时，可定义第一个自然数与第二个自然数的减法运算，其结果是另一个自然数。a,

b

,

a

b,

b

a

7自然数—自然数有乘法的概念，任两个自然数可以相乘，得到另一个自然数。—自然数的乘法满

换律和结合律。ab

ba,

a,

b

(ab)c

a(bc),

a,

b,

c

8自然数—自然数的加法和乘法满足分配律。a(b

c)

ab

ac,

a,

b,

c

9自然数的序结构与运算—自然数之间的大小关系还满足如下性质：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,10a,b,

c

a,b,

c

自然数—当一个自然数等于另一个自然数与其他自然数的乘积时，

称后者可整除前者。a,b,c

,

a

bc,

b

|

a

,

c

|a—一个自然数可以整除另一个，可理解为：从乘法运算的角度来说，前者为后者的一个“部分”。1112素数—素数是自然数的乘法运算中比较特殊的一类。—乘法运算中，素数如同原子，是最小不可分的。素数—素数无法表示为两个比它小的数的积。mber,p

is

called

a

priif

one

can

not

find

a,

b

{1,

2,,

p

1},s.t.

p

ab13素数—素数如果可整除两个自然数的积，则必可整除它们其中的某一个。If

p

is

a

primber, thena

,b

,p

|

ab

p

|

a,

or

p

|

b.14素数—如同原子构成物质，自然数总可表示为素数积。a

, there

are

some

n

andpri

mbers p1

,

pn

,s.t.

a

p1

pn15互素—若两个数

a,

b

无相同的的素数原子，则称它们互素，记为：(a,

b)

116172.

整数系整数—添加了负整数和零后形成的整数，可以任意做加法、减法和乘法，所得结果仍是整数。加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律，以及加法和乘法的分配律仍然成立。—

用表示全体整数的集合。18整数的序结构—整数可以比较大小。—整数之间的大小关系

满足：—以上三条使得整数集具有良好的序结构。—整数集既没有最小数的也没有最大数。a

,b

19One

of

a

b,a

b,b

a

is

true,a

b,b

c

a

c,

a,b,

c

整数的序结构与运算—整数之间的大小关系还满足如下性质：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,a

b,

c

0

bc

ac,20a,b,

c

a,b,

c

a,

b,

c

整数—素数分解的可推广到整数。a

, there

are

some

n

andpri

mbers

p1

,

pn

,s.t.

a

p1

pn21223.

有理数系有理数—尽管整数可做很多事，但有些量仍无法用整数表示和计算，使得

不得不斥诸于整数的比例。—整数的比例即是有理数，它可进行加法、减法、乘法和除法（只要除数不为零）运算，所得结

果仍是有理数。加法的交换律和结合律、乘法

的交换律和结合律，以及加法和乘法的分配律

仍然成立。—

用表示全体有理数的集合。23有理数—任何一个有理数可表示为

p

，这里qp,

q

,(

p,

q)=124有理数的序结构—有理数可以比较大小。—有理数之间的大小关系

满足：One

of

a

b,a

b,b

a

is

true,

a

,b

a

b,b

c

a

c,

a,b,c

—以上三条使得有理数集具有良好的序结构。—有理数集既没有最大数也没有最小数。25有理数的序结构与运算—有理数之间的大小关系还满足如下性质：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,a

b,

c

0

bc

ac,26a,b,

c

a,b,

c

a,b,

c

有理数的稠密性—任两个不等的有理数之间有无数个其他有理数。a

a

k

(b

a)

bn27a,

b

,

a

b,n

,

fork

1,

2,

,

n

1,有理数有多少？—所有有理数可排成一无限长的队列。0

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

1

1

1

1

1

1

1

1

10

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

2

2

2

2

2

2

2

2

20

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

3

3

3

3

3

3

3

3

30

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

4

4

4

4

4

4

4

4

40

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

5

5

5

5

5

5

5

5

5

28（上表按适当顺序排列并删去重复者）有理数有多少？—任两个不想等的有理数之间的有理数可排成一无限长的队列。—有理数集的任一个无限子集可排成一无限长的队列。29304.

实数系无理数与实数—古希腊时就曾发现：有些线段的长度不能用有理数表示。从而不得不引入无理数。—有理数和无理数合在一起称为实数。—实数也可进行加法、减法、乘法和除法（只要除数不为零）运算，所得结果仍是实数。加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律，以及加法和乘法的分配律仍然成立。—

用表示全体实数的集合。31实数的序结构—实数可以比较大小。—实数之间的大小关系

满足：—以上三条使得实数集具有良好的序结构。—实数集既没有最大数也没有最小数。a

,b

32One

of

a

b,a

b,b

a

is

true,a

b,b

c

a

c,

a,b,c

实数的序结构与运算—实数之间的大小关系还满足如下性质：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,a

b,

c

0

bc

ac,33a,b,

c

a,b,

c

a,b,

c

最早被发现的无理数—2的平方根可能是最早被发现的无理数（古希腊）(

p,

q)

12

|

p2

2

|

p,If

2

p

,q2q2

p2

,

4|

p2

4

|

2q2

2

|

q2

2

|

q,

2

|

p

and 2

|

q,It contradict

to

(

p,

q)

1.Thus

the

assumption 2

is

not

true.34其他无理数—

n

(n

\{k

2

|

k

})是无理数。—p

n

(n

\{k

p

|

k

})是无理数。3536重要无理数—圆周率

是无理数。—自然对数底e

是无理数。无理数的稠密性—任两个不等的有理数之间有无数个无理数。a,

b