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文档简介

水泥价格、广告费与利润问题推销商品的重要手段之一是做广告，而做广告要出钱，利弊得失如何估计，需要利用有关数学模型作定量的讨论。某建材公司有一大批水泥需要出售，根据以往统计资料，零售价增高，则销量减少，具体数据见表三；如果做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子k表示，k与广告费的关系列于表四。现在，已知水泥的进价是每吨250元。问如何确定该批水泥的出售价格和花多少广告费，可使公司获利最大？表1：水泥预期销售量与售价的关系单价（元/吨）250260270280290300310320售量（万吨）200190176150139125110100表2：售量提高因子k与广告费的关系广告费（万元）060120180240300360420提高因子k1.001.401.701.851.952.001.951.80将表1（水泥预期销售量与价格的关系）中数据绘图如下图1y=a+bx用最小二乘法，根据表1的数据可得正规方程组-82280一「。1「1190一228065400b=332830解此方程组，得到系数a=577.6071,b=-1.5048。即销量与单价的近似关系为:y=577.6071-1.5048x，将此结果与原数据点画在同一幅图形中比较如下图2：将表2（销售量提高因子与广告费的关系）中数据画图如下:图3：*：*：IIIIrIIIUhll1WIbU2W2M)3UUIM)dUUIhU广告费可以看出提高因子与广告费近似成二次关系，因此可设：k=d+ez+k=d+ez+fz2一81680504000一-d--13.65-1680504000169344000e=314750400016934400060600959990_f_952020用最小二乘法，根据表2中数据，可得正规方程组解此方程组得：d=1.02000,e=6.807x10-3,f=-1.17973。将拟合多项式图形与原数据画在同一幅图形中观察拟合效果:图4：2*胸康塞设实际销量为2*胸康塞设实际销量为S，则S=ky。于是利润L可以表示为:L=Sx-Sc-z=ky{x-c)-z=(d+ez+夫2)(3+bx)(x-c)-z要求出利润最大值，只需令：6L——=(d+ez+fz2)(a-be+2bx)=0dx8L一=(g+2我2)(G+Z?x)(x-c)-1=0Sz解得：<1x=一(be-a)=316.93lb<I--1z=-—e=282.21If\_(a+bx)(x-c)进一步求出利润L的二阶偏导数得：A=竺^=2b(d+ez+我2)8/2d^-LB==(g+2fz)(a-be+2bx)dxdzd^LC==2/(a+bx)(x-c)&2当x=316.93,z=282.21时，显然有A<0,B=0,C<0,根据多元函数极值理论可知，在尤=316.93,z=282.21处，利润最大，最大利润为乙max=13209.6（万兀）。从而，可以预计，将

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