导数难题(含答案)

-.z.一、单项选择题1．可导函数的导函数为，，假设对任意的，都有，则不等式的解集为〔〕A.B.C.D.2．定义在上的偶函数的导函数为，且当.则〔〕A.B.C.D.3．为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为〔〕A.B.C.D.二、解答题4．函数.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设存在，求的取值范围.5．设函数．〔1〕当时，讨论函数的单调性；〔2〕假设时，恒成立，求整数的最小值．6．函数.假设，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；假设在区间上不存在，使得成立，**数的取值范围.7．函数.〔1〕当时，求函数的极小值；〔2〕假设函数在上为增函数，求的取值范围.8．函数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设，对于任意，都有恒成立，求的取值范围参考答1．A【解析】令因此，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进展：如构造，构造，构造，构造等2．D【解析】根据题意，设g〔*〕=*2f〔*〕，其导数g′〔*〕=〔*2〕′f〔*〕+*2•f〔*〕=2*f〔*〕+*2•f〔*〕=*[2f〔*〕+*f'〔*〕]，又由当*＞0时，有2f〔*〕+*f'〔*〕<0成立，则数g′〔*〕=*[2f〔*〕+*f'〔*〕]<0，则函数g〔*〕在〔0，+∞〕上为减函数，假设g〔*〕=*2f〔*〕，且f〔*〕为偶函数，则g〔-*〕=〔-*〕2f〔-*〕=*2f〔*〕=g〔*〕，即g〔*〕为偶函数，所以即因为为偶函数，所以,所以应选D点睛：此题考察函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g〔*〕并分析g〔*〕的单调性与奇偶性．3．A【解析】令，则∵∴，即在上恒成立∴在上单调递减∵∴，即∴，即应选A点睛：此题首先需结合条件构造函数，然后考察利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.4．〔1〕在上递增，在上递减.；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕对函数求导，再根据分类讨论，即可求出的单调性；〔2〕将化简得，再根据定义域，对分类讨论，时，满足题意，时，构造，求出的单调性，可得的最大值，即可求出的取值范围.试题解析：〔1〕，当时，，所以在上递增，当时，令，得，令，得；令，得，所以在上递增，在上递减.〔2〕由，得，因为，所以，当时，满足题意，当时，设，所以在上递增，所以，不合题意，当时，令，得，令，得，所以，则，综上，的取值范围是.点睛：此题考察函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比拟容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要别离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比拟多，需要多加体会.5．(1)f〔*〕递增区间为〔0，〕，〔1，+∞〕，递减区间为〔，1〕；(2)1.【解析】试题分析：〔1〕求出函数f〔*〕的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；〔2〕问题转化为a>*-2〔*-1〕ln*恒成立，令g〔*〕=*-2〔*-1〕ln*，根据函数的单调性求出a的最小值即可．试题解析：〔1〕由题意可得f〔*〕的定义域为〔0，+∞〕，当a=2时，f〔*〕=﹣*2+2*+2〔*2﹣*〕ln*，所以f′〔*〕=﹣2*+2+2〔2*﹣1〕ln*+2〔*2﹣*〕•=〔4*﹣2〕ln*，由f'〔*〕＞0可得：〔4*﹣2〕ln*＞0，所以或，解得*＞1或0＜*＜；由f'〔*〕＜0可得：〔4*﹣2〕ln*＜0，所以或，解得：＜*＜1．综上可知：f〔*〕递增区间为〔0，〕，〔1，+∞〕，递减区间为〔，1〕．〔2〕假设*∈〔0，+∞〕时，f〔*〕＞0恒成立，即a＞*﹣2〔*﹣1〕ln*恒成立，令g〔*〕=*﹣2〔*﹣1〕ln*，则a＞g〔*〕ma*．因为g′〔*〕=1﹣2〔ln*+〕=﹣2ln*﹣1+，所以g'〔*〕在〔0，+∞〕上是减函数，且g'〔1〕＞0，g′〔2〕＜0，故存在*0∈〔1，2〕使得g〔*〕在〔0，*0〕上为增函数，在〔*0，+∞〕上是减函数，∴*=*0时，g〔*〕ma*=g〔*0〕≈0，∴a＞0，又因为a∈Z，所以amin=1．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：〔1〕根据参变别离，转化为不含参数的函数的最值问题；〔2〕假设就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，假设恒成立，转化为;〔3〕假设恒成立，可转化为.6．〔1〕极小值为；〔2〕见解析〔3〕【解析】试题分析：〔1〕先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值〔2〕先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性〔3〕正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合〔2〕单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果试题解析：解：〔I〕当时，，列极值分布表在〔0,1〕上递减，在上递增，∴的极小值为；〔II〕①当时，在上递增；②当时，，∴在上递减，在上递增；〔III〕先解区间上存在一点,使得成立在上有解当时，由〔II〕知①当时，在上递增，∴②当时，在上递减，在上递增当时，在上递增，无解当时，在上递减，∴；当时，在上递减，在上递增令，则在递减，，无解，即无解；综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为：或.所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题〔有解，恒成立，无解等〕，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量别离转化为对应函数最值问题.7．〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕当时，得出函数的解析式，求导数，令，解出的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；〔2〕求出，由于函数在是增函数，转化为对任意恒成立，分类参数，利用导数的最小值，即可**数的取值范围．试题解析：〔1〕定义域为．当时，，．令，得．当时，，为减函数；当时，，为增函数．所以函数的极小值是．〔2〕由得．因为函数在是增函数，所以对任意恒成立，由得，即对任意的恒成立．设，要使"对任意恒成立〞，只要.因为，令，得．当时，，为减函数；当时，，为增函数．所以的最小值是．故函数在是增函数时，实数的取值范围是．点睛：此题主要考察了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数在是增函数，所以对任意恒成立是解答的关键．8．〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕求出，分三种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；〔2〕由〔1〕知，所以，