微分几何试题库

微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和〔V〕2、二阶微分方程A(u,v)du2+2B(u,v)dudv+B(u,v)dv2=0总表示曲面上两族曲线.〔x〕3、假设而和和均在［a,b］连续，则他们的和也在该区间连续〔V〕4、向量函数而具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，布的微商与而平行〔X〕5、等距变换一定是保角变换.〔寸〕6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.〔x〕7、常向量的微商不等于零〔X〕8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点〔1,0,0〕的切线为X=Y=Z〔X〕9、对于曲线，=而上一点〔t=t0〕，假设其微商是零，则这一点为曲线的正常点〔X〕10、曲线上的正常点的切向量是存在的〔V〕11、曲线的法面垂直于过切点的切线〔V〕12、单位切向量的模是1〔V〕13、每一个保角变换一定是等距变换〔X〕14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.〔寸〕15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.〔寸〕二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点〔1,0,0〕的法平面y+z=0,18.设给出c1类曲线:r=r(t),a<t<夕则其弧长可表示为fb\rf(t)\dta19、已知阵{cos3丛血x,cos2对,。＜x弓,则*»3c°sx,3sinx,-4},膏｛sinx,cosx,0｝，f二一｛4cosx,-4sinx,-3｝，k=，T=。525sin2x25sin2x20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面r=｛甲(t)cos0,甲(t)sin0,W(t)｝，他的坐标网是否为正交的?是(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的—__法线_____线.一…，一一…Q，，…，—、23、任何两个向量p,q的薮量积p-q=|p||qcos(pq)24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换__.25、圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常教”或“非常教”).26、假设曲线(c)用自然参数表示r=r(t)，则曲线⑥在P(s0)点的密切平面的方程是(R-r(s0),r(s0),r(s0))=027、曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28、杜邦指标线的方程为Lx2+2Mxy+Ny2=±1兀29、已知曲面r=｛ucosv,usinv,6v｝,u>0,0<v〈一，则它的第一基本形式212—卜为du2+(u2+36)dv2:第二基本形式为dudv，高斯曲率v'u2+36K=,平均曲率H=0，点(1,0,0)处沿方向du:dv=2的法曲(u2+36)2

率二24T37，点（1,0,0）处的两个主曲率分别为-2,2。1517373730、〔Cohn-Voeeen定理〕两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33.求曲线x=tsint,j=tcost,z=tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r={tsint,tcost,tet},r'(t)={sint+1cost,cost—tsint,et+tet},r"(t)={2cost—tsint,—2sint—tcost,2et+tet}在原点处t=0r(0)={0,0,0},r'(0)={0,1,1},r"(0)={2,0,2}.在原点处切平面的方程为：(R—r(0),r'(0),r"(0))=0即X即X+Y—Z=0法平面的方程为：即Y+Z=0切线方程为XY(R—r(0))-r'(0)=0R—r(0)=Xr'(0)Z0=1=T34、求曲面z=尤3-/3的渐近曲线。解设r-{w,V,W3-V3}7X产1贝qr=(1,0,31/2}?r=(0,1,-3v2}?亓=——={一3〃2,3】2,1}"vj9〃4+9w+lUVr={0,0,6"},f=0?r={0,0,-6v}TOC\o"1-5"\h\zuuUVvv了--6〃m一一口m---6vL=n-r=-,M=n-r=u,N=n•r=.uuj9〃4+9"+l""寸9〃4+9v4+1因渐近曲线的微分方程为Ldu^+2Mdudv+Ndw=0即udu2=vdv^或4udu±\/vdv=0渐近曲线为+C或(—=/+CTOC\o"1-5"\h\z一一1235.求双曲抛物面r={a(u+v\b(u-v\2uv}的第一基本形式解:r={a(u+v\b(u-v),2wv},r={a.b.2v}.r={a-b,2u}.UVE-r.r=。2+人2+4V2,F二尸.r=ai-bi+4^v?UUUVG-r-r=i2+/?2+4〃2.VV:.I=(12+人2+4?2)d〃2+2((22-b2+以Hv+(Q2+人2+4〃2)小236.计算球面r=(7?cos0cos(p,7?cos0sin<p,Asin。)的第二基本形式.

解:r={Rcos0cos甲,Rcos0sin甲,Rsin0),r={-Rcos0sin甲,Rcos0cos甲,0},中r={-Rsin0cos甲，-Rsin0sin甲,Rcos0},0由此得到E=r-r=R2cos20,n—.\EG一F21R2cos0e1一Rcos0sin中一Rsin1R2cos0e1一Rcos0sin中一Rsin0cos中e2Rcos0cos中一Rsin0sin中e30Rcos0又由于r={-Rcos0cos甲,-Rcos0sin甲,0},中中r0={Rsin0sin甲,一Rsin0cos甲,0},r={-Rcos0cos甲,一Rcos0sin甲,一Rsin0},00所以L=r-n=—Rcos2(0),M=r-n=0,N=r-n=-R,000因而得到II=-(Rcos20d(p2+Rd02)37.如果曲面的第一基本形式ds2=du2+dv2,计算第二类克力斯托费尔符(u2+v2+C)2

号.解:因为E=(u2+v2+c)2G=(U2+V2+C)2所以TOC\o"1-5"\h\zE-2(u2+v2+c)•2u-4ugu(u2+V2+C)4(u2+V2+C)3uE-2(u2+v2+c)•2v—4vgv(u2+V2+C)4(u2+V2+C)3v所以ri=E^=-2ur2=—E=2v112Eu2+V2+C'112Gu2+V2+Cri=E=-2v,r2=%=-2u,122Eu2+V2+C122Gu2+V2+Cr1=—Gu=2u,r2=%=-2v222Eu2+V2+C222Gu2+V号.解:因为E=(u2+v2+c)2G=(U2+V2+C)2所以解E=G=v，F=0，G=0，E=1TOC\o"1-5"\h\zE1u-线的测地曲率K==—=gu2E<G2v*V-线的测地曲率K=ge=039、问曲面上曲线r的切向量沿曲线r本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线r是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线r的切向量沿曲线r本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线r是测地线.事实上，设T：ui=ui(s)(i=1,2)，则r的切向量为a=产四1+r四21ds2dsduudu2「7「一.77记al=，a2=d~，Dai=dai+」ri,aiduj，Da2=da2+—r2a，duji,ji,j则曲线r的切向量a沿r平行移动Og=0ODai=0,Da2=0o切=0(i=1,2)o些+5虬虹=0(k=1,2)dsds2ijdsdsi,jor为测地线求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为r={ucosv,usinv,bv},—b…八E=1,F=0,G=u2+b2,L=0,M=.—,N=0.由于L=N=0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是r={ucosv,usinv,bv},这是螺旋线，另一族渐近线是r={ucosv,usinv,bv},

000这是直线.41、设空间两条曲线r和c的曲率处处不为零，假设曲线r和c可以建立——对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线r和c在对应点的切线夹固定角.证设r:r=r(s)，r:r*=r*(s)，则由$//件知艮=±$，从而毯.禺=0，a*・B=0，火"*)=K$・a*+K*竺a•件=0dsds:.a・a*=constant，即cos-.a,&*、；=C这说明曲线r和c在对应点的切线夹固定角.42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是r(t)xrf(t)=0证明:必要性设r(t)=X(t)e(e为常单位向量)，则r'(t)=Xf(t)e,所以r(t)xrf(t)=0充分性：r(t)=X(t)e(t)(e(t)为单位向量函数)，则rf(t)=Xf(t)e(t)+人(t)e'(t),r(t)xrf(t)=X2(t)[e(t)xe'(t)].因为r(t)。0,于是人(t)。0,当r(t)xr(t)三0，从而有e(t)xef(t)=0,即e(t)//e'(t),因为e(t)±ef(t)(根据\e(t)|=1),因此e‘(t)=0即e(t)为常向量，所以r(t)=制t)e(t)有固定方向43、给出曲面上一条曲率线「，设r上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证r是一条平面曲线.证设£:r=r(u,v)，r:u=u(s),v=v(s)，其中s是r的自然参数，记dn土0=■:r,n\，则r-n=cos0，两边求导，得—邙-n+r——=0，由r为曲率线知dn//dr，即g^//g^=a，因此c@-n=r・^~^=—Kr・^~^=0.dsdsdsnds假设t=0，则r为平面曲线；假设n节=0，则因r为曲面£上的一条曲率线，故dn=Kd『,而K=n-Kp=Kn•$=0，所以dn=0，即云为常向量.于是r为平面曲线.44、求圆柱螺线R(t)=｛acost,asint,bt｝在t=—处的切线方程。44、3r(t)={acost,asint,bt},r'(t)={—asint,acost,b},兀、t3兀b>~^~a,~：r223t=—时，有r'^-)={——r-a,5,b}，33乙乙所以切线的方程为

P-一号1—人(3,/3+人'兀lP-一号p=%ae+——%——ae+(-3+人)be如果用坐标表示，则得切线方程为2aX-—2——a2Z——2x—a2Y—v3a3—■<3aab45、求双曲螺线r={acosht,asinht,at}从t=0起计算的弧长。2r={acosht,asinht,at},解：r'={asinht,acosht,a}从t=0起计算的弧长为b=』t|r，(t)Idt=j弋X，2+y'2+z'2dt=j\a2sinh21+a2cosh21+adt_=lfa2(sinh21+1)+a2cosh2tdt=jt\a2cosh21+a2cosh2tdt0_=(2asinht.46、求球面r={Rcos0cos中,Rcos0sin中,Rsin0}的第一基本形式。r={Rcos0cos中,Rcos0sin中,Rsin0},可得出解：由r={-Rcos0sin中,Rcos0cos中,0},r0={-Rsin0cos中，-Rsin0sin中，Rcos},由此得到曲面的第一类基本量E=r-r=R2cos20,F=r-r0=0,G=r0-r0=R2因而I=R2cos20d中2+R2d0247、曲面上一点〔非脐点〕的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明设k1<k2(如果气>K2,可以交换坐标"和我，由欧拉公式知k=kcos20+k(1-cos20)=k+(k-k)cos20,于是k-k=(k-k)cos20>0因此k>k同样又可以得到k—k=(k—k)sin20>0,由此k>k即k<k<k这就是说，主曲率k2,k1是k法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为I=E(u)du2+G(u)dv2。求证：〔1〕u-曲线是测地线；〔2〕v-曲线是测地线，当且仅当G(u)=0证明：u-曲线的方程为dv=0.由空=_4sin9=0,ds"G得到sin9=0所以9=0代入刘维尔公式得1d91dlnE1dInG.k=——-—=cos9+——=sin9=0,gds2、G8v2%E8u因此得到u-曲线是测地线。〔2〕假设u-曲线为测地线，由9=-得d9=0,则有2ds1dlnG.°0=0+0+^^sin9，1<E6u即G=049、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为〔1〕空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；〔2〕空间三个合同变换的组合满足合里律；〔3〕恒同变换I:J=X(i=1,2,3)与空间任何合同变换T的组合IoT=T。/=T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；〔4〕空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线〔C〕给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网〔U1,U2,则〕u=uie+u2e,v=vie+v2e,TOC\o"1-5"\h\zdu2widv1wi八+u1=0,+v2—^=0,dsdsdsdsdu2w2八dv2w2八+u1—1=0,+v1—=0dsdsdsds所以dd/—(u,v)——(u1v1+u2v2)dsdsdu1dv1du2dv2=•v1+u1•+•v2+u2•dsdsdsdsw2—(u2v1+u1v2—u1v2—u2v1)卜—0ds51、设曲线(C):r=r()是具有周期①的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周