泛函解析总结报告知识

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泛函剖析知识总结与举例、应用

学习泛函剖析主要学习了五大主要内容：一、胸怀空间和赋范线性空间；二、有界限性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的根本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、胸怀空间和赋范线性空间

〔一〕胸怀空间

胸怀空间在泛函剖析中是最根本的看法，它是n维欧氏空间Rn〔有限维空间〕的推

广，所以学好它有助于后边知识的学习和理解。

1．胸怀定义：设X是一个会合，假定对于X中随意两个元素x，y,都有独一确立的实数d(x,y)

与之对应，并且这一对应关系知足以下条件：

1°d(x,y)≥0，d(x,y)=0x=y〔非负性〕

2°d(x,y)=d(y,x)〔对称性〕

3°对z，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)〔三点不等式〕

那么称d(x,y)是x、y之间的胸怀或距离〔matric或distance〕，称为(X,d)

胸怀空间或距离空间(metricspace)。

〔这个定义是证明胸怀空间常用的方法〕

注意:⑴定义在X中随意两个元素x，y确立的实数d(x,y)，只需知足1°、2°、3°都称

为胸怀。这里“胸怀〞这个名称已由现实生活中的意义引申到一般状况，它用来

描绘X中两个事物靠近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个胸怀所

一定知足的最实质的性质。

⑵胸怀空间中由会合X和胸怀函数d所构成，在同一个会合X上假定有两个不一样的度

量函数d1和d2，那么我们认为(X,d1)和(X,d2)是两个不一样的胸怀空间。

⑶会合X不必定是数集，也不必定是代数结构。为直观起见，此后称胸怀空间(X,d)

中的元素为“点〞，比如假定xX，那么称为“X中的点〞。出色文档适用标准文案失散的胸怀空间：设X是随意的非空会合，对X中随意两点x,y∈X，令1，当xydx，y=0，当x=y

，那么称〔X，d〕为失散胸怀空间。序列空间S：S表示实数列〔或复数列〕的全体，d(x,y)＝1ii；i1ii12i有界函数空间B(A)：A是给定的会合，B(A)表示A上有界实值〔或复值〕函数全体，对B(A)中随意两点x,y，定义d(x,y)＝supx(t)y(t)tA可测函数空间M(X)：M(X)为X上实值〔或复值〕的L可测函数全体。f(t)g(t)d(f,g)=dtx1f(t)g(t)1.15C[a,b]空间〔重要的胸怀空间〕：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值〔或复值〕连续函数全体，对C[a,b]中随意两点x,y，定义d(x,y)＝maxx(t)y(t)atb2l：无穷维空间〔重要的胸怀空间〕★例、是考试中常考的胸怀空间。2．胸怀空间中的极限，浓密集，可分空间x0的—领域：设〔X，d〕为胸怀空间，d是距离，定义U(x0,)xX∣d(x,x0〕＜为x0的认为半径的开球，亦称为x0的—领域。注：经过这个定义我们能够从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，界限点及聚点，导集，闭包，开集等看法。胸怀空间的收敛点列：设(X，d)是一个胸怀空间，xn是〔X，d〕中点列,假如存在xX，xn收敛于x，使limxnx，即d(xn,x)0(n)，称点n列xn是〔X，d〕中的收敛点列，x叫做点列xn的极限，且收敛点列的极限是独一的。注：胸怀空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有很多共同之处。出色文档适用标准文案有界集：设M是胸怀空间〔X，d〕中的点集，定义(M)supd(x,y)为点集M的直x,yM径。假定(M)＜，那么称M为〔X，d〕中的有界集。〔近似于Rn，我们能够证明一个胸怀空间中收敛点列是有界点集〕闭集：A是闭集A中随意收敛点列的极限都在A中，即假定xnA，n=1,2，xnx,那么xA。〔要会证明〕举例n,x)0依重量收敛。维欧氏空间R中，点列依距离收敛d(xkC[a,b]空间中，点列依距离收敛序列空间S中，点列依坐标收敛。

d(xk,x)0依重量一致收敛。可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f，即d(fn,f)0fnf。浓密子集和可分胸怀空间有理数集在实数集中的浓密性，它属于实数集中，现把浓密性推行到一般的胸怀空间中。定义：设X是胸怀空间，E和M是X的两个子集，令M表示M的闭包，假如E?M，那么称集M在集E中浓密，当E=X时，称M为X的一个浓密子集，假如X有一个可数的浓密子集，那么称X为可分空间。注：可分空间与浓密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中必定有浓密的可数集。这时必有X中的有限个或可数个点在X中浓密。举例①n维欧式空间Rn是可分空间：坐标为有理数的全体是Rn的可数浓密子集。②失散胸怀空间X可分X是可数集。〔因为X中无浓密真子集，X中独一的浓密只有X自己〕③l是不行分空间。数学知识间都有联系，现依据直线上函数连续性的定义，引进了胸怀空间中映照连续性的概念。3.连续映照~定义：设X=〔X，d〕Y=〔Y，d〕是两个胸怀空间，T是X到Y中的映照x0?X，假如出色文档适用标准文案~对ε>0，δ>0，使对X中全部知足d〔x，x0〕<δ的x，有d(Tx,Tx)＜，0那么称T在x0连续。〔胸怀空间之间的连续映照是数学剖析中连续函数看法的推行，特别，当映照是值域空间R时，映照就是胸怀空间上的函数。〕注：对于连续能够用定义证明，也能够用邻域的方法证明。下边用邻域描绘：对Tx0的ε-邻域U，存在x0的某个δ—邻域V，使TVU，此中TV表示V在映照T作用下的像。~定理1：设T是胸怀空间〔X，d〕到胸怀空间〔Y，d〕中映照，T在x0X连续?当xnx0(n)时，必有TxnTx0(n)。在映照中我们知道像与原像的看法，下边对原像给出定义。原像的定义：映照T在X的每一点都连续，那么称T是X上的连续映照，称会合{x∣x∈X，1。Tx?M?Y}为会合M在映照T下的原像，简记为TM★可见，对于胸怀空间中的连续映照能够用定理来证明，也能够用原像的定义来证明。1是X定理2：胸怀空间X到Y中的映照T是X上连续映照?Y中随意开集M的原像TM中的开集〔除此以外，利用T1〔M的补集〕=〔T1M〕的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也建立。〕注：像开原像开，像闭原像闭，映照连续。在数学剖析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。此刻我们可近似的给出胸怀空间中柯西点列的看法。4.柯西〔Cauchy〕点列和齐备的胸怀空间。柯西点列的定义：设X=〔X，d〕是胸怀空间，{xn}是X中的点列，对ε>0，正整数N=N〔ε〕，使当ｎ，ｍ>N时，必有ｄ〔xn，xm〕<ε，那么称{xn}X中的柯西〔Cauchy〕点列或根本点列。【会判断：柯西点列是有界点列】我们知道实数集的齐备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这由实数的齐备性所致。在胸怀空间中，这一结果未必建立。但在胸怀空间中的确存在齐备的胸怀空间。出色文档适用标准文案齐备的胸怀空间的定义：假如胸怀空间〔X，d〕中每一个柯西点列都在〔X，d〕中收敛，那么称〔X，d〕是齐备的胸怀空间．★但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。举例〔记着结论〕有理数全体按绝对值距离构成的空间不齐备，但n维欧式空间Rn是齐备的胸怀空间。在一般胸怀空间中，柯西点列不必定收敛，可是胸怀空间中的每一个收敛点列都是柯西点列：C、C[a,b]、l也是齐备的胸怀空间。定理齐备胸怀空间X的子空间M，是齐备空间M是X中的闭子空间。P［ａ，ｂ］〔表示闭区间［ａ，ｂ］上实系数多项式全体，作为C［ａ，ｂ］的子空间〕是不齐备的胸怀空间．5.胸怀空间的齐备化。~~~等距映照：设〔X，d〕，〔X,d〕是两个胸怀空间，T是从X到X上的映照，即对~x,yX,d(Tx,Ty)=d(x,y),那么称T是等距映照。~~~定义：设〔X，d〕，〔X,d〕X到X上的等距映照T，是两个胸怀空间，假如存在一个从~~~那么称〔X，d〕和〔X,d〕称为X到X上的等距同构映照。〔像等距同构，此时T的距离等于原像的距离〕注：在泛函剖析中常常把两个等距同构的胸怀空间不加差别而视为同一的。定理1〔胸怀空间的齐备化定理〕：设X=〔X，d〕是胸怀空间，那么必定存在齐备胸怀~~~~~空间X=〔X,d〕，使X与X的某个浓密子空间W等距同构，并且X在等距同构下是独一的??〕也是一个齐备的胸怀空间，且?的某个稠,即假定〔X，dX与X~~??密子空间等距同构，那么〔不需要掌握证明可是X,d〕与〔X，d〕等距同构。(要记着结论)定理1的改述：设X=〔X，d〕是胸怀空间，那么存在独一的齐备胸怀空间~~~~X=〔X,d〕，使X为X的浓密子空间。出色文档适用标准文案压缩映照原理及其应用〔要点内容，要求掌握并会证明〕学习齐备胸怀空间看法，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值剖析中迭代算法收敛性很好的工具，此外要学会怎样求不动点。压缩映照定义：X是胸怀空间，T是X到X的映照，假如存在一个数α，〔0,1〕，使x，yX，d〔Tx，Ty〕≦αd〔x，y〕那么称T为压缩映照。〔压缩映照定理〕设X是齐备的胸怀空间，T是X上的压缩映照，那么T有且仅有一个不动点〔即方程Tx=x，有且只有一个解〕。x是T的不动点x是方程Tx=x的解〕这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值剖析的解的存在性和独一性的证明中起重要作用。压缩映照原理的应用：在众多状况下，求解各样方程的问题能够转变成求其某一映照的不动点，此刻以大家熟习的一阶常微分方程dy〔1〕f(x,y)dx为例来说明这一点。求微分方程〔1〕知足初始条件y(x0)y0的解与求积分方程xy(x)y0f(x,y(t))dt〔2〕0等价。我们做映照xTy(x)y0f(x,y(t))dtx0那么方程〔2〕的解就转变成求y，使之知足Tyy。也就是求这样的y，它经映照作用后仍变成y。所以，求解方程〔1〕就变成求映照T的不动点，这类求解方程变成求解映照的不动点的做法在数学中是常用的。那么怎样求解映照的不动点呢？在R中求方程解的逐次逼近法给了我们启迪。这类迭代原理是解决映照不动点问题最根本的方法。在解决上述问题中，看到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其余方程求解的逐次迫近法在泛函剖析中成了一个一般原理，即压缩映照原理，压缩映照原理就是某一类映照不动点存在性和唯一性问题，不出色文档适用标准文案动点能够经过迭代序列求出。注：〔1〕从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可随意选用，最后都能收敛到惟一不动点。〔2〕该定理供给了近似计算不动点的偏差预计公式，即na(x,xn)(Tx0,x0)1a因为齐备胸怀空间的任何子集在原有胸怀下仍旧是齐备的，所以定理中的压缩映照不需要在整个空间X上有定义，只需在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依旧建立。在实质应用过程中，有时T自己未必是压缩映照，但T的假定干次复合Tn是压缩映照，这时T仍旧有唯一不动点，下边是压缩映照原理的应用及有关证明。例1线性代数方程Axb均可写成以下形式xCxD〔3〕此中C(cij)nn,D(d1,d2,T。假如矩阵C知足条件,dn)ncij1(i1,2,,n)j1那么式〔3〕存在唯一解，且此解可由迭代求得。证明：取XRn，定义胸怀为(,)maxaibi1inTT(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)结构映照T:XX为TxCxD，那么方程〔3〕的解等价于映照T的不动点。对于x(x1,x2,,xn)T,y(y1,y2,,yn)T，因为nn(Tx,Ty)max(cijxjdj)(cijyjdj)1in1j1jnnmaxcij(xjyj)maxcij(x,y)1in1in1j1jn记amaxcij，由条件a1，所以T是压缩映像，于是T有唯一不动点，所以方程〔3〕1inj1出色文档适用标准文案有唯一解，且此解可由以下迭代序列x(k)(k1)CxD近似计算求得。例2观察以下常微分方程的初值问题dyf(x,y)dxy(x0)y0假如f(x,y)在R2上连续，且对于第二元y知足Lipschitzf(x,y1)f(x,y2)Ky1y2这里K0是常数，那么方程〔4〕在[x0,x0]上有唯一解证明：方程〔4〕的解等价于以下方程xy(x)y0xf(t,y(t))dt0的解。取连续函数空间C[x0,x0]，定义其上的映照

〔4〕条件，即1()。K〔5〕T:C[x0,x0]C[x0,x0]为x(Ty)(x)y0f(t,y(t))dtx0那么积分方程〔5〕的解等价于T的不动点。对随意两个连续函数y1(x)，y2(x)C[x0,x0]，因为x(Ty1,Ty2)maxx0[f(t,y1(t))f(t,y2(t))]dtx[x0,x0]xmaxx0f(t,y1(t))f(t,y2(t))dtx[x0,x0]xmaxKy1(t)y2(t)dtK(y1,y2)x[x0,x0]x0令aK，那么a1，故T是压缩映照，进而T有唯一不动点，即积分方程〔5〕有唯一解，进而微分方程〔4〕在[x0,x0]上有唯一解。例3设K(s,t)是定义在[a,b][a,b]上的二元连续函数，那么对于任何常数及任何给定的连续函数f(t)C[a,b]，以下Volterra型积分方程出色文档适用标准文案tx(t)K(s,t)x(s)dsf(t)(6)a存在独一解。证明：取连续函数空间C[a,b]，其上定义映照T：C[a,bC[a,b]]为t(Tx)(t)K(s,t)x(s)dsf(t)a那么方程〔6〕的解等价于T的不动点。因为K(s,.t)在[a,b][a,b]上连续，于是K(s,t)在[a,b][a,b]有最大值，记为M，即MmaxK(s,t)：(s,t)[a,b][a,b]对任何两个连续函数x1(t),x2(t)，因为t(Tx1)(t)(Tx2)(t)aK(s,t)[x1(s)x2(s)]dsM(ta)maxbx1(s)x2(s)asM(ta)(x1,x2)22tt)(T)(t)K(s,t)[(Tx1)(s)(Tx2)(s)]ds(Tx1)(x2a22t(x1,x2)(sa)dsMa22(t2Ma)(x1,x2)2一般地，对自然数n，概括可得nnnnnM(ta)(Tx1)(t)(Tx2)(t)n!(x1,x2)所以nnnnx2)(t)(Tx1,Tx2)max(Tx1)(t)(TatbnnnM(ba)n!(x1,x2)nnn注意到limM(ba)0，所以存在自然数n0，知足n!n出色文档适用标准文案n0n0(bnMa)0n0!a1这说明Tn0是压缩映照，由压缩映照原理可知，有唯一不动点，亦即Volterra有唯一解。例4〔隐函数存在定理〕设函数f(x,y)在带状域axb,续，且到处有对于y的偏导数fy'(x,y)。假如存在常数m和M，知足0'mMmfy(x,y)M,

型积分方程〔6〕中到处连那么方程f(x,y)0在区间[a,b]上必有唯一的连续函数y(x)作为解，即f(x,(x))0,x[a,b]证明：在齐备空间C[a,b]中作映照T，使对于随意的函数C[a,b]，有(T)(x)(x)1f(x,(x))M按定理条件，f(x,y)是连续的，所以(T)(x)也是连续的，即TC[a,b]，故T是C[a,b]到C[a,b]的映照。现证T是压缩映照，1,2C[a,b]由微分中值定理存在01使11(T2)(x)(T1)(x)2(x)f(x,2(x))1(x)f(x,1(x))MM2(x)1'1(x)((x)1(x))](2(x)1(x))1(x)fy[x,2M2(x)1(x)(1m)M又0mMm1令1m，那么01,且所以0MM(T2)(x)(T1)(x)2(x)1(x)按C[a,b]中距离的定义，有(T2,T1)2(x)1(x)，所以T是压缩映像，存在C[a,b]使T，即(x)(x)1f(x,1f(x,(x))0，所以(x))，即MMf(x,(x))0(axb)出色文档适用标准文案★可见，压缩映照原理在办理迭代数列的收敛、微分方程定解等问题上有侧重要的应用，其看法与方法已经浸透到数学的各个分支如常微分方程、数值计算，加深了各分支间的相互联系，应用压缩映照原理解决问题也十分简短、灵巧和方便。〔二〕赋范线性空间线性空间设X是非空会合，F是实数域或复数域，称X为F上的线性空间，假如知足以下条件：对两个元素x,yX，X中唯一个元素u与之对应，u称为x与y的和，记为xy，且知足：1〕互换律2〕联合律

xyyx(x,yX)；x(yz)(xy)z(x,y,zX)；〔3〕在X中存在一个元素，称为零元，使xx(xX)；〔4〕对每个xX，存在xX，使x(x)，x称为x的负元。对随意数F及xX，存在X中唯一元素v与之对应，记为vx，称为与x的数乘，且知足：〔1〕联合律(x)()x(,)F,xX：〔2〕1xx；〔3〕数乘对加法分派律()xxx；〔4〕加法对数乘分派律(xy)xy。假如FR，称X为实线性空间；假如FC〔复数域〕，称X为复线性空间。对于线性空间：X是线性空间〔知足加法和数乘运算〕，Y是X的非空子集，随意x,yY及随意α?R，都有x+yY及axY，那么Y按X中加法和数乘运算也成为线性空间，称为X的子空间，X和{0}是平庸子空间。假定XY，那么称Y是X的真子空间。赋范线性空间和巴拿赫〔Banach〕空间〔要点内容〕定义：设X为实〔或复〕的线性空间，假如对每一个向量xX，有一个确立的实数，出色文档适用标准文案记为║x║与之对应，并且知足：〔1〕║x║≥0且║x║=0x=0〔2〕║αx║=α║x║此中α为随意实〔复〕数〔3〕║x+y║≤║x║+║y║x,yX那么称║x║为向量x的范数，称X按范数║x║成为赋范线性空间扩展：①║x║是x的连续函数。〔要会证明〕②设{xn}是X中的点列，假如xX，使║xnx║→0〔n→∞〕那么称{xn}依范数收敛于x，记为xnx〔n→∞〕或limxnxn③假如令d〔x，y〕=║x-y║〔x,yX〕，{xn}依范数收敛于x{xn}按距离d〔x，y〕收敛于x，称d〔x，y〕为是由范数║x║导出的距离。★注意：线性贱范空间必定是胸怀空间，反过来不必定建立。齐备的线性赋范空间称为巴拿赫〔Banach〕空间巴拿赫空间的举例①n维欧式空间Rｎ②C[a，b]③l④Lｐ[a，b]〔p1〕⑤lp其余：①霍尔德Horder(不等式)：bg(t)dtfg；af(t)pp②闵可夫斯基不等式：fgpfgp。p〔记着结论并会应用〕二、有界限性算子和连续线性泛函1.算子定义：赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y的映照，被称为算子，假如Y是数域，那么被称为泛函。2.线性算子和线性泛函定义：设X和Y是两个同为实〔或复〕的线性空间，D(?)是X的线性子空间，T为D到Y中的映照，假如对任何x，y∈D及数α，都有T〔x+y〕=Tx+Ty〔1〕T〔αx〕=αTx〔2〕那么称T为D到Y中的线性算子，此中D称为T的定义域，记为D〔T〕，TD称为T的值域记为R(T)，当T取值于实〔或复〕数域时，称T为实〔或复〕线性泛出色文档适用标准文案函。几种常有的线性算子和线性泛函的例子：①相像算子Tx=αx当α=1时为恒等算子；当α=0时为零算子；②P[0，1]是[0，1]上的多项式全体，定义微分算子：dx(t)，〔Tx〕〔t)=dtt0∈[0，1]，对x?P[0，1]，定义f〔x〕=x′〔t0〕那么f是P[0，1]上的线性泛函。③积分算子：x∈C[a，b]Txｔ由积分线性性质知T为线性算子，〔t〕=∫ａx()dｂ假定令f(x)=∫ａx()d那么f是C[a，b]中的线性泛函④乘法算子：x∈C[a，b]Tx〔t〕=tx〔t〕Rｎ中的线性变换是线性算子有界限性算子定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D〔T〕到Y中线性算子，假如存在常数c，使对所有x∈D〔T〕，有：║Tx║≤c║x║，那么称T是D〔T〕到Y中的