数据结构与算法：B-树和B+树

9.5B-树和B+树1、B-树2B+树9.5.1B-树

一B-树的定义B-树是一种平衡的多路查找树。一棵m阶的B-树，或为空树，或为满足下列特性的m叉树：

1．树中每个结点至多有m棵子树，m-1个关键字；

2．若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；

3．除根之外的所有非终端结点至少有棵子树，至少有-1个关键字；4．所有的非终端结点中包含下列信息数据：

(n,A0,K1,A1,K2,A2,…,Kn,An)其中：Ki(i=1,…,n)为关键字，且Ki<Ki+1(i=1,…,n-1)；

Ai(i=1,…,n)为指向子树根结点的指针，且指针Ai-1所指子树中所有结点的关键字均小于Ki(i=1,…,n)，Ai所指子树中所有结点的关键字均大于Ki，n为关键字的个数（或n＋1为子树个数）。一、B-树的定义9.5.1B-树

5．所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。一、B-树的定义9.5.1B-树

二、图形表示图1 一棵4阶的B-树tabcfegdh135111243781181271391993475364FFFFFFFFFFFF结点中关键字个数为1<=n<=3

子树数量范围为2<=k<=49.5.1B-树

从根结点出发，沿指针搜索结点和在结点内进行顺序（或折半）查找两个过程交叉进行。三、查找

若查找成功，则返回指向被查关键字所在结点的指针和关键字在结点中的位置；若查找不成功，则返回插入位置。9.5.1B-树

#define m 3 //B-树的阶，暂设为3typedefstructBTNode{ int keynum//结点中关键字个数，即结点的大小

structBTNode*parent;//指向双亲结点

KeyType key[m+1];//关键字向量，0号单元未用

structBTNode*ptr[m+1]; //子树指针向量//记录指针向量，0号单元未用

}BTNode,*BTree;B-树结构体B-树查询结构体typedefstruct{ BTNode *pt; //指向找到的结点

int i; //1..m，在结点中的关键字序号

int tag; //1:查找成功，0:查找失败

}Result; //B-树的查找结果类型三、B-树的查找算法代码9.5.1B-树

查找分析从上述算法可见，在B-树上进行查找包含两种基本操作：a.在B-树中找结点（操作在磁盘上进行）；b.在结点中找关键字（操作在内存中进行）。显然，在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找耗费时间多得多，因此，在磁盘上进行查找的次数、即待查关键字所在结点在B-树上的层次数，是决定B-树查找效率的首要因素。

9.5.1B-树

四、B-树的查找

根据B-树的定义，第一层至少有1个结点；第二层至少有2个结点；棵子树，则第三层至少有2()个结点；……；依次类推，第l＋1层至少有)l-1由于除根之外的每个非终端结点至少有2(个结点。而l＋1层的结点为叶子结点。若m阶B-树中具有N个关键字，则叶子结点即查找不成功的结点为N＋1，由此有：推得：3．查找分析9.5.1B-树

四、B-树的查找查找分析这就是说，在含有N个关键字的B-树上进行查找时，从根结点到关键字所在结点的路径上涉及的结点数不超过9.5.1B-树

四、B-树的查找四、B-树的插入（重点和考点）1．算法思想：由于B-树结点中的关键字个数必须

。因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”。9.5.1B-树

五、B-树的插入2一般情况下，结点可如下实现“分裂”：假设p结点中已有m-1个关键字，当插入一个关键字之后，结点中含有信息为：m,A0,(K1,A1),…,(Km,Am)且其中Ki<Ki+1，1≤i<m，此时可将p结点分裂为p和p’两个结点，其中p结点中含有信息为：

9.5.1B-树

五、B-树的插入p’结点中含有信息：而关键字和其右指针一起上升插入到p的双亲结点中，该右指针指向p’。9.5.1B-树

3．例子例如，图2所示为3阶B-树（图中略去F结点，即叶子结点），假设需一次插入关键字30，26，85和7。(a) bta45b24c312d37f50h100g6170e5390图2一棵2-3树五、B-树的插入bta45b24c312df50h100g6170e53903037(b)五、B-树的插入bta45b24c312df50h100g6170e5390263037(c)五、B-树的插入bta45b2430c312df50h100g6170e53903726d’(d)bta45b2430c312df50h100g617085e53903726d’(e)五、B-树的插入(f)bta45b2430c312df50h100g61e5370903726d’85g’五、B-树的插入(g)bta4570b2430c312df50h100g61e533726d’85g’e’90五、B-树的插入(h)bta4570b72430c3df50h100g61e533726d’85g’e’9012c’五、B-树的插入bta244570b7c3df50h100g61e5326d’85g’e’9012c’30b’37(i)五、B-树的插入(j)bta70b7c3df50h100g61e5326d’85g’e’9012c’30b’ma’452437(a)一棵2-3树；(b)插入30之后；(c)、(d)插入26之后；

(e)~(g) 插入85之后；(h)~(j)插入7之后；图2 在B-树中进行插入（省略叶子结点）五、B-树的插入

五、B-树的删除1．算法思想：在B-树中删除一个关键字，则首先应找到该关键字所在结点，并从中删除之。（1）若所删关键字为非终端结点中的Ki，则以指针Ai所指子树中的最小关键字Y替代Ki，然后在相应的结点中删去Y。（2）若所删关键字在最下层非终端结点中。有下列3种情况：a．被删关键字所在结点中的关键字数目不小于，则只需从该结点中删去该关键字Ki和相应指针Ai，树的其他部分不变。9.5.1B-树

b．被删关键字所在结点中的关键字数目等于-1，而与该结点相邻的右兄弟（或左兄弟）结点中的关键字数目大于-1，则需将其右兄弟结点中的最小（或左兄弟最大）的关键字上移至双亲结点中，而将双亲结点中小于（或大于）且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

六、B-树的删除c．被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于-1。假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由双亲结点中的指针Ai所指，则在删去关键字之后，它所在结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai所指兄弟结点中（若没有右兄弟，则合并至左兄弟结点中）。如果因此使双亲结点中的关键字数目小于

-1，则一次类推作相应处理。

六、B-树的删除bta45b24c312

d37f50h100g6170e53902．例子

六、B-树的删除bta45b24c3d37f50h100g6170e5390(a)

六、B-树的删除bt45ab24c3d37f53h100g70e6190(b)

六、B-树的删除bt45ab24c3d37

h100g6170e90(c)

六、B-树的删除ec324h100g61704590bt(d)图3 在B-树中删除关键字的情形

六、B-树的删除

说明：（1）从图2(a)所示B-树中删去关键字12，删除后的B-树如图3(a)所示。（2）从图3(a)中删去50，需将其右兄弟结点中的61上移至*e结点中，而将*e结点中的53移至*f，从而使*f和*g中关键字数目均不小于－1，而双亲结点中的关键字数目不变，如图3(b)所示。

六、B-树的删除

说明：（3）从图3(b)所示B-树中删去53，则应删去*f结点，并将*f中的剩余信息（指针“空”）和双亲*e结点中的61一起合并到右兄弟结点*g中，删除后的树如图3(c)所示。（4）在图3(c)的B-树中删去关键字37之后，双亲b结点中剩余信息（“指针c”）应和其双亲*a结点中关键字45一起合并至右兄弟结点*e中，删除后的B-树如图3(d)所示。

六、B-树的删除9.5.2B＋树1、定义

B＋树是应文件系统所需而出的一种B-树的变型树。一棵m阶的B＋树和m阶的B-树的差异在于：有n棵子树的结点中含有n个关键字。3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。通常在B＋树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。9.5.