测试与检测技术基础

测试技术(1)四、周期信号的频域描述在有限区间上，一个周期信号x（t）当满式中，注意：an是n或nω0的偶函数，a-n=an；而bn则是n或nω0的奇函数，有b-n=-bn

。2n1n

0n

0足狄 条件*时可展开成x

(t

)

a

0

(

a

cos

n

t

b

sin

n

t

)级数：(2.12)da(2.13)b

d(2.14)信号x（t）的另一种形式的式中，An称信号频率成分的幅值，φn称初相角。注意：An是n或nω0的偶函数，A-n=An；而bn则是n或nω0的奇函数，有φ-n=-φn

。比较式（2.12）和式（2.15），可见：0n1n

nx

(t

)

a

0

2A

cos(

n

t

)级数表达式：（2.15）22nn

nnbn

arctg

(

)a

a

b

A

nn＝1,2,……（2.16）

n

n

nb

A

sin

an

An

cos

nn＝1,2,……

（2.17）小结与式中第一项a0/2为周期信号中的常值或直流分量；从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波；将信号的角频率ω0作为横坐标，可分别画出信号幅值An和相角φn随频率ω0变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。由于n为整数，各频率分量仅在nω0的频率处取值，因而得到的是关于幅值An和相角φn的离散谱线。周期信号的频谱是离散的!例1

求图2.11所示的周期方波信号x（t）的 级数。解：信号x（t）在它的一个周期中的表达式为：图2.11

周期

信号T2

1,

0

t

1,

T

t

02x

(t

)

根据式（2.13）和（2.14）有：a

d

0注意：本例中x(t)为一奇函数，而cosnω0t为偶函数，两者的积x(t)cosnω0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下限对称区间上的积分值等于零。根据式（2.12），便可得图2.11所示周期 信号的 级数表达式为：

4100

0

00n

,5,31,,n

6,4,2,0

2TbT

/20T

/02T

/2T

/2n

n2

cos1nn

n

t

)cos(n

12

cos

n

tT

nx

t

sin)n(

tdx(t

)

4

(sin

t

1

sin

3

t

1

sin

5

t

)

0

3

0

5

0图2.12

周期信号的频谱图奇、偶函数的系数计算特点x(t)为奇函数由于x(-t)=-x(t)，因此，由式（2.16）进而有00n

)

4T

bT

/2na

n

0x

t

sin)n(

td（2.18）2(

n

1,

2,)(

2m

1)

n

An

bn（,

m为整数）（2.19）x(t)为偶函数由于x(-t)=x(t)，因而有进而有图2.14

偶函数例，图中函数为对称于纵轴的三角波00)n

4TaT

/2n

bn

0x

t

cos)n(

td（2.20）n

1)

n

An

an

m（,

m为整数）（2.21）级数表达成指数函数的形式由公式可知：代入式（2.12）有：令则或2j2(e

jt

e

jt

)

e

jt

)

sin

t

cost

1

(e

jt（2.22）1

1n1a

jbnn)(e2

jbnn)(e

a2

2a0xt()jn

0

t

jn

0

t2120n

1,2,3

C

1

(

a

jb

)

C

(

an

jbn

)2

a

0C

nn

nn（2.23）0Cne

1,2,3()

xtCCen1

nn1njn

0

t

jn

0

tx

(t

)

n

0,1,2,nnC

e

jn

0

t（2.24）（2.25）求级数的复系数

CnCn是离散频率nω0的函数，称为周期函数x(t)的离散频谱。

Cn一般为复数，故可写为且有00

1

T1TCT

/

2T

/

2T

/

2n

,21,,0T

/

2

T

/

2T

/

2n)(etxjn

0

t

dtsin)(

tdcos)(

（2.26）nn

n

Re

C

j

ImCC

Ce

j

n（2.27）nn

nC

Re

2

C

Im

2

C（2.28）nnRe

C

arctgIm

Cn（2.29）离散频谱的两个重要性质每个实周期函数的幅值谱是n（或nω0）的偶函数。当周期信号有时间移位τ时，其振幅谱不变，相位谱发生±nω0τ弧度的变化。周期信号的频谱的特点周期信号的频谱是离散谱；周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处；周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。例2

求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为T，脉冲宽度为τ，如图2.16所示。图2.16

周期矩形脉冲解：根据式（2.26）有22210000sin

sin

n

0,1,2,

Te

dtT

1TCT

/

2nn

0n

2

T

n

0n

T

jn

/

2

/

2

jn

t

1

e

0

/

2

/

2

jn

tT

/

2x

(t

)e

jn

0

t

dt由于ω0=2π/T，代入上式得定义则式（2.36）变为根据式（2.25）可得到周期矩形脉冲信号的叶级数展开式为

,n

0,1,2,TTCn

nsin

n

T（2.36）xdef

sin

xsin

c(

x)

（2.37）

n

0,,1,2,

sin

cT

2TCn

T

sin

c

n

0

n

（2.38）

nn

neTn0sin

cx

(t

)

jn

tC e

jn

0

t

T（2.39）图2.17

周期矩形脉冲的频谱（T=4τ）通常将0≤ω

≤2π/T这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽，用符号ΔC表示：考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。C

1(2.40)图2.18

信号脉冲宽度与频谱的关系信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形：图2.19

信号周期与频谱的关系五、周期信号的功率一个周期信号x（t）的功率为：将式（2.15）代入式（2.41），有根据正交函数的性质，式（2.41）展开后的结果为：上式等号右端的第一项表示信号x（t）的直流功率，而第二项则为信号的各次谐波的功率之和。T

/

2T

/2x

2

(t

)

dt1TP（2.41）

22T

/2n1T

/

2

a

0P

1T

An

cosn

0

t

n

dt

（2.42）122nT

/

2A

21Tn1T

/

2

2

ax

(t

)

2

dt

0

P

（2.43）又因为，故式（2.43）又可写为式(2.43)和式(2.44)称巴塞伐尔（Parseval）定理。它表明：周期信号在时域中的信号功率等于信号在频域中的功率。定义周期信号x（t）的功率谱为其中Pn表示信号第n个功率谱点。功率谱的性质:Pn是非负的；Pn是n的偶函数；Pn不随时移τ而改变。21Cn

An

nn

CCn1

n2

220T

/

2T

/

2

2x

(t

)

2

dt

CP

1T（2.44）2

,n

0,1,2,P

Cn

n（2.45）六、非周期信号的频域描述（一）

变换与连续频谱（二）能量谱（三）

变换的性质（四）功率信号的

变换（一） 变换与连续频谱设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为 级数的形式：式中将式（2.50）代入式（2.49）得当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，另外，频率间隔Δω=ω0=2π/T变为无穷小量，离散频率nω0变成连续频率ω。x

(t

)

Cn

e

0jn

tn(2.49)

1T

/

2T

/

2nTCx

(t

)e

jn

0

t

dt(2.50)dt

en

T

T

/

2T

/

21x

(t

)

jn

0

tx

(t

)e

jn

0

t(2.51)由式（2.51）得到它是变量ω的函数。则（2.52）式可写为：将X(ω)称为x（t）的变换，而将x(t)变换，记为：

dx

(t

)e

jt

dt

e

jt

d2

1x

(t

)e

jt

dt

e

jt

2

x

(t

)

(2.52)将式（2.52）中括号中的积分记为：

jtx(t

)e

dtX

(

)

(2.53)(

)

jt

deX

1

2(tx)

(2.54)称为X(ω)的逆x(t

)

X

(

)(2.55)非周期函数x（t）存在有

变换的充分条件是x（t）在区间(-∞,

∞)上绝对可积，即但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行变换。若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式（2.53）和（2.54）分别变为x(t

)

dt

X

(

f

)

x(t

)e

j

2

ft

dt(2.56)x(t

)

X

(

f

)e

j

2

ft

df(2.57)小结：–从式（2.57）可知，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2πf的系数，决定着信号的振幅和相位。–X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。–由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为量为ω时）称非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)（或φ(ω)）称x(t)的相位谱。X

(

f

)

X

(

f

)

e

j

(

f

)(2.59)，当变将上式中的X

(f

)X

((或)例4 求图示单边指数函数于是dtdt1e

(t

)e0a

j

2fX

(

f

)

e

at

e

j

2

ftat

j

2

ft的频谱。解：由式（2.56）有x

(t

)e

j

2

ft

dt1a

2

(2f

)

2X

(

f

)

a

(

f

)

arctg

2f图2.21单边指数函数e-atξ(t)

(a>0)图2.22

单边指数函数e-atξ(t)(a>0)的频谱例5

图2.23所示为一矩形脉冲（又称窗函数或门函数），用符号gT(t)表示：解：图2.23

矩形脉冲函数0,

其它21,

t

Tg

T

(t

)

求该函数的频

谱。222

T

1

e

dtT

/

21

T

sin

c

T

T

sin

T

jGT

(

)

g

T

(t

)e

dtT

/

2

e

jT

/

2

e

jT

/2

jt

jt(2.59)其幅频谱和相频谱分别为：可以看到，窗函数gT(t)的频谱GT(ω)是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个π弧度。

2TG

T

sin

c

T

(2.60)

2

2

,

sin

c

T

0

0,

sin

c

T

0

(

)

(2.61)rect

(t

)

sin

c(

)(2.62)T图2.24

矩形脉冲函数的频谱G

(ω)变换矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对

对，若用rect（t）表示矩形脉冲函数则有：（二）能量谱，式(2.64)变为一个非周期函数x（t）的能量定义为E

x

2

(t

)dt(2.63)将式（2.54）代入上式可得E

jtX

(

)

X

(

)

dx

(t

)e

jt

dt

dX

(

)

1

2

12X

(

)e

d

dt

2

1x

(t

)

x

2

(t

)

dt(2.64)对于实信号x(t)，有X

(

)

X

*

(

)E

X

(

)

2

dX

(

)

X

*

(

)

dX

(

)

X

(

)

d

1

2

12

12由此最后得式（2.64）亦称巴塞伐尔方程或能量等式。它表示，一个非周期信号x(t)在时域中的能量可由它在频域中连续频谱的能量来表示。式（2.64）亦可写成其中，,称S(ω)为x(t)的能量谱密度函数，简称能量谱函数。E

2X

(

)

2

d2

1x

(t

)

dt

(2.65)021

0

S

(

)

dX

(E

(2.66)S

(

)

X

(

)

2

图2.27

矩形脉冲函数的能量谱曲线及能量表示(三) 变换的性质对称性（亦称对偶性）线性尺度变换性奇偶性时移性频移性（亦称调制性）卷积时域微分和积分频域微分和积分1.

对称性（亦称对偶性）则若有x(t

)

X

(

)则有X

(t)

2x()2.

线性如果有(2.67)1

1x

(t)

X

()x2

(t)

X

2

()ax1

(t)

bx2

(t)

aX1

()

bX

2

()(2.68)3.尺度变换性若信号x（t）在时间轴上被压缩至原信号的

1/a，则其频谱函数在频率轴上将展宽a倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的1/|a|。信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。如果有x(t)

X

()则对于实常数a，有

a

ax(at)

1

X

(2.69)图2.29

窗函数的尺度变换（a=3）4.奇偶性x(t)为时间t的实函数x(t)为偶函数（x(t)=x(-t)），X(ω)为ω的实、偶函数；x(t)为奇函数（x(t)=-x(-t)），X(ω)为

ω的虚、奇函数；x(t)为时间t的实函数X

(

)

X

(

)

,Im

X

(

)

Im

X

(

)

(

)

(

)Re

X

(

)

Re

X

(

),(2.73)x(t)

X

()

X

*

()(2.74)5.时移性如果有例8 求图2.30所示矩形脉冲函数的频谱

。解：该函数的表达式可写为x(t)

X

()

jt则x(t

t0

)

X

()e

0(2.75)图2.30

具有时移t0的矩形脉冲

T

x(t)

Arect

t

t0

可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置所形成。则X

(

f

)

AT

sin

c(fT)e

j

2ft0幅频谱和相频谱分别为0

2t f

,sin

c(fT

)

0sin

c(fT

)

0

2t0

f

,

(

f

)

X

(

f

)

AT

sin

c(fT

)图2.31具有时移的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形6.频移性（亦称调制性）如果有x(t)

X

()则

x(t)e

jt0

X

(

)0ω0

——常数。(2.76)图2.32x(t)cosω0t的频谱7.卷积时域卷积如果有则x(t)

X

()h(t)

H

()x(t)

h(t)

X

()

H

()(2.79)式中x(t)*h(t)表示x(t)与h(t)的卷积。频域卷积如果有x(t)

X

()h(t)

H

()则12X

()

H

()x(t)

h(t)

(2.81)证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有x(

)

h(t

)dx(t)

h(t)

(2.80)

e

jt

jth(t

)e

dt

dx(

)

)d

d