极值点偏移终稿答案解析

..极值点偏移问题的处理策略及探究---答案例1.〔2010天津理已知函数,如果,且,证明：[解析]法一：,易得在上单调递增,在上单调递减,时,,,时,,函数在处取得极大值,且,如图所示.由,不妨设,则必有,构造函数,则,所以在上单调递增,,也即对恒成立.由,则,所以,即,又因为,且在上单调递减,所以,即证法二：欲证,即证,由法一知,故,又因为在上单调递减,故只需证,又因为,故也即证,构造函数,则等价于证明对恒成立.由,则在上单调递增,所以,即已证明对恒成立,故原不等式亦成立.法三：由,得,化简得…,不妨设,由法一知,.令,则,代入式,得,反解出,则,故要证：,即证：,又因为,等价于证明：…,构造函数,则,故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,即证式成立,也即原不等式成立.法四：由法三中式,两边同时取以为底的对数,得,也即,从而,令,则欲证：,等价于证明：…,构造,则,又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知：,即证,即证式成立,也即原不等式成立.[点评]以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的.例2.已知函数有两个不同的零点,求证：.[解析]思路1：函数的两个零点,等价于方程的两个实根,从而这一问题与例1完全等价,例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数有两个零点,所以,由得：,要证明,只要证明,由得：,即,即证：,不妨设,记,则,因此只要证明：,再次换元令,即证构造新函数,求导,得在递增,所以,因此原不等式获证.[点评]含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数。例3.已知函数,为常数,若函数有两个零点,试证明：[解析]法一：消参转化成无参数问题：,是方程的两根,也是方程的两根,则是,设,,则,从而,此问题等价转化成为例1,下略.法二：利用参数作为媒介,换元后构造新函数：不妨设,∵,∴,∴,欲证明,即证.∵,∴即证,∴原命题等价于证明,即证：,令,构造,此问题等价转化成为例2中思路二的解答,下略.法三：直接换元构造新函数：设,则,反解出：,故,转化成法二,下同,略.例4.设函数,其图像与轴交于两点,且.证明：.[解析]由,易知：的取值范围为,在上单调递减,在上单调递增.法一：利用通法构造新函数,略；法二：将旧变元转换成新变元：∵两式相减得：,记,则,设,则,所以在上单调递减,故,而,所以,又∵是上的递增函数,且,∴.容易想到,但却是错解的过程：欲证：,即要证：,亦要证,也即证：,很自然会想到：对两式相乘得：,即证：.考虑用基本不等式,也即只要证：.由于.当取将得到,从而.而二元一次不等式对任意不恒成立,故此法错误.[迷惑]此题为什么两式相减能奏效,而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?[解决]此题及很多类似的问题,都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：函数在闭区间上连续；函数在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.当时,即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理,设函数图像与轴交于两点,因此,∴,……由于,显然与,与已知不是充要关系,转化的过程中范围发生了改变.例5.〔11年,XX理已知函数〔I讨论的单调性；〔II设,证明：当时,；〔III若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明：.[解析]〔I易得：当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减.〔II法一：构造函数,利用函数单调性证明,方法上同,略；法二：构造以为主元的函数,设函数,则,,由,解得,当时,,而,所以,故当时,.〔III由〔I知,只有当时,且的最大值,函数才会有两个零点,不妨设,则,故,由〔II得：,又由在上单调递减,所以,于是,由〔I知,.[问题的进一步探究]对数平均不等式的介绍与证明例1.〔2010天津理已知函数,如果,且,证明：[解析]法五：由前述方法四,可得,利用对数平均不等式得：,即证：,秒证.说明：由于例2,例3最终可等价转化成例1的形式,故此处对数平均不等式的方法省略.例4.设函数,其图像与轴交于两点,且.证明：.[解析]法三：由前述方法可得：,等式两边取以为底的对数,得,化简得：,由对数平均不等式知：,即,故要证∵∴,而∴显然成立,故原问题得证.例5.〔11年,XX理已知函数〔III若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明：.[解析]〔I〔II略,〔III由故要证.根据对数平均不等,此不等式显然成立,故原不等式得证.练习1：〔2015XX四模题已知函数有两个零点,则下列说法错误的是A.B.C.D.有极小值点,且[答案]C[解析]函数导函数：有极值点,而极值,,A正确.有两个零点：,,即：=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得：根据对数平均值不等式：,而,B正确,C错误而=1\*GB3①+=2\*GB3②得：,即D成立.练习2：〔2016年新课标I卷理数压轴21题已知函数有两个零点.证明：.[解析]由,得,可知在上单调递减,在上单调递增.要使函数有两个零点,则必须.法一：构造部分对称函数不妨设,由单调性知,所以,又∵在单调递减,故要证：,等价于证明：,又∵,且∴,构造函数,由单调性可证,此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：,不难发现,,故可整理得：设,则那么,当时,,单调递减；当时,,单调递增．设,构造代数式：设,则,故单调递增,有．因此,对于任意的,．由可知、不可能在的同一个单调区间上,不妨设,则必有令,则有而,,在上单调递增,因此：整理得：．法三：参变分离再构造对称函数由法二,得,构造,利用单调性可证,此处略.法四：构造加强函数[分析说明]由于原函数的不对称,故希望构造一个关于直线对称的函数,使得当时,,当时,,结合图像,易证原不等式成立.[解答]由,,故希望构造一个函数,使得,从而在上单调递增,在上单调递增,从而构造出〔为任意常数,又因为我们希望,而,故取,从而达到目的.故,设的两个零点为,结合图像可知：,所以,即原不等式得证.法五：利用"对数平均"不等式,,由对数平均不等式得：,,从而等价于：由,故,证毕.练习3：已知函数与直线交于两点.求证：[解析]由,,可得：=1\*GB3①,=2\*GB3