普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)

一般高等学校招生全国一致考试数学(浙江卷)(含答案)一般高等学校招生全国一致考试数学(浙江卷)(含答案)一般高等学校招生全国一致考试数学(浙江卷)(含答案)绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国一致考试〔浙江卷〕数学本试题卷分选择题和非选择题两局部。全卷共4页，选择题局部1至2页；非选择题局部3至4页。总分值150分。考试用时120分钟。考生注意：1．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的地点上。2．答题时，请依据答题纸上“本卷须知〞的要求，在答题纸相应的地点上标准作答，在本试题卷上的作答一律无效。参照公式：假定事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)柱体的体积公式VSh假定事件A，B互相独立，那么P(AB)P(A)P(B)此中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高假定事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次锥体的体积公式V1Sh独立重复试验中事件A恰巧发生k次的概率3此中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高P(k)Ckpk(1p)nk(k0,1,2,L,n)球的表面积公式nn12台体的体积公式S1S2S2)hS4RV(S13球的体积公式此中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示4V3R台体的高3此中R表示球的半径选择题局部〔共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。1．全集U1,0,1,2,3，会合A0,1,2，B1,0,1，那么(eUA)IB=A．1B．0,1C．1,2,3D．1,0,1,32．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A．2B．12C．2D．2x3y403．假定实数x，y知足拘束条件3xy40，那么z=3x+2y的最大值是xy0A．1B．1C．10D．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，那么积不容异〞称为祖暅原理，利用该原理能够获得柱体的体积公式V柱体=Sh，此中S是柱体的底面积，h是柱体的高．假定某柱体的三视图以下列图〔单位：cm〕，那么该柱体的体积〔单位：cm3〕是A．158B．162C．182D．3245．假定a>0，b>0，那么“a+b≤4〞是“ab≤4〞的A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件6．在同向来角坐标系中，函数y=1x，y=loga(x+1)(a>0，且a≠1)的图象可能是a27．设0＜a＜1，那么随机变量X的散布列是那么当

a在〔0,1〕内增大时，A．D〔X〕增大

B．D〔X〕减小C．D〔X〕先增大后减小

D．D〔X〕先减小后增大8．设三棱锥

V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，

P是棱

VA上的点〔不含端点〕．记直线

PB与直线AC所成的角为

α，直线

PB与平面

ABC所成的角为

β，二面角

P–AC–B的平面角为

γ，那么A．β<γ，α<γ

B．β<α，β<γC．β<α，γ<α

D．α<β，γ<β9．a,bR，函数f(x)x,x0．假定函数yf(x)axb恰有3个零点，1x31(a1)x2ax,x032那么A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0D．a>–1，b>010．设a，b∈R，数列{an}知足a1=a，an+1=an2+b，bN，那么A．当=1时，10>10B．当=1时，a10>1042C．当=–2时，a10>10D．当=–4时，a10>10bb非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共

7小题，多空题每题

6分，单空题每题

4分，共

36分。11．复数

z

1

〔i为虚数单位〕，那么

|z|=___________．1i12．圆

C的圆心坐标是

(0,m)

，半径长是

r

.

假定直线

2x

y3

0与圆

C

相切于点

A(

2,1)，那么m=___________，r

=___________．13．在二项式

(

2

x)9的睁开式中，常数项是

___________，系数为有理数的项的个数是

___________．14．在△ABC中，

ABC

90，AB

4，BC

3，点D在线段

AC上，假定

BDC

45

，那么

BD

____，cosABD

___________．15．椭圆x2y21的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，假定线段PF的中点在以原点O为95圆心，OF为半径的圆上，那么直线PF的斜率是___________．16．aR，函数f(x)ax3x，假定存在tR，使得|f(t2)f(t)|2，那么实数a的最大值是____.317．已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i1,2,3,4,5,6)取遍1时，uuuruuuruuuruuuruuuruuur|1AB2BC3CD4DA5AC6BD|的最小值是___________，最大值是___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．〔本小题总分值14分〕设函数f(x)sinx,xR.〔1〕[0,2),函数f(x)是偶函数，求的值；〔2〕求函数y[f(x)]2[f(x)]2的值域．12419．〔本小题总分值15分〕如图，三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC,ABC90，BAC30,A1AAC1AC,E,F1B1的中点.分别是AC，A〔1〕证明：EFBC；〔2〕求直线EF与平面1所成角的余弦值.ABC20．〔本小题总分值15分〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，a34，a4S3，数列{bn}知足：对每个nN,Snbn,Sn1bn,Sn2bn成等比数列．〔1〕求数列{an},{bn}的通项公式；〔2〕

cn

an2bn

,n

N,

明：

c1

c2+L

cn

2n,n

N.21．〔本小分

15分〕如，点

F(10)，

抛物

y2

2px(p

0)的焦点，点

F的直交抛物于A、B两点，点

C在抛物上，使得

△ABC的重心

G在

x上，直

AC交

x于点

Q，且

Q在点

F的右．

△AFG,

△CQG

的面分

S1,S2．1〕求p的及抛物的准方程；2〕求S1的最小及此点G的坐．S222．〔本小分15分〕数a0，函数f(x)=alnxx1,x0.〔1〕当a3f(x)的区；，求函数4〔2〕随意x1x求a的取范．[2,)均有f(x),e2a注：e=2.71828⋯自然数的底数．2021年一般高等学校招生全国一致考试〔浙江卷〕数学参照答案一、选择题：本题考察根本知识和根本运算。每题4分，总分值40分。1．A2．C3．C4．B5．A6．D7．D8．B9．C10．A二、填空题：本题考察根本知识和根本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．212．2,513．215．1516．417．3

162,514．122,725100,25三、解答题：本大题共5小题，共74分。18．本题主要考察三角函数及其恒等变换等根基知识，同时考察运算求解能力。总分值14分。〔1〕因为f(x)sin(x)是偶函数，所以，对随意实数都有sin(x)sin(x)，x即sinxcoscosxsinsinxcoscosxsin，故2sinxcos0，所以cos0．又[0,2π)，所以π3π或2．222〔2〕yfxπfxπsin2xπsin2xπ1241241cos2xπcos2xπ6121331222cos2xsin2x2213cos2xπ．23所以，函数的值域是[13,13]．2219．本题主要考察空间点、线、面地点关系，直线与平面所成的角等根基知识，同时考察空间想象能力和运算求解能力。总分值15分。方法一：〔1〕连结A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，

A1E

平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，那么A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．所以EF⊥BC．〔2〕取BC中点G，连结EG，GF，那么EGFA1是平行四边形．因为A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由〔1〕得BC⊥平面EGFA1，那么平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连结A1G交EF于O，那么∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角〔或其补角〕．不如设=4，那么在Rt△1中，1=23，=.ACAEGAEEG3因为O为A1G的中点，故EOOGA1G15，22所以cosEOGEO2OG2EG23．2EOOG5所以，直线与平面1所成角的余弦值是3．EFABC5方法二：〔1〕连结AE，因为AA=AC，E是AC的中点，所以AE⊥AC.1111又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，成立空间直角坐标系E–xyz．不如设AC=4，那么A1〔0，0，23〕，B〔3，1，0〕，B1(3,3,23)33，F(,,23)(02，0)．22，C，uuur(3,3,2uuur(3,1,0)．所以，EF3)，BC22uuuruuur0得EFBC．由EFBC〔2〕设直线EF与平面A1BC所成角为θ．由〔1〕可得uuuruuuur，，BC=(，，，23)．310)A1C=(021(x，y，z)，设平面ABC的法向量为nuuurn03xy0BC，由，得A1Cn0y3z0uuuruuurn|4取n(1，3，1)，故sin|=|EF，|cosEF，nuuur|n|5|EF|所以，直线EF与平面ABC所成的角的余弦值为3．1520．本题主要考察等差数列、等比数列、数列乞降、数学概括法等根基知识，同时考察运算求解能力和综合应用能力。总分值15分。〔1〕设数列{an}的公差为d，由题意得a12d4,a13d3a13d，解得a10,d2．进而an2n2,nN*．所以Snn2n，nN*，由Snbn,Sn1bn,Sn2bn成等比数列得Sn12SnbnSn2bn．bn解得bn1Sn21SnSn2．d所以bnn2n,nN*．〔2〕cnan2n2n1*．2bn2n(n1)n(n,nN1)我们用数学概括法证明．〔i〕当n=1时，c1=0<2，不等式成立；〔ii〕假定nkkN*时不等式成立，即c1c2Lck2k．那么，当nk1时，c1c2Lckck1k212kk1(k1)(k2)k2k22k2(k1k)2k1．1kk即当nk1时不等式也成立．依据〔i〕和〔ii〕，不等式c1c2Lcn2n对随意nN*成立．21．本题主要考察抛物线的几何性质，直线与抛物线的地点关系等根基知识，同时考察运算求解能力和综合应用能力。总分值15分。〔1〕由题意得p1，即p=2.2所以，抛物线的准线方程为x=-1.〔2〕设Ax,yA,Bx,yB,Cx,yc，重心Gx,y.令yA2t,t0，那么xAt2.ABcGG因为直线AB过F，故直线AB方程为xt21y1，代入y24x，得2ty22t21y40，t故2tyB4，即yB2，所以B1,2.tt2t又因为xG1xAxBxc,yG1yAyByc及重心G在x轴上，故2t2yc0，得33t2t,G2t42t2C1t,212,0.tt3t2所以，直线AC方程为y2t2txt2，得Qt21,0.因为Q在焦点F的右边，故t22.进而1|FG|yA2t42t221|2t|S13t22t4t2t2221|QG|yc|t212t42t22||22t|t424.S21t123t2t令2mt2>0，那么m，S12m21⋯2113S2m24m333.m42m42mm当m3时，S1获得最小值13，此时G〔，〕．S222022．本题主要考察函数的单一性，导数的运算及其应用，同时考察逻辑思想能力和综合应用能力。总分值15分。〔1〕当a3时，f(x)3lnx1x,x0．44f'(x)31(1x2)(21x1)，4x21x4x1x所以，函数f(x)的单一递减区间为〔0，3〕，单一递加区间为〔3，+〕．〔2〕由f(1)1，得0a22a．4当2x等价于x21x0a时，f(x)2a22lnx0．4aa令t1，那么t22．a设g(t)t2x2t1x2lnx,t22，那么g(t)x(t11)21x2lnx．xx〔i〕当x1,时，1122，那么x7g(t)g(22)8x421x2lnx．记p(x)4x221xlnx,x1，那么7p'(x)2212xx12xx1xx1xxx1(x1)[1x(2x21)].xx1(x1)(x12x)故x1(1,1)1(1,)77p'(x)0+p(x)1)