春考数学公式大全整理稿

数学常用公式及常用结论元素与集合的关系xgAox电CA,xgCAox电A.UU德摩根公式C(ARB)=CAUCB；C(AUB)=CAQCB.UUUUUU3•集合｛a,a，…,a｝的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-i个；非空12n的真子集有2n-2个.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a丰0)；顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a丰0);零点式f(x)=a(x-x)(x-x)(a丰0).12闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)在闭区间[p,q]上的最值只能在x=-丄处及区间的两端2a点处取得，具体如下：(可画图解决问题)(1)当a>0时，若x=-[etp,q],则f(x)=f(-f),f(x)={f(p),f(q)}；2amin2amaxmaxx=-]gtp,q],f(x)={f(p),f(q)},f(x)={f(p),f(q)}.2amaxmaxminmin⑵当a<0时，若x=-]etp,q],则f(x)=min{f(p),f(q)}，若x=-]纟[p,q],贝ij2amin2af(x)=max{f(p),f(q)}，f(x)=min{f(p),f(q)}.maxmin7.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n—1)个小于不小于至多有n个至少有(n+1)个对所有x，成立存在某x，不成立p或q「p且「q对任何x，不成立存在某x，成立p且q「p或「q四种命题的相互关系充要条件(1)充分条件：若pnq，则p是q充分条件.必要条件：若qnp，则p是q必要条件.充要条件：若pnq，且qnp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.函数的单调性设x-xela,b]x丰x那么1212(x-x)[f(x)-f(x)]>0o_f(x2)>0of(x)在1a,b]上是增函数；1212x一x12(x-x)[f(x)-f(x)]<0ofM)_f(x2)<0of(x)在1a,b]上是减函数.1212x-x1212.如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数.13．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.14.两个函数图象的对称性(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x二0(即y轴)对称.(2)同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。15.几个函数方程的周期(约定a>0)f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；16.分数指数幂(a>0,m,ngN*，且n>1).m1(2)a-n=(a>0,m,ngN*，且n>1).man17．根式的性质(1)(na)n=a.(2)当n为奇数时，(2)当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，a,a>0-a,a<018．有理指数幂的运算性质(1)ar•as=ar+s(a>0,r,sgQ).(2)(ar)s=ars(a>0,r,sgQ).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgQ).注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式logN=boab=N(a>0,a丰1,N>0)a.对数的换底公式logNlogN=m—(a>0，且a丰1,m>0，且m丰1,N>0).alogamn推论logbn=logb(a>0，且a>1,m,n>0，且m丰1,n丰1,N>0).amma21．对数的四则运算法则

若a〉0,a#1,M〉0,N〉0,则⑴log(MN)=logM+logN;aaaM⑵log=logM-logN;aNaa⑶logMn=nlogM(neR).aa22.数列的同项公式与前n项的和的关系s,n=s,n=11s—s,n>2nn-123.等差数列的通项公式(数列｛a｝的前n项的和为s=a+aHHa).nn12n其前n项和公式为s=na=aH(n-1)d=dnHa-d(neN*)；n11n(aHa)n(n-1)d1in=na+d=n2+(a-—d)n.21221224.24.等比数列的通项公式a=aqn-i=a-qn(neN*)；n1q其前n项的和公式为其前n项的和公式为a(1-qn)”1,q丰1s=$1—qnna,q=11a-aq4——l,q主1或s=$1-qnna,q=1125.同角三角函数的基本关系式sin20sin20+cos20=1，tan0=一cos0正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变,符号看象限。和角与差角公式sin(a土卩)=sinacos卩土cosasin卩；cos(a土卩)=cosacos卩干sinasin卩；tana土tanBtan(a土卩)=—-.1+tanatan-asina+bcosa仝a2+b2sin(a+p)(辅助角P所在象限由点(a,b)的象限决定，tanp=-).a二倍角公式sin2a=sinacosa.cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a._2tanatan2a=一1-tan2a三角函数的周期公式函数y=sin@x+申),xWR及函数y=cos(®x+申),xWR(A,s,申为常数，且AM0,s>0)的2兀周期T；/，兀，兀函数y=tangx+申),x丰k兀+—,keZ(A,s,9为常数，且AM0,s>0)的周期T=—.2①abc31•正弦定理===2R.sinAsinBsinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.面积定理S=ah=—bh=—ch(h、h、h分别表示a、b、c边上的咼).2a2b2cabcS=—absinC=—bcsinA=—casinB.222三角形内角和定理在厶ABC中，有A+B+C=兀。C=n-(A+B)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)实数与向量的积的运算律设入、卩为实数，那么(1)结合律：入(ua)=(入u)a;⑵第一分配律：(入+u)a=入a+ua;⑶第二分配律：入(a+b)=入a+入b.向量的数量积的运算律：a•b=b•a(交换律)；(九a)•b=九(a•b)=九a•b=a•(九b);(a+b)•c=a•c+b•c.平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实12数入、入，使得a二入e+入e.121122不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12向量平行的坐标表示

设a二(x,y),b=(x,y)，且b丰0,则a|b(b丰0)Oxy-xy=0.11221221a与b的数量积(或内积)a・b=|a||b|cos0.a•b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.平面向量的坐标运算⑴设a二(x,y),b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y).11221212⑵设a二(x,y),b=(x,y)，则a-b=(x-x,y-y).11221212⑶设A(x,y),B(x,y)，则AB=OB-OA=(x-x,y-y).11222121⑷设a二(x,y),XgR，则九a二(九x,九y).⑸设a二(x,y),b=(x,y)，则a・b二(xx+yy).11221212两向量的夹角公式xx+yy/、/、cose=1212(a=(x,y),b=(x,y)).Y：x2+y2-x2+y21122平面两点间的距离公式d=IAB1=AB-ABA,B=、：'(x-x)2+(y-y)2(A(x,y)，B(x,y)).21211122向量的平行与垂直设a=(x,y),b=(x,y)，且b丰0，贝卩1122AllbOb="Ox1y2—x2y1=0.a丄b(a丰0)Oa・b=0Oxx+yy=0.1212三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A(xi‘yi)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则sc的重心的坐标是~x+~x+x+xG(ty1+y2+y)46..一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a丰0,A=b2-4ac>0)，女口果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间.x<x<xo(x-x)(x-x)<0(x<x)；121212x<x,或x>xo(x-x)(x-x)>0(x<x).12121247.含有绝对值的不等式当a〉0时，有|x<aox2<a2o-a<x<a.x>aox2>a2ox>a或x<一a.48.指数不等式与对数不等式(1)当a>1时，af(x)>ag(x)of(x)>g(x);logf(x)>logg(x)oaa<g(x)>0f(x)>g(x)(2)当0<a<1时，af(x)>ag(x)of(x)<g(x);49..斜率公式logf(x)>logg(x)oaa<g(x)>0f(x)<g(x)k=—21(P(x,y)、P(x,y)).k=tand(d丰90°)x-x1112222150.直线的五种方程k=v—2v1点斜式y-y=k(x-x)(直线l过点P(x,y)，且斜率为k).11111斜截式y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).y-yx-x两点式a=a(y丰y)(P(x,y)、P(x,y)(x丰x)).y-yx-x12111222122121xy(4)截距式+?=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b主0)ab(5)—般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).51.两条直线的平行和垂直若l:y=kx+b,l:y=kx+b111222①l||lok=k,b丰b②l丄lokk=—1.121212;1212若l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0，且A、A、B、B都不为零，111122221212ABC①l11lo—二一^丰—；②l丄loAA+BB二0；12ABC12121222252．四种常用直线系方程⑴定点直线系方程：经过定点P(x,y)的直线系方程为y—y二k(x—x)(除直线x二x)，其000000中k是待定的系数；经过定点P(x,y)的直线系方程为A(x—x)+B(y—y)二0，其中A,B是00000待定的系数．共点直线系方程：经过两直线l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0的交点的直线系方11112222程为(Ax+By+C)+九(Ax+By+C)=0(除l)，其中入是待定的系数.1112222平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+九=0(X丰0)，入是参变量.垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(AMO,BH0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+九=0,入是参变量.点到直线的距离|Ax+By+C|d二00(点P(x,y)，直线l:Ax+By+C=0).v'A2+B200Ax+By+C>0或V0所表示的平面区域设直线l:Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或v0所表示的平面区域是：若B丰0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax+By+C异号时，表示直线l的下方的区域•简言之，同号在上，异号在下.若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.55.(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面区域111222设曲线C:(Ax+By+C)(Ax+By+C)—0(AABB丰0)，则1112221212(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面区域是：111222(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0所表示的平面区域上下两部分；111222(Ax+By+C)(Ax+By+C)<0所表示的平面区域上下两部分.111222圆的四种方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2—r2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F—0(D2+E2-4F>0).点与圆的位置关系点P(x,y)与圆(x-a)2+(y-b)2—r2的位置关系有三种00若d—\(a—x)2+(b—y)2,贝y00d>ro点P在圆外；d—ro点P在圆上；d<ro点P在圆内.直线与圆的位置关系直线Ax+By+C—0与圆(x-a)2+(y-b)2—r2的位置关系有三种：d>ro相离oA<0；d—ro相切oA—0；d<ro相交oA>0.IAa+Bb+C其中d—.A2+B2两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为0,0,半径分别为r,r,I00|=d1212112d>r+ro外离o4条公切线；d—r+ro外切o3条公切线；1212|r一rI<d<r+ro相交o2条公切线；d—|r一rIo内切o1条公切线；112'1211210<d<|r-[|o内含o无公切线.椭圆的标准方程及简单的几何性质61．椭圆的的内外部TOC\o"1-5"\h\zx2y2x2y2点p(x,y)在椭圆一+——l(a>b>0)的内部Of+0<1.00a2b2a2b2x2y2x2y2点P(x,y)在椭圆一+]—1(a>b>0)的外部Of+~>1.00a2b2a2b2双曲线的内外部x2y2x2y2(1)点P(x,y)在双曲线——一—1(a>0,b>0)的内部°—°>1.00a2b2a2b2x2y2x2y2⑵点P(x,y)在双曲线一—1—1(a>0,b>0)的外部Of—-<1.00a2b2a2b2双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y2x2y2b(1)若双曲线方程为——一—1亠渐近线方程：——一—0°y=±—x.a2b2a2b2a若渐近线方程为y-±2x°±¥=0亠双曲线可设为——^-=九.aaba2b2x2y2x2y2若双曲线与一-[=1有公共渐近线，可设为一-1=九(九〉0，焦点在x轴上，a2b2a2b2九<0，焦点在y轴上).64.抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线y2—2px(p>0)焦半径|CF|—x0+彳.过焦点弦长|CD|—x1+2+x2+2—x1+x2+p.抛物线y2—2px上的动点可设为P(£-,y)或P(2pt2,2pt)或p(x,y)，其中y2—2px.2po抛物线的内外部⑴点P(x,y)在抛物线y2—2px(p>0)的内部oy2<2px(p>0).00点P(x,y)在抛物线y2—2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).00⑵点P(xo,y°)在抛物线y2一2px(p>0)的内部oy2<-2”(p>0).点P(xo,yo)在抛物线y2一-px(p>0)的外部oy2>-2px(p>0)-⑶点P(x0,y0)在抛物线x2二2py(p>0)的内部Ox2<2py(p>0)-点P(x0,y0)在抛物线x2二2py(p>0)的外部Ox2>2py(p>